Chap 5 : Diviseurs, multiples et puissances

CHAP 5 : DIVISEURS, MULTIPLES ET PUISSANCES
2016/2017
Plan de ce chapitre :
1. Diviseurs et multiples
2. Nombres carrés et racines carrées
3. Nombres premiers
4. Caractères de divisibilité
5. Décomposition en facteurs
6. Puissances et priorités
Pour se lancer… prends ton manuel de math à la page 47, lis l’introduction au chapitre et
réponds aux questions suivantes :
1. Cite 3 autres multiples de 15 supérieurs à 100 : ………………………………………………………
2. Cite deux autres diviseurs de 175 : ……………………………………………………………………………
3. Qu’est-ce que l’arithmétique ? ………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
4. Quelle sera la nouvelle opération que l’on va apprendre ?
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
1ère année
1
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2016/2017
J’apprends…
1. Diviseurs et multiples
Activité 1 : Observe et complète
4.
44.
.3
. 33
.1
.0
. 2
22.
. 12
.121
.6
11 .
55.
Exemple :
Exemple :
33 est …………………………………………………………………
3 est ………………………………………………………………………
car ………………………………………………………………………
car …………………………………………………………………………
Un nombre est ………………………………………………………
Un nombre est ……………………………………………………
si ce nombre est le résultat d’une ……………………
si, quand on ………………………………………………… par
…………………………………………………………………………………
ce nombre, on obtient ………………………………………
……… est l’ensemble des …………………………………
……… est l’ensemble des ……………………………………
1 …………………………………………………………………………
1 …………………………………………………………………………
0 …………………………………………………………………………
0 ……………………………………………………………………………
Un naturel multiple de 2 est un naturel …………
Tous les multiples de 3 sont impairs ? Vrai ou faux ? Justifie
1ère année
2
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2016/2017
Activité 2 : Barre les expressions qui sont mal utilisées.
Puisque 18 = 3 x 6 ou 18 = 6 x 3,
tu peux dire 18 est diviseur de 3
Puisque 21 = 7 x 3 = 3 x 7
tu peux dire : 21 est diviseur de / divise 7
18 est multiple de 6
6 est divisible par 18
3 divise 18
21 divise / est divisible par 3
3 est multiple de / divise 21
7 est diviseur de / est divisible par 21
Puisque a = b x c ou a = b x c ou a = b. c ou a = c. b
Tu peux dire que a est diviseur de ; est multiple de, divise ; est divisible par de b.
c est diviseur de ; est multiple de, divise ; est divisible par de a.
Complète les pointillés mais tu ne peux pas utiliser deux fois la même expression.
Vocabulaire :
3 est ………………………………………… OU …………………………………… de 15
15 est ……………………………………… OU ……………………………………… de 3
Activité 3 : Avec des lettres !
3.0 = …………
3.1 = …………
3.2 = …………
3.3 = …………
3.4 = …………
…
3.11 = …………
…
3.25 = …………
Les multiples de 3 sont tous les nombres qui sont
présents dans …………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
Le calcul effectué est ………………………………………………
En code, nous noterons un multiple de 3 ………………… ou …………………… avec …………………………………
Par contre l’ensemble des multiples de 3 se note …………………………………………………………………………
1ère année
3
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2016/2017
Ecritures et notations
a) Comment notes-tu l’ensemble des multiples de 12 ? …………………………………………………………
b) Comment codes-tu un multiple de 12 ? …………………………………………………………………………………
c) Comment notes-tu l’ensemble des diviseurs de 12 ? ……………………………………………………………
d) Cite les 3 premiers diviseurs de 100 (par ordre croissant) : ……………………………………………
e) Cite les 3 premiers multiples de 100 (par ordre croissant) : ……………………………………………
f) Quels sont les diviseurs de 84 strictement inférieurs à 21 ? ……………………………………………
g) Quels sont les multiples de 3 inférieurs à 20 ? ……………………………………………………………………
Activité 4 : Cherchons les diviseurs … Observe la technique pour travailler 2 fois moins !
24
49
1
24
2
12
65
101
315
Complète ensuite :
div 24 =…………………………………………………………………………
div 49 =…………………………………………………………………………
div 65 =…………………………………………………………………………
div 101 =…………………………………………………………………………
Certains diviseurs sont présents à
plusieurs reprises.
Exemple : …………………………………
……………………………………………
Nous dirons que ………………………
………………………………………………
div 315 =…………………………………………………………………………
Quel(s) nombre(s) ne possède(nt) qu’un nombre impair de diviseurs ? ……………………
Nous les appellerons des nombres ……………………………………………………
Autres exemples : ……………………………………………………………………………………………………………
Quel(s) nombre(s) ne possède(nt) que deux diviseurs ? ………………………………………
Nous les appellerons des nombres ……………………………………………………
Autres exemples : ……………………………………………………………………………………………………………………………………
1ère année
4
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Activité 5 : Diviseurs et diviseurs communs.
a) Ecris tous les diviseurs de 48 et de 32. Cherche ensuite leurs diviseurs communs.
div 48 = ………………………………………………………………………………………………………………………
div 32 = ………………………………………………………………………………………………………………………
Diviseurs communs = ………………………………………………………………………………………………
b) Ecris tous les diviseurs de 25 et de 46. Cherche ensuite leurs diviseurs communs.
div 25 = ………………………………………………………………………………………………………………………
div 46 = ………………………………………………………………………………………………………………………
Diviseurs communs = ………………………………………………………………………………………………
Nous dirons que 25 et 46 sont …………………………………………………………………………………………
c) Invente d’autres exemples dans ce cas : 16 et …………………… ; 1083 et ……………………
2. Nombres carrés et racines carrées
Activité 6 : Livre page 49, n°2 : Rectangles et carrés
a. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
b. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
c. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
d. La racine carrée de 9 est …………
La racine carrée de 36 est …………
La racine carrée de 1 est …………
La racine carrée de 121 est …………
La racine carrée de 81 est …………
La racine carrée de 49 est …………
La racine carrée de 64 est …………
1ère année
5
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e. La racine carrée de 144 est ………………………………………………………………………………………
La racine carrée de 169 est ………………………………………………………………………………………
Le carré de 50 est ………………………………………………………………………………………
Le carré de 500 est ………………………………………………………………………………………
Le carré de 0,5 est ………………………………………………………………………………………
La racine carrée de 0,04 est ………………………………………………………………………………………
L’aire d’un carré d’1,5cm de côté est ………………………………………………………………………………………
Le côté d’un carré dont l’aire vaut 0,09m² est ………………………………………………………………………
Activité 7 : Petit défi !
Juju a 3 ans et essaie de tracer un carré plein à l’aide de cailloux
qu’il a trouvés le long de la rivière. Vaut-il mieux qu’il prenne 7,8, 9
ou 10 cailloux ? Fais un schéma pour justifier ton choix.
Nous dirons : 49 est un nombre carré car on peut dessiner un carré de …………………………… de côté.
7 est appelée ………………………………………………………………… de 49.
49 est ……………………………………………de 7
49
7
7 est ………………………………………… de 49
Les carrés à connaître par cœur !! ♥♥
……………………………… ………………………………
……………………………… ………………………………
………………………………
……………………………… ………………………………
……………………………… ………………………………
………………………………
……………………………… ………………………………
……………………………… ………………………………
………………………………
1ère année
6
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Activité 8 : Complète
16 est le carré de …………
2 est la racine carrée de
………
81 est le carré de …………
……… est la racine carrée de 100
25 est le carré de …………
……… est la racine carrée de 900
………… est le carré de 6
0,4
est la racine carrée de ………
………… est le carré de 0,6
……… est la racine carrée de 0,81
………… est le carré de 0,06
……… est la racine carrée de 10 000
0,25 est le carré de …………
0,03 est la racine carrée de ………
144 est le carré de …………
40
est la racine carrée de ………
3. Nombres premiers
Activité 9 : livre page 50, n°4 : Nombres premiers
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Nous allons rechercher …………………………………………………………………………………………………………………………… par
cette ancienne méthode connue depuis ……………………………………………………………… qui s’appelle
…………………………………………………………………………………………
Le 1 est barré/entouré car 1 ……………………………………………………………………………………………………………
Le 2 est barré/entouré car 2 …………………………………………………………………………………………………………… mais
nous allons barrer ensuite tous les ……………………………………………………………………… de 2 qui ne sont pas
…………………………………………………………………………………………………
1ère année
7
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Le 3 est barré/entouré car 3 …………………………………………………………………………………………………………… mais
nous allons barrer ensuite tous les ……………………………………………………………………… de 3 qui ne sont pas
…………………………………………………………………………………………………
Idem avec …………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Nombres premiers inférieurs à 100 : ♥♥
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Pourquoi 1 n’est-il pas un nombre premier ? ……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4. Caractères de divisibilité
Activité 10 : Sans utiliser ta calculatrice et sans effectuer le moindre calcul écrit :
a) Entoure les nombres qui sont divisibles par 2 :
26 - 125 - 329 - 978 - 52 000 - 475 - 9 688
b) Entoure les nombres qui sont divisibles par 3 :
26 - 165 - 463 - 780 - 8 700 111 - 99 199
c) Entoure les nombres qui sont divisibles par 4 :
26 - 288 - 342 - 9 984 - 123 451 - 99 924
d) Entoure les nombres qui sont divisibles par 5 :
45 - 69 - 9 560 - 63 890 - 126 001 - 9 995
e) Entoure les nombres qui sont divisibles par 8 :
38 - 124 - 999 124 - 60 032 - 111 888 - 222 884
f) Entoure les nombres qui sont divisibles par 9 :
36 - 1 036 - 3 033 - 211 905 - 999 000 - 11 007
1ère année
8
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Rappels des critères de divisibilité ♥♥♥
 Un nombre est divisible par 2 si ………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
 Un nombre est divisible par 4 si ………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
 Un nombre est divisible par 8 si ………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
 Un nombre est divisible par 5 si ………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
 Un nombre est divisible par 25 si ……………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
 Un nombre est divisible par 125 si ……………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
 Un nombre est divisible par 10 si ……………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
 Un nombre est divisible par 100 si …………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
 Un nombre est divisible par 3 si ……………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
 Un nombre est divisible par 9 si ……………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
1ère année
9
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Activité 11 : Les nombres suivants sont-ils divisibles par … (sans calculatrice)
… est div par …
2
3
4
5
8
9
10
25
100
125
1000
6240
9004
16 350
125 872
750 875
361 120
1 000 000
3 450 750
Activité 12 : Par quel(s) chiffre(s) peux-tu remplacer le symbole ☺pour que la phrase soit
correcte.
a) 26☺4 est divisible par 4.
Réponse(s) : …………………………………………
b) 369☺ est divisible par 5.
Réponse(s) : …………………………………………
c) 95☺7 est divisible par 3.
Réponse(s) : …………………………………………
d) 432☺64 est divisible par 8.
Réponse(s) : …………………………………………
e) 9563☺5 est divisible par 125.
Réponse(s) : …………………………………………
f) 72☺5 est divisible à la fois par 25 et 3.
Réponse(s) : …………………………………………
g) 46☺75 est divisible à la fois par 125 et 3.
Réponse(s) : …………………………………………
Rendez-vous des curieux !!!
Pour voir si un nombre est divisible par 7 :
 On prend tous les chiffres sauf le dernier
 On soustrait 2 fois le dernier
 On vérifie si le résultat est divisible par 7
Exemple : le nombre 215 est-il divisible par 7 ?
21 – 2.5 = 21 – 10 = 11 ⇒ 11 n’est pas divisible par 7
⇒ 215 n’est pas divisible par 7
Essaie avec 217 ou un autre nombre de ton choix !
Activité 13 : Livre page 52, n°6 : Vrai ou faux ?
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
1ère année
10
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2016/2017
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Pour t’exercer – faire les exercices 1 à 9
1ère année
11
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2016/2017
Si tu n’as pas compris… tu peux t’exercer
sur internet :
Adresse internet :
http://matoumatheux.acrennes.fr/accueilniveaux/accueil6.htm
1.
La 6e en France
correspond à la
première en
Belgique ! 
Choisir : LA DIVISION
Cliquer sur : LES CRITERES DE
DIVISIBILITE….
Bon amusement !!   
1ère année
12
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5. Décomposition en facteurs premiers
Activité 14 : En utilisant que des nombres naturels :
a) Décompose 12 en une somme de deux termes différents : …………………………………………………
b) Décompose 12 en une différence de deux termes : …………………………………………………
c) Décompose 12 en un produit de deux facteurs : …………………………………………………
d) Décompose 12 en un produit de facteurs premiers : …………………………………………………
Décompose les nombres suivants en facteurs
Nouvelle méthode :
premiers :
50 = …………………………………………………………………………………
40 = …………………………………………………………………………………
72 = …………………………………………………………………………………
Activité 15 : A faire sans calculatrice ! ♦
a) Décompose les nombres suivants en facteurs premiers en utilisant la nouvelle méthode et
note ensuite la réponse sous la forme d’un produit de puissances..
150
300
270
700
150 = …………………
300 = …………………
270 = …………………
700 = …………………
150 = …………………
300 = …………………
270 = …………………
700 = …………………
1ère année
13
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2016/2017
b) Décompose en facteurs premiers les nombres et écris-les sous forme d’un produit de
puissances de nombres premiers : 360 ; 288 ; 2500 ; 392 et 462
Réponses : ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Pour t’exercer – faire l’exercice 10
6. Puissances et priorités
Activité 16 : Ecris sous la forme d’une puissance ou d’un produit de puissances.
a) 2 x 2 =
e) 5. 5. 5 =
i) 9.2.2.2.2 =
b) 4 x 4 =
f) 7.7.7.7 =
j) 2.2.2.2.2.2.2.5.5.5.5.5 =
c) 3 x 3 x 3 =
g) 3.3.4.4.4 =
k) 3.3.5.5.5.7.7.7.7.7 =
d) 2 x 2 x 2 x 2 =
h) 8.5.5 =
l) 2.3.5.5.3.5.2.2.5.3.3.3 =
Activité 17 : Ecris les puissances sous forme d’un produit et calcule.
a) 32 =
d) 34 =.
g) 63 =
j) 106 =
b) 24 =
e) 72 =
h) 82 =
k) 26 =
c) 53 =
f) 103 =
i) 15 =
l) 50 =
1ère année
14
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2016/2017
Activité 18 : Calcule les expressions suivantes (attention à l’opération !!!).
a) 6 + 2 =
f) 34 =
k) 5 + 5 + 5 =
p) 103 =
b) 62 =
g) 43 =
l) 5 .5 =
q) 10.3 =
c) 6.2 =
h) 4 + 3 =
m) 5 − 5 − 5 =
r) 10 − 13 =
d) 6 − 2 =
i) 3.4 =
n) 5 .3 =
s) 10² =
e) 6 ∶ 2 =
j) 3 − 4 =
o) 53 =
t) 10 ∶ 2 =
Priorités des opérations :
1)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Activité 19 : Souligne à chaque étape la priorité (c’est obligatoire !!!!) et ensuite calcule. 
1)
52 − 42 + 7 − 1 = …………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………..
2)
(4 + 5)2 − (4² + 52 ) = ……………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………..
3)
4 + 52 − 42 + 5 = …………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………..
4)
34 − 101 . 62 = ……………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………..
1ère année
15
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5)
2016/2017
110 − (15 − 3 . 4)2 = ………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………..
6)
23 . 5 − 4. 32 + 71 = ………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………..
7)
44 − 32 . 5 − 24 . 30 = ………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………..
8)
(2. 3. 5)2 − 12. 42 − 52 . 20 = ………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………..
9)
21 − 62 . 5 − 52 = …………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………….……………
……………………………………………………………………………………………………….
1ère année
16
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2016/2017
Je m’exerce
Exercice 1 : « 7 est un diviseur de 21 »
a) Donne 3 synonymes de cette expression.
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
b) Ecris cela en langage mathématique : ……………………………………………………………
Exercice 2 : Réponds aux questions suivantes.
a) Je suis multiple de tous les nombres. Qui suis-je ? …………………………………
b) Je suis diviseur de tous les nombres. Qui suis-je ? …………………………………
c) Tu tapes sur ta calculatrice « 12 : 0 ». Quelle sera la réponse ? …………………
Exercice 3 : Complète par les mots « diviseur » ou « multiple ».
1) 3 est ………………………………… de 15
6) 36 est ………………………………… de 0
2) 8 est ………………………………… de 1
7) a est ………………………………… de 7a
3) 12 est ………………………………… de 12
8) abc est ………………………………… de a
4) 0 est ………………………………… de 36
9) 3x est ………………………………… de x
5) 1 est ………………………………… de 66
10) b est ………………………………… de abc
Exercice 4 : Cite les diviseurs (tous par ordre croissant) des nombres suivants
div 12 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
div 15 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
div 17 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
div 18 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
div 19 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
div 20 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
div 21 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
1ère année
17
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2016/2017
div 22 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
div 24 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
div 25 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
div 27 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
div 28 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
div 29 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
div 30 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
div 32 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
div 36 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
div 40 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
div 42 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
div 45 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
div 48 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
div 49 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
div 50 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Exercice 5 : Donne les multiples des nombres suivants (au moins les 4 premiers) :
6ℕ = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
11 ℕ = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Mult 12 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
15 ℕ = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Mult 16 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
21 ℕ = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Mult 25 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
75 ℕ = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
1ère année
18
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80 ℕ =………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Mult 90 =………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
700 ℕ = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Exercice 6 : livre page 63, n°1 : Diviseurs
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Exercice 7 : livre page 65, n°5 : Multiples (sauf j)
a. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
b. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
c. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
d. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
e. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
1ère année
19
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2016/2017
f. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
g. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
h. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
i.
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Exercice 8 : livre page 66, n°10 : Expérimenter
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
1ère année
20
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2016/2017
Exercice 9 : livre page 67, n°12 : Paires de diviseurs
1ère année
21
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2016/2017
Je relève les défis !
Défi 1 : Livre page 68, n°18 : Répartir
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Défi 2 : Livre page 68, n° 19 : Avec 36 carreaux
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1ère année
22
CHAP 5 : DIVISEURS, MULTIPLES ET PUISSANCES
2016/2017
Défi 3 : Livre page 68, n°20 : Un rectangle convient, les autres pas
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Défi 4 : Livre page 70, n°23 : Vérifier une formule
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1ère année
23
CHAP 5 : DIVISEURS, MULTIPLES ET PUISSANCES
2016/2017
Défi 5 : Exercice 7 : Livre page 63, n°3 : Vrai ou faux ?
a. …………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
b. …………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
c. …………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
d. …………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
e. …………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
f. …………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
g. …………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
h. …………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
i.
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
j. …………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
1ère année
24
CHAP 5 : DIVISEURS, MULTIPLES ET PUISSANCES
2016/2017
Je dois connaître dans ce chapitre…
Au terme de ce chapitre, tu dois être capable d’expliciter les
savoirs et les procédures suivantes :
-
Connaître les expressions : « est diviseur de » ; « est multiple de », « divise » ; « est divisible
par » et les utiliser correctement.
Les notations de l’ensemble des multiples d’un nombre (2 notations possibles) ; l’ensemble des
diviseurs d’un nombre ; un multiple d’un nombre (page 4)
Qu’est-ce qu’un nombre premier ? Et les nombres
premiers inférieurs à 100.
Qu’est-ce qu’un nombre carré (ou un carré parfait) ? et
connaître les nombres carrés de la page 7
Qu’est-ce qu’un nombre rectangle ?
Qu’est-ce que des nombres premiers entre eux ?
Comprendre comment on procède pour déterminer les
nombres premiers inférieurs à 100 avec le crible d’Eratosthène ?
Comment peux-tu déterminer si un nombre est divisible par 2 ? par 3 ? par 4 ? par 5 ? par 8 ? par
9 ? par 10 ? par 25 ? par 100 ? par 125 ?
Les 3 propriétés sur les diviseurs (activité 13 page 11 OU livre page 58)
Quelles sont les priorités des opérations ?
Au terme de ce chapitre, tu dois être capable d’appliquer les procédures ou résoudre des
problèmes concernant :
-
De trouver l’ensemble des diviseurs d’un nombre.
Déterminer l’ensemble des multiples d’un nombre
De trouver le nombre de diviseurs d’un nombre
De déterminer les diviseurs communs de plusieurs
nombres
De déterminer si un nombre est un nombre rectangle,
carré, premier, premier entre eux
De calculer les carrés et les racines carrées de nombres entiers « simples »
De déterminer rapidement si un nombre est divisible par 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 25, 100, 125.
Déterminer rapidement si un nombre est divisible par 6 ; … grâce aux 3 propriétés des diviseurs
Dé décomposer un nombre en facteurs premiers
Calculer les puissances d’un nombre
Effectuer des calculs en respectant les priorités
Vocabulaire : « est diviseur de » ; « est multiple de », « divise » ; « est
divisible par » ; nombre pair ; 2𝑛 ; 2ℕ ; mult 2 ; div 2 ; nombre rectangle ; nombre
carré ; nombre premier ; racine carrée ; nombres premiers entre eux ; caractères
de divisibilité ; diviseurs communs ; somme ; produit ; terme ; facteur ;
décomposition en facteurs premiers ; puissance.
1ère année
25
CHAP 5 : DIVISEURS, MULTIPLES ET PUISSANCES
2016/2017
Je révise seul !!
Cette partie te permet de t’entrainer seul et de vérifier tes connaissances.
1. Barre la ou les mauvaises expressions :
a) 10 est multiple de 30
b) 15 est diviseur de 30
c) 12 est divisible par 4 d) 36 divise 9.
2. Complète : ……………………… est multiple de tous les nombres
3. a) Donne tous les diviseurs des nombres suivants : 72 ; 32 ; 66
b) Quels sont les diviseurs communs de 72 et 32 ?
c) Quels sont les diviseurs impairs de 66 ?
4. Cite les multiples (par ordre croissant) des nombres suivants : 7 ; 31 ; 125 ; 40 ; 600
5. a) Qu’est-ce qu’un nombre premier ?
b) Cite tous les nombres premiers inférieurs à 30.
6. a) 9 et 12 sont-ils premiers entre eux ? Explique.
b) Trouve deux nombres premiers entre eux dont l’un est inférieur à 20 et l’autre est
supérieur à 20.
7. Complète :
a) ………………… est la racine carrée de 64
b) 100 est la racine carrée de …………………
c) 12 est la racine carrée de ……………………
d) ………………… est la racine carrée de 0,0009
8. Tu sais que 8 divise 800 et 16. De cela, tu peux déduire 2 autres nombres que 8 va diviser
également. Lesquels ? ………………………………………………………………………………………………
Cite la propriété utilisée que tu viens d’utiliser.
9. Tu sais que le nombre x divise 102.
Cite 2 autres nombres que x va obligatoirement aussi diviser :…………………………………………
Cite la propriété utilisée que tu viens d’utiliser.
1ère année
26
CHAP 5 : DIVISEURS, MULTIPLES ET PUISSANCES
2016/2017
10. Réfléchis bien !
Entoure les nombres qui sont divisibles par 2 :
76 - 325 - 439 - 971 - 52 000
- 8 741
Entoure les nombres qui sont divisibles par 3 :
375 - 413 - 981 - 2 700 111 - 98 181
Entoure les nombres qui sont divisibles par 4 :
128 - 432 - 5 534 - 12 456 - 9 174
Entoure les nombres qui sont divisibles par 25 :
125 - 9 545 - 63 75 - 126 000 - 9 955
Entoure les nombres qui sont divisibles par 8 :
224 - 999 228 - 21 032 - 222 804 - 333 888
Entoure les nombres qui sont divisibles par 9 :
3 025 - 6 001 - 312 804 - 199 008 - 102 009
11. Complète les critères de divisibilité suivants :
Un nombre est divisible par 4 si ………………………………
Un nombre est divisible par 125 si ………………………………
Un nombre est divisible par 9 si …………………………
12. Par quel(s) chiffre(s) peux-tu remplacer le symbole ☺ pour que la phrase soit correcte
(note toutes les possibilités).
a) 5 3☺6 est divisible par 4.
Réponse(s) : …………………………………………………
b) 2 59☺ est divisible par 3 et 5.
Réponse(s) : …………………………………………………
c) 4 51☺ est divisible par 3 et 4.
Réponse(s) : …………………………………………………
13. Décompose en facteurs premiers et note ta réponse sous forme de produit :
104 ; 2400 ; 216
14. Calcule les expressions suivantes
a)
b)
c)
d)
3.7 =
24 =
11 + 6 =
33 =
e)
f)
g)
h)
18: 2 =
122 =
53 =
105 =
i)
j)
k)
l)
23 − 4 =
13 . 4 =
82 =
114 =
15. Voici une proposition de Mme Collard : « le carré d’un nombre premier possède exactement
trois diviseurs ». Illustre son énoncé à l’aide de 3 exemples.
16. Vrai ou faux ? Si l’énoncé est vrai, illustre-le à l’aide de trois exemples ; s’il est faux, cite un
contre-exemple : « Si a est un nombre impair, alors a² est aussi un nombre impair ».
1ère année
27
CHAP 5 : DIVISEURS, MULTIPLES ET PUISSANCES
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17. Calcule (note les étapes) :
a) 𝑎) (5 − 3)3 . 2 − 22 . 7 =
𝑏) 7 − (4.2 − 2.3)4 + (2 + 2.3)2 =
Solutions
1. a) faux b) ok c) ok d) faux
2. Le nombre 0
3. a) 𝑑𝑖𝑣 72 = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 18; 24; 36; 72 } 𝑑𝑖𝑣 32 = {1; 2; 4; 8; 16; 32 }
𝑑𝑖𝑣 66 = {1; 2; 3; 6: 11; 22; 33; 66 }
b) {1; 2; 4; 8}
c) {1; 3; 11; 33}
4. 𝑚𝑢𝑙𝑡 7 = {0; 7; 14; 21; … } 𝑚𝑢𝑙𝑡 31 = {0; 31; 62; 93; … } 𝑚𝑢𝑙𝑡 125 = {0; 125; 250; 375; … }
𝑚𝑢𝑙𝑡 40 = {0; 40; 80; 120; 160; … } 𝑚𝑢𝑙𝑡 600 = {0; 600; 1 200; 1 800; … }
5. a) Un nombre premier est un nombre qui ne possède QUE deux diviseurs : 1 et luimême
b) 2 ;3 ;5 ;7 ;11 ; 13 ;17 ;19 ;23 ;29
6. a) Non car ils sont tous les deux divisibles par 1 et par 3. Or les nombres premiers
entre eux ne possèdent qu’un seul diviseur commun : 1.
b) exemple : 15 et 26.
7. a) 8 b) 10 000 c) 144 d) 0,03
8. 816 (= 800+16) et 784 (=800-16)
Si un nombre en divise deux autres, alors ce nombre divise également leur somme et
leur différence.
9. 204 ; 306 ; 408 ; …… c’est-à-dire tous les multiples de 102.
Si un nombre en divise un autre, alors ce nombre divise tous les multiples de cet autre.
10. Nombres à entourer : par 2 : 76 - 52 000 par 3 : 375 - 981 - 2 700 111 98 181
par 4 : 128 - 432 - 12 456 par 25 : 125 - 63 75 - 126 000
par 8 : 224 - 21 032 - 333 888 par 9 : 312 804 - 199 008
11. Voir cours pages 9 et 10
12. a) 1 ;3 ;5 ;7 ;9 b) 5 c) 6
13. 104 = 23 . 13
2 400 = 25 . 3. 52
216 = 23 . 33
14. a) 21 b)16 c) 17 d)27 e)9 f)144 g)125 h)100 000 i)19 j)52 k)64 l)1
15. 𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒 1 ∶ 5² = 25
𝑑𝑖𝑣 25 = {1; 5; 25}
𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒 2 ∶ 7² = 49
𝑑𝑖𝑣 25 =
{1; 7; 42}
𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒 3: 11² = 121 𝑑𝑖𝑣 121 = {1; 11; 121}
16. Vrai. Exemples : 3² = 9 5² = 25 9² = 81 et les nombres 3;9;5;25;9;et 81 sont des
nombres impairs (la preuve se fera en 2e et/ou 3e année).
17. a) -12 b) 55
1ère année
28
CHAP 5 : DIVISEURS, MULTIPLES ET PUISSANCES
2016/2017
Le coin des curieux…
Source : Sésamath 6e
Pour trouver tous les autres
caractères de divisibilité :
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Decompos/Di
visiGe.htm
1.
un site plein de curiosités…. Bon amusement !
CQFD – page 67, n°15 : Multiples de 11
A toi de trouver le critère de divisibilité !
1ère année
29