Annales MRL S-STI-STL-STAV

Annales Mathématiques Séries S/STI/STL/STAV
Concours Alpha
Annales de Mathématiques et Raisonnement Logique
Séries S/STI/STL/STAV
Les exercices ci-dessous sont issus des épreuves du Concours Alpha de 2012.
Ce sujet d’entraînement comporte 60 questions à renseigner dans un temps limité de 2 heures.
Aucun document ou calculatrice n’est autorisé pour l’épreuve. Les réponses sont à renseigner sur la
grille de réponse distribuée en début d’épreuve et dont vous pouvez télécharger un exemplaire sur le
site Internet du Concours Alpha.
Les réponses à ces questions sont disponibles sur simple demande à l’adresse [email protected] ou téléchargeables sur l’espace candidat du site Internet www.concours-alpha.fr .
Toute bonne réponse vaut +1 point, toute mauvaise réponse vaut -1 point et toute non réponse vaut
0 point.
Question 1.
Veuillez choisir votre réponse
a. Il n’existe pas de solution
b.
c.
Question 2.
Si deux hommes peuvent manger deux gâteaux en deux minutes, combien d'hommes faudrait-il pour
manger 30 gâteaux en 60 minutes dans les mêmes conditions ?
Veuillez choisir votre réponse
a. 120
b. 30
c. 60
d. 1
Question 3.
Quel est l'intrus parmi les éléments suivants ?
AGITURE TOBUHAIS MAQUECA HEPONSOXA BOTMURA
Veuillez choisir votre réponse
a. MAQUECA
b. AGITURE
c. HEPONSOXA
1
d. TOBUHAIS
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Question 4.
Soit f une fonction définie sur R et admettant une primitive sur R
Veuillez choisir votre réponse
a.
b.
c.
d.
si f est paire alors f possède une primitive paire
Si f est paire, alors f possède une primitive impaire
si f est paire, alors toutes ses primitives sont impaires
aucune des trois propositions ci-dessus n’est vraie
Question 5.
Soit le nombre complexe z = √(3 + √3) - i√(3 - √3). La forme algébrique de z² est :
Veuillez choisir votre réponse
a. 2√3 -2i√6
b. 3 + √3 + i√3 - √3
c. 2√3 +2i√3
Question 6.
Soit f la fonction définie par
Veuillez choisir votre réponse
.
a.
b.
c.
Question 7.
Soit la fonction f définie par f(x)=
orthogonal du plan.
. On note C sa courbe représentative dans un repère
Veuillez choisir votre réponse
a.
b.
c.
d.
C ne possède pas d’asymptote
La droite d'équation y=x-2 est asymptote à C
la droite d'équation y=x+2 est asymptote à C
Aucune des trois propositions ci-dessus n’est vraie
Question 8.
On considère l'équation suivante, notée (E) : 3x4 +5x2 - 2= 0.
Veuillez choisir votre réponse
a. Cette équation n'a pas de solutions réelles
b. Cette équation possède 4 solutions réelles
c. Cette équation possède 2 solutions réelles
2
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Question 9.
Quel nombre complète la série suivante ?
7 6 8 7 9 8 10 9 11 ??
Veuillez choisir votre réponse
a. 9
b. 11
c. 10
d. 8
Question 10.
limx→0 ( ln(1+5x2) / x2 ) = ...
Veuillez choisir votre réponse
a. 5
b. 0
c. +∞
d. aucune de ces solution n’est correcte
Question 11.
La suite (un) tend vers +∞ Alors
Veuillez choisir votre réponse
a. la suite (un) est croissante
c. la suite (un) est positive
b. la suite (unln(1+1/un)) converge
d. aucune des propositions ci-dessus n’est vraie
Question 12.
A, B et C représentant des poids, cet équilibre est-il possible ?
Veuillez choisir votre réponse
a. oui
b. non
Question 13.
Soit la fonction f définie pour tout réel x par f(x)=
Veuillez choisir votre réponse
a. f est impaire
.
b. f est paire
c. f n'est ni paire, ni impaire
3
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Question 14.
Pour tout réel x, sin(x)cos(2x) est égal à
Veuillez choisir votre réponse
a.
b.
c. sin3x
Question 15.
L'ensemble des points M d'affixe z telle que | z+5-i | = | z-4 | est:
Veuillez choisir votre réponse
a. la médiatrice du segment [AB] où A a pour affixe 1 et B a pour affixe 5-i
b. le point d'affixe -1/2+i/2
c. la médiatrice du segment [AB] où A a pour affixe 4 et B a pour affixe -5+i
Question 16.
Soit la fonction f définie par
. Son ensemble de définition est :
Veuillez choisir votre réponse
a. ] 1 ; e [ U ] e ; +∞ [
b. ] 0 ; +∞ [
c. R
Question 17.
Quel nombre complète la série suivante : 2 12 72 432 ??
Veuillez choisir votre réponse
a. 3002
b. 2592
c. 8192
d. 992
Question 18.
D'après les pesées suivantes, que peut-on dire de l'affirmation "la boule grise est la plus lourde" ?
Veuillez choisir votre réponse
a. elle est vraie
b. on ne peut pas le déterminer
4
c. elle est fausse
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Question 19.
Soit f la fonction définie sur l'ensemble des réels R par:
si x est non nul et
.
Veuillez choisir votre réponse
a. f est continue sur R mais n'est pas dérivable en 0
c. f n'est pas continue en 0
b. f est dérivable sur R
Question 20.
ln(√10+3) + ln(√10-3) =
Veuillez choisir votre réponse
a. 0
b. ln(2√10)
c. ln2 + ln10/2
Question 21.
Un voleur filait à toute allure au volant de sa voiture de sport poursuivi par 15 voitures de police. Il
freina un coup sec et toutes les voitures entrèrent en collision, en file indienne, en commençant par
l'arrière de sa voiture. Combien de pare-chocs se sont heurtés ?
Veuillez choisir votre réponse
a. 16
b. 30
c. 28
d. 32
Question 22.
Dans ma collection de chevaliers, il y a 50 figurines, mais parmi elles :
40 ont une épée;
45 ont un casque;
36 ont une armure;
43 ont un bouclier.
Combien, au minimum, y a-t-il de chevaliers complets dans ma collection ?
Veuillez choisir votre réponse
a. 14
b. 9
c. 36
d. 30
c. 18
d. 22
Question 23.
Quel nombre complète cette série ?
55 46 38 31 27 ??
Veuillez choisir votre réponse
a. 15
b. 14
5
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Question 24.
D'après les informations suivantes, quelle est la combinaison à trouver ? (il n'y a jamais 2 fois le
même chiffres dans la solution)
1 9 : 1 chiffre mal placé
9 4 : 1 chiffre mal placé
Veuillez choisir votre réponse
a. on ne peut pas le déterminer
b. 4 9
c. 4 1
d. 1 4
Question 25.
Quel nombre complète la série suivante : 1 0 1 1 1 2 2 3 4 5 7 9 12 ?
Veuillez choisir votre réponse
a. 20
b. 17
c. 16
d. 18
Question 26.
Combien y a-t-il de triangles dans la figure ci-dessous ?
Veuillez choisir votre réponse
a. entre 16 et 20
b. moins que 10
c. entre 13 et 15
Question 27.
limx→+∞ ( ln(5x + 1) - ln(x) ) = ...
Veuillez choisir votre réponse
a. 0
b. ln 5
c. +∞
6
d. plus que 20
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Question 28.
Sachant que les balances sont à l'équilibre, et que les poids sont exprimés en kilogrammes, quel est
le poids de la boule grise ?
Veuillez choisir votre réponse
a. 5 kg
b. 6 kg
c. 4 kg
d. on ne peut pas le déterminer
Question 29.
On suppose que A et B sont indépendants alors
Veuillez choisir votre réponse
a.
b.
A et B sont incompatibles
c.
Question 30.
Lors des fêtes de Pâques, mes 4 amis et moi avons chacun reçu un paquet avec le même nombre
d'œufs. Nous rencontrons une connaissance qui n'en a pas reçu. Nous décidons tous de lui donner 2
œufs de notre paquet pour qu'il en ait autant que nous. Combien d'œufs avons nous eu dans nos
paquets ?
Veuillez choisir votre réponse
a. 18
b. 12
c. 14
d. 10
Question 31.
Soit la suite (un) définie par u0=0 et pour tout entier n un+1=un+2n+1. Alors...
Veuillez choisir votre réponse
a. u99=10000
b. la suite (un) est arithmétique
7
c. u100=10000
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Question 32.
On tire simultanément 5 cartes d'un jeu de 32 cartes.
Veuillez choisir votre réponse
a. le nombre de tirages comportant 2 cœurs et 3 rois est égal à
b. le nombre de tirages comportant un carré est égal à
c. le nombre de tirage possible est égal à
Question 33.
Soit la fonction f définie sur ]0;+∞[ par
.
Veuillez choisir votre réponse
a. la fonction f est croissante sur [1;+∞[
b. la fonction f est décroissante sur ]0;1]
c. la fonction f est monotone
Question 34.
Sachant qu'un yard vaut 3 pieds, qu'un mile vaut 1609,344 m et qu'un yard vaut 0,9144 m,
combien de pieds y a-t-il dans un mile ?
Veuillez choisir votre réponse
a. 3508
b. 1609
c. 12086
d. 5280
Question 35.
Sachant que les balances sont à l'équilibre, que peut-on dire de l'affirmation suivante ?
La boule grise est la plus lourde
Veuillez choisir votre réponse
a. on ne peut pas le déterminer
b. elle est fausse
8
c. elle est vraie
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Question 36.
Veuillez choisir votre réponse
a. (2e-4)/e
b. (2e3+1)/9e
c. (e2-1)/6e
Question 37.
Veuillez choisir votre réponse
a. 8e-16
b. 1
c. 8e+16
Question 38.
Soit la fonction f définie sur R par f(x) = ln(e2x + e-2x + 2). Alors, pour tout réel x, f(x) est égal à :
Veuillez choisir votre réponse
a. 2ln(e2x+1)-2x
b. 4xln(2e2x)
c. 2
Question 39.
Quel nombre complète la série suivante : 1 1 0 2 3 5 10 18 ?
Veuillez choisir votre réponse
a. 29
b. 106
c. 44
d.33
Question 40.
On dispose de boules de couleurs différentes : des bleues, des vertes, des rouges. Les boules d'une
même couleur ont toutes le même poids. On sait qu'il y a des boules de 1g, de 2g et de 3g, mais on
ne sait pas encore à quelle couleur correspond quel poids. Pour essayer de le déterminer, on met sur
une balance 1 boule bleue, 2 boules vertes et 3 boules rouges. La balance indique 11g.
Une boule rouge est-elle plus lourde qu'une boule verte ?
Veuillez choisir votre réponse
a. on ne peut pas le déterminer
b. oui
9
c. non
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Question 41.
Soit (un) une suite monotone et minorée. Alors
Veuillez choisir votre réponse
a. on ne peut pas savoir si la suite possède une limite
b. la suite (un) possède une limite finie ou infinie
c. la suite (un) est convergente
Question 42.
Quelle lettre complète la série suivante : 3 B 6 E 9 ? 2 A 11 J
Veuillez choisir votre réponse
a. T
b. J
c. H
d. F
Question 43.
Une main de poker est constituée de 5 cartes tirées au hasard dans un jeu de 52 cartes. Dans ce jeu,
il y a 4 couleurs (trèfle, carreau, cœur et pique), et pour chaque couleur, il y a 13 cartes, du 2 jusqu'à
l'As.
La combinaison nommée quinte flush consiste à obtenir 5 cartes de la même couleur dont les
hauteurs se suivent : par exemple 2,3,4,5 et 6 de trèfle, où 9,10, Valet, Dame, Roi de pique.
Combien peut-on composer de quinte flush différentes dans un jeu de poker ?
note : l'As peut débuter une suite (As, 2, 3, 4,5) ou terminer une suite (10, Valet, Dame,Roi, As), mais
ne peut pas se trouver au milieu d'une suite ( la combinaison Roi, As, 2,3,4 n'est pas une suite)
Veuillez choisir votre réponse
a. 128
b. 4
c. 40
d. 1
Question 44.
Combien de triangles y a-t-il dans la figure suivante ?
Veuillez choisir votre réponse
a. 12
b. 9
c. 13
10
d. 11
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Question 45.
Soient a = 1 et b = 1
(1)a = b
(2) On multiplie par a de part et d'autre : a × a = a × b
(3) On retranche b × b de part et d'autre : a × a - b × b = a × b - b × b
(4) On ajoute 0 = a × b - a × b à gauche et on met b en facteur à droite : a × a + a × b - a × b - b × b = b
× (a - b)
(5) On factorise deux fois à gauche : a × (a + b) - b × (a + b) = b × (a - b)
(6) On factorise par a + b à gauche : (a + b) × (a - b) = b × (a - b)
(7) On simplifie : a + b = b
(8) D'où : 2 = 1
Il y a manifestement une erreur... À quel niveau (indiquez le numéro de l'étape incorrecte) ?
Veuillez choisir votre réponse
a. 4
b. 5
c. 6
d. 7
Question 46.
Quelle est la valeur du produit suivant : (x - a)(x - b)(x - c)(x - d)...(x - y)(x - z) ?
Il y a en tout 26 parenthèses où a, b, c... z sont des nombres quelconques (réels ou complexes).
Veuillez choisir votre réponse
a. 0
b. 26x - (a + b + c + ... + y + z)
c. x26 - (a + b + c + ... + y + z)
d. x26 - (abc...yz)
Question 47.
C'est décidé, je fais le tri dans mon bureau. J'y ai entassé 30 ordinateurs ! Sachant que parmi ces
ordinateurs, 28 ont un écran, 25 ont un clavier, 27 ont une souris, 19 ont un disque dur, combien au
minimum d'ordinateurs pourrai-je garder ?
Veuillez choisir votre réponse
a. 9
b. 19
c. 12
d. 15
Question 48.
L'ensemble des points M d'affixe z telle que
est
Veuillez choisir votre réponse
a. l'axe imaginaire privé du point O
b. l'axe imaginaire
c. la demi droite ]OA) où A a pour affixe i
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Question 49.
Le nombre ( 1 - i )2012 est égal à :
Veuillez choisir votre réponse
a. 4503
c. -4503
b. ( 1 - i )
Question 50.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, strictement monotone sur I.
Veuillez choisir votre réponse
a. f est une bijection.
b. Pour que f soit une bijection, il faut que f soit dérivable sur I
c. Si f est dérivable sur I, alors f est une bijection
d. aucune des propositions ci-dessus n’est vraie
Question 51.
D'après les pesées précédentes, quels sont les masses des poids A, B et C ?
Veuillez choisir votre réponse
a. 7 g, 8 g et 9 g
c. 10 g, 6 g et 8 g
b. 8 g, 8 g et 8 g
d. 8 g, 8 g et 6 g
Question 52.
Sachant qu'une lieue vaut 3 miles, qu'un yard vaut 0,9144 m et qu'il y a 1760 yards dans 1 mile,
combien mesure (approximativement) une lieue ?
Veuillez choisir votre réponse
a. 5 km
b. 20 km
c. 7 km
12
d. 1609 m
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Question 53.
Huit judokas dont deux Français participent à un tournoi international.
Un podium est constitué d'un premier, d'un deuxième et d'un troisième.
Veuillez choisir votre réponse
a. Le nombre de podiums avec deux judokas français est 6
b. Le nombre de podiums sans judoka français est 120
c. Le nombre de podiums est 512
Question 54.
Soit la fonction f définie pour tout réel x par
représentative dans un repère orthogonal du plan.
. On note C sa courbe
Veuillez choisir votre réponse
a. La droite d'équation y=-x+2 est asymptote à C.
b. La droite d'équation y=x est asymptote à C
c. C ne possède pas d'asymptote.
Question 55.
Veuillez choisir votre réponse
a.
b.
c.
Question 56.
La forme algébrique de (5 + 2i) / (1+3i)2 est :
Veuillez choisir votre réponse
a. 62/136 +10i/136
b. -7/25+21i/50
c. -0,28-0,46i
Question 57.
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle ouvert I et a un élément de I.
Veuillez choisir votre réponse
a. Pour que f'(a)=0, il faut que f admette un extrémum en a
b. Pour que f'(a)=0, il suffit que f admette un extrémum en a
c. Pour que f admette un extrémum en a, il suffit que f'(a)=0
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Question 58.
Une suite u est définie par u0 = 3 et pour tout entier naturel n, un+1 = 4un - 6. Alors :
Veuillez choisir votre réponse
a. La suite w définie pour tout entier n par wn = ln(un-2 ) est arithmétique
b. la suite u converge vers 2
c. la suite u est bornée
Question 59.
Dans une boîte de feutres, numérotés de 1 à 7 en partant de la gauche, je constate que :
Le rouge et l'orange n'ont qu'un voisin, le violet est à droite du bleu, le vert est à côté du rouge, le
jaune est entre le bleu et le rose, l'orange et le violet sont voisins.
Quelle est la couleur du feutre numéro 7 ?
Veuillez choisir votre réponse
a. Rouge
b. Orange
c. Violet
d. Vert
Question 60.
Combien y a-t-il de carrés sur la figure ci-dessous ?
Veuillez choisir votre réponse
a. 30
b. 20
c. 25
FIN DE L’EPREUVE
14
d. 27