Un Nouveau Point de Rep `ere dans la Th éorie des Formes

Un Nouveau Point de Rep` ere dans la Th´ eorie des Formes Automorphes
Robert P. Langlands*
Verweilung, auch am Vertrautesten nicht,
ist uns gegeben; aus den erf ¨ ullten
Bildern st ¨ urzt der Geist zu pl¨ otzlich zu f ¨ ullenden;
Rainer Maria Rilke “An H¨ olderlin”
Introduction. Ceux qui connaissent l’auteur et ses ´ ecrits, comme par exemple [P] et [W], savent que la notion
de fonctorialit´ e et les conjectures rattach´ ees ` a celle-ci ont ´ et´ e introduites – en suivant ce que Artin avait fait pour
un ensemble plus restreint de fonctions – pour aborder le probl` eme de la prolongation analytique g´ en´ erale des
fonctions L-automorphes. Ils savent en plus que je suis d’avis que seules les m´ ethodes bas´ ees sur la formule des
traces pourront aller au fond des probl` emes. Il n’en reste pas moins que malgr´ e de r´ ecents progr` es importants
sur le lemme fondamental et la formule des traces nous sommes bien loin de notre but.
Dans l’article [BE] j’ai essay´ e de d´ epasser les limites traditionelles, donc la comparaison de deux formules des
traces, d’habitude dans le cadre de l’endoscopie, soit ordinaire soit tordue, quoique la pr´ esence de l’endoscopie ne
soit pas toujours explicitement reconnue. On ne trouve dans [BE] que les premiers balbutiements d’une m ´ ethode
nouvelle qui ne portera gu` ere ses fruits avant longtemps. L’endoscopie et les comparaisons qu’elle sugg` ere
s’appuient sur des r´ eflexions purement alg´ ebriques. Dans [BE], j’ai propos´ e en plus qu’avant d’entreprendre des
comparaisons, on introduise un passage ` a la limite dans la formule des traces. Ce passage ` a la limite entraˆıne
mˆ eme dans certains cas des plus simples des probl` emes analytiques graves et non r´ esolus. Je les ai signal´ es dans
[BE] sans pouvoir en entamer l’´ etude.
Je continue ` a y r´ efl´ echir et j’ai profit´ e d’un colloque tenu ` a Toronto ` a l’occasion du 60i´eme anniversaire de
naissance de James Arthur pour d´ ecrire mes conclusions des exp´ eriences num´ eriques auxquelles j’ai fait allusion
dans [BE] et surtout pour encourager autrui ` a poursuivre dans cette voie.
Le grand inconv´ enient de ce passage ` a la limite est la difficult´ e des probl` emes analytiques qu’il pose; son
grand avantage est qu’il nous permet de passer ` a un nouveau monde, ` a un paysage tout ` a fait diff´ erent o ` u nous
ne sommes plus hant´ es par les anciens probl` emes, mais o ` u nous pouvons aborder des questions nouvelles avec
un esprit rafraˆıchi. Quoique nous restions au pied des mˆ emes montagnes, nous passons ` a un autre versant o ` u
nous pouvons chercher d’autres chemins.
* Au cours de mes r´ eflexions sur les questions soulev´ ees dans cet article, j’ai profit´ e de conversations avec Mark
Goresky, Nicolas Katz et Peter Sarnak ` a Princeton, avec Laurent Lafforgue ` a l’IHES, et avec Andrew Booker ` a ces
deux endroits. Je leur en suis reconnaissant. Je suis aussi reconnaissant ` a Claude Levesque qui a lu attentivement
la premi` ere version du texte. Gr ˆ ace ` a ses suggestions nombreuses le style de l’article s’est fortement am´ elior´ e.
1

Dans cet article, je pr´ etends ` a peu: je reprends tout simplement l’expos´ e de Toronto avec quelques suppl´ ements.
Je d´ ecrirai bri` evement le nouveau rep` ere auquel le titre fait r´ ef´ erence, ensuite je donnerai un pr´ ecis des conclu-
sions tir´ ees des r´ esultats num´ eriques, et enfin j’expliquerai de quel c ˆ ot´ e il me semble ` a pr´ esent le plus prometteur
d’aborder les questions soulev´ ees. Une connaissance des fondements de la th´ eorie des formes automorphes sera
exig´ ee du lecteur.
Les nombres mπ(ρ).Une fonction L-automorphe est d´ efinie provisoirement par un produit eul´ erien
L(s, π, ρ) = Y
p/∈S
1
det 1−ρ(Ap(π))
Nps.(1)
Ici πest une repr´ esentation automorphe d’un groupe Gsur un corps global F, qui au d´ ebut est un corps
de nombres, mais qui par la suite est aussi un corps de fonctions sur un corps fini; {Ap(π)}est la classe de
Frobenius-Hecke de π` a la place p, et est souvent dite la classe de Satake, alors que ρest une repr´ esentation du
groupe LG, dit le groupe Lattach´ e` aG. L’ensemble Sest un ensemble fini qui contient toutes les places infinies
et dont le choix pr´ ecis n’a pas ici d’importance. Tˆ ot ou tard on voudra une d´ efinition dans laquelle le produit est
pris sur toutes les places finies, mais nous ne sommes pas arriv´ es ` a ce point.
`
A mon avis, la d´ emonstration de la possibilit´ e de prolonger analytiquement toutes ces fonctions passera
par la fonctorialit´ e. Cependant, plutˆ ot que d’insister trop sur ce point, nous pouvons nous demander s’il y a
´
eventuellement des cons´ equences ` a tirer de ce prolongement analytique, que nous pouvons aborder tout de suite
et directement sans attendre une d´ emonstration de la fonctorialit´ e ou de l’existence de ces prolongements Ces
cons´ equences pourraient mˆ eme nous indiquer la voie ` a suivre pour trouver les d´ emonstrations convoit´ ees. Je
rappelle, par exemple, que selon les conjectures importantes de Arthur ([A]) on devrait pouvoir, en d´ eveloppant
la formule des traces et en utilisant un argument par r´ ecurrence, partager les repr´ esentations automorphes en
deux classes: celles pour lesquelles on peut accepter et mˆ eme s’attendre ` a ce que la conjecture de Ramanujan
soit fausse; celles pour lesquelles toute th´ eorie envisage ` a pr´ esent que la conjecture soit vraie. Pour ces derni` eres
repr´ esentations, dites de type Ramanujan, l’ordre mπ(ρ)du pˆ ole de la fonction L(s, π, ρ)au point s= 1 a une
signification majeure. J’ai propos´ e dans l’article [BE] qu’on cherche ` a introduire les nombres mπ(ρ)directement
par une voie qui ´ evite le prolongement analytique, mˆ eme si cette voie ne donnait peut-ˆ etre ` a prime abord que
des nombres r´ eels, pour lesquels il faudrait ensuite d´ emontrer que ce sont en fait des entiers non n´ egatifs.
Plus pr´ ecisement, j’ai propos´ e que l’on cherche ` a´ etablir des formules non pas pour chacun des nombres
mπ(ρ)s´ epar´ ement, mais pour des sommes de la forme
X
πY
v∈S
trπv(fv)mπ(ρ).(2)
Dans cette formule l’ensemble Sest, comme celui de la formule (1), un ensemble fini de places qui contient
toutes les places ` a l’infini. De plus, pour que la somme soit finie nous fixons un caract` ere central global unitaire χ
2

et n’admettons dans la somme que les repr´ esentations qui se transforment selon ce caract` ere et qui sont ` a la fois
non ramifi´ ees en dehors de Set de type Ramanujan. Enfin, ` a chaque place de Sla fonction fest lisse de support
compact modulo le centre de G(Fv)et se transforme sous ce centre selon l’inverse de χv. Donc f(zg) = χ−1
v(z)(g)
pour zdans le centre. Ayant trouv´ e, ` a partir des m´ ethodes de la formule des traces, une formule pour les sommes
de (2), nous pourrons essayer, en comparant les formules pour divers ρet divers G, non pas simplement d’´ etablir
que les nombres mπ(ρ)sont des entiers, mais aussi d’´ etablir la fonctorialit´ e. Il s’agit certainement de probl` emes
difficiles, mais leur nouveaut´ e nous force ` a sortir des chemins foul´ es.
Dans le travail [BE] j’ai essay´ e d’aborder ces probl` emes num´ eriquement. J’ai fait quelques observations
encourageantes et les calculs d’Andrew Booker ont confirm´ e les miens, de sorte que je peux communiquer mes
conclusions ici sans trop craindre qu’` a cause des d´ efauts de mes codes elles ne soient pas bien fond´ ees. Les
conclusions de l’article [BE] ´ etaient cependant moins frappantes que celles des relations (9), (10) et (11) de la
pr´ esente note et en m ˆ eme temps l´ eg` erement fauss´ ees par quelques petites erreurs de calculs. Je ne donne que les
nouvelles conclusions. Le lecteur qui veut les comparer avec des donn´ ees num´ eriques est encourag´ e` a consulter
Andrew Booker ou ` a faire lui-mˆ eme des calculs semblables. Apr` es tout, des r´ esultats num´ eriques aux conclusions
th´ eoriques il y a un saut qui ne se fait pas sans un brin de foi. Il me semble cependant qu’il serait tr` es utile de
pousser plus loin ce genre de calculs, d’abord pour mieux se convaincre du bien-fond´ e de ce que j’affirme, ensuite
pour mieux comprendre des cas plus g´ en´ eraux.
Conclusions des calculs num ´ eriques. Je rappelle le cadre de [BE]. Il s’agit d’arriver en substituant des fonctions
convenables dans la formule des traces ` a une expression dont la limite est cens´ ee ˆ etre la somme de (2). Je
passe au cas le plus simple. Le corps Fest Q, le groupe Gest GL(2), l’ensemble Sne contient que la place
infinie, et le caract` ere central est identiquement 1. Le groupe LGest GL(2,C)et la repr´ esentation ρest la
repr´ esentation irr´ eductible sur l’espace de tenseurs sym´ etriques de degr´ em. Sa dimension est donc m+ 1.
Il y a plusieurs contributions ` a la formule habituelle des traces: la contribution parabolique et la contribution
elliptique. La contribution elliptique est la contribution principale, mais il faut toutefois soustraire la contribution
de la repr´ esentation triviale, car elle n’est pas de type Ramanujan.
Dans l’article [BE] je suis arriv´ e` a une somme sur n > 0et f > 0,n, f ∈Z,(n, f) = 1, de l’expression de sa
formule (70). Je la r´ ecris ici. Soit N=±4pm, avec pun nombre premier, mun entier positif, et soit θn,f (p, m)
l’expression d´ efinie par
2(XD
nf0ϕ(D, nf0)ψ±(xr)
p|N|Φ−p|N|X
±
n,f (N)Zψ±(x)p|x2∓1|dx),(3)
o` u
3

Φ = Φf=Y
q|f
1−D
q
q
.
La premi` ere des sommes se fait sur des entiers positifs f0dont tous les diviseurs sont aussi des diviseurs de
f, sur les signes +1 et −1, et sur r∈Ztels que f|so` u l’entier positif sest d´ efini par la condition r2−N=s2D,
D´ etant un discrimant fondamental. Nous rappelons bri` evement les notations de [BE]. La fonction ϕ(x, k)qui
intervient dans l’´ equation fonctionnelle approximative d´ epend d’un nombre r´ eel xet d’un entier positif k:
ϕ(x, k) = 
πerfc k√π
√|x|+√|x|
kexp −πk2 |x|si x <0,
√x
kerfc k√π
√x+ E1πk2
xsi x >0.
o` u
E1(y) = −γ−ln(y) + X
j≥1
(−1)j−1yj
j!j,
γ´ etant la constante d’Euler.
Le nombre r´ eel xr=r/p|N|. Le symbole
a
b
est celui de Kronecker. La fonction n,f (N)est ´ el´ ementaire, mais d´ esagr´ eable ` a exprimer explicitement et
fastidieuse ` a d´ efinir pr´ ecis´ ement. Elle est ´ egale ` a une valeur moyenne approximative de
f
sn (r2−N)f2/s2) n.
Elle est rendue n´ ecessaire par la d´ ecomposition de la formule des traces en somme sur net f, une d´ ecomposition
sugg´ er´ ee par l’analyse et non pas par l’alg` ebre. La d´ ecomposition exige une d´ ecomposition pareille de la
contribution ` a la trace de la repr´ esentation triviale, cette contribution devant ˆ etre enlev´ ee.
La formule (3) provient en effet de la somme sur le spectre discret des traces de π(f),f´ etant une fonction
produit sur GL(2,A):f=Qvfvavec f∞positif homog`
ene. Les fonctions ψ±sont les int´ egrales orbitales de
f∞´ evalu´ ees ` a une classe γde norme ±1et de trace 2x. Elles sont de support compact; ψ−est lisse et ψ+est
lisse sauf peut-ˆ etre en ±1o` u son comportement est prescrit. ` A nos fins elles sont ` a peu pr` es des fonctions lisses
arbitraires ` a support compact. Les probl` emes analytiques reli´ es ` a (3) doivent ˆ etre r´ esolus dans cette g´ en´ eralit´ e
sans s’occuper de la provenance des fonctions ψ±, donc sans r´ ef´ erence ` a la formule des traces.
Il sera alors utile par la suite de remplacer les fonctions ψ±(x)par ψ±(x)√x2∓1 = η±(x), aussi une fonction
`
a toutes fins utiles arbitraire. Pour Dgrand la fonction ϕ(D, n)se comporte comme p|D|/n =p|r2−N|/sn,
de sorte que la premi` ere somme de (3) peut ˆ etre remplac´ ee par
2p|N|Xf
snf0D nf0ψ±(xr)p|xr∓1|
p|N|Φ
4

ou
2p|N|Xf
snf0D nf0η±(xr)
p|N|Φ = 2 Xf
sn D nη±(xr).
La somme ` a gauche porte toujours sur r,f0et ±et on exige toujours de rque f|s,s´ etant d´ efini par r2−N=s2D.
`
A droite il n’y plus de somme sur f0. Si f=n= 1, cette derni ` ere expression n’est que
2X1
sη±(xr).(4)
Il n’y a plus de condition sur rmais 1/s intervient dans la somme. Le deuxi ` eme terme de la diff´ erence devient
2p|N|X
±
1,1(N)Zη±(x)dx. (5)
Je souligne encore que la formule (3) est la diff´ erence de deux termes dont le premier est donn´ e par la formule
des traces et dont le deuxi` eme est, au moins apr` es avoir somm´ e sur net f, la contribution de la repr´ esentation
triviale ` a la formule des traces. Elle doit ˆ etre soustraite de la formule car la repr´ esentation triviale n’est pas de
type Ramanujan. Celles qui restent et qui contribuent ` a la formule des traces sont de type Ramanujan. Nous nous
attendons donc ` a ce que pour elles la conjecture de Ramanujan soit valable, mais cette hypoth` ese n’intervient pas
dans les arguments. Soit
Θ(p, m) = X
n,f
θn,f (p, m).
Puisque nous comprenons bien les fonctions Lde Hecke pour GL(2), nous pouvons certainement v´ erifier sans
trop de peine que pour m= 1 la limite
lim
X→∞ Ξ(m, X) = lim X→∞ Pp<X ln(p)Θ(p, m)
X(6)
existe. Elle ne sera pas ´ egale ` a (2) car il y a des contributions suppl´ ementaires de termes paraboliques faciles ` a
calculer. Elle sera ´ egale toutefois ` a une expression assez simple dont nous comprendrons mieux la forme par la
suite. Il ne s’agit pas toutefois d’exploiter des particularit´ es du cas m= 1 mais de trouver une m´ ethode uniforme
qui ne fonctionne pas seulement pour m= 1 mais qui s’´ etend ` a tout m. C’est une nouvelle terre ` a d´ efricher.
Cependant, pour la plupart des calculs je me suis restreint au cas m= 1 car mˆ eme pour m= 2 la condition
pm< X admet bien moins de nombres premiers que la condition p < X. Laissons alors tomber le symbole met
´
ecrivons θn,f (p),Θ(p)et Ξ(X). Puisque toute id ´ ee me manquait, j’avais par d´ esesp´ erance r´ ecrit le quotient de
(6) comme
X
n,f Pp<X ln(p)θn,f (p)
X,(7)
simplement parce que je me disais que
ξn,f (X) = Pp<X ln(p)θn,f (p)
X(8)
5