Chp.2 Espaces Euclidiens

Espaces Euclidiens
2.1 Formes bilinéaires
Soient E,F, et Gtrois espaces vectoriels sur R.
Définition 2.1.1 On dit qu’une application B ∶E×FG est « bilinéaire » si :
1. Pour tout x dans E , l’application Bx∶FG∶yB(x,y)est linéaire.
2. Pour tout y dans F , l’application By∶EG∶xB(x,y)est linéaire
Exemple 2.1.1 Le produit matriciel :
B∶MR(n)×MR(n)MR(n)∶(A,B) AB
est une application bilinéaire.
Définition 2.1.2 Une « forme bilinéaire » sur E est une application bilinéaire de
E×E dans R.
Matrice d’une forme bilinéaire
Si Eest un espace de dimension finie, B={e(1),...,e(n)} une base de E, et
b∶E×ERune forme bilinéaire sur E:
bn
i=1
xie(i),
n
i=1
yie(i)=n
i=1
n
j=1
b(e(i),e(j))xiyj(2.1)
La forme bilinéaire best donc déterminée de manière unique par (2.1), et par la
donnée de la n×nmatrice Qde terme général : Qj
i=b(e(i),e(j)).
Définition 2.1.3 On dit que la n ×n matrice réelle Q de terme général :
Qj
i=b(e(i),e(j)) (1≤i≤n,1 ≤j≤n)
est la matrice de la forme linéaire b ∶E×ERdans la base B ={e(1),...,e(n)}.

28 CHAPITRE 2. ESPACES EUCLIDIENS
En identifiant tout n-uplet de réels à une n×1 matrice, on peut récrire (2.1)
sous la forme :
bn
i=1
xie(i),
n
i=1
yie(i)=x′Qy(2.2)
où Qest la matrice de bdans la base {e(1),...,e(n)}.
Formes bilinéaires symétriques
Définition 2.1.4 Une forme bilinéaire b ∶E×ERest dite « symétrique » si,
pour tout couple (x,y)d’éléments de E : b(x,y)=b(y,x).
Définition 2.1.5 Une n ×n matrice réelle est dite « symétrique » si elle est égale à
sa transposée.
Proposition 2.1.1 Pour tout espace de dimension finie E, et toute forme bilinéaire
b∶E×ERsur E , les assertions suivantes sont équivalentes :
1. La forme bilinéaire b est symétrique
2. Sa matrice dans « une » base donnée de E est symétrique.
3. Sa matrice dans « toute » base de E est symétrique.
Preuve : Soient B={e(1),...,e(n)} une base quelconque de E, et Qla matrice
de bdans cette base.
– 1 ⇒3⇒2 : Si best symétrique :
Qj
i=b(e(i),e(j))=b(e(j),e(i))=Qi
j(1≤i≤n,1 ≤j≤n)
donc Qest symétrique.
– 2 ⇒1 : Si Qest symétrique :
x′Qy=[x′Qy]′=y′Q′x=y′Qx
pour toutes n×1 matrices xet y, et (2.2) implique :
bn
i=1
xie(i),
n
i=1
yie(i)=bn
j=1
yje(j),
n
i=1
xie(i)
pour tous vecteurs ∑n
i=1xie(i)et ∑n
i=1yie(i)dans Rn, donc best symé-
trique.

2.1. FORMES BILINÉAIRES 29
Produits scalaires
Définition 2.1.6 Une forme bilinéaire b ∶E×ERsur E est dite :
– « Semi-Définie Positive » (en abrégé : « SDP ») si, pour tout x dans E : b(x,x)≥0.
– « Définie Positive » (en abrégé : « DP ») si, en outre : b(x,x)n’est nul que si x est
le vecteur nul de E .
Définition 2.1.7 On appelle « produit scalaire » sur E toute forme bilinéaire
b∶E×ERsymétrique et DP .
Si b∶E×ERest un produit scalaire sur E,xet ydeux éléments quel-
conques de E, on dit que b(x,y)est le « produit scalaire » de xet de y.
tLorsque Eest muni d’un produit scalaire, et qu’aucune confusion n’est possible sur la
nature de ce produit scalaire, on notera simplement : « <x,y>» le produit scalaire de
deux éléments xet yde E. Cette convention favorise une lecture immédiate des for-
mules de calcul matriciel dans lesquelles le produit scalaire apparait.
Exemple 2.1.2 Sur Rn:<(x1,...,xn),(y1,...,yn)>=∑n
i=1xiyi
Exemple 2.1.3 Sur MR(m,n):<A,B>=∑m
i=1∑n j=1Aj
iBj
i=tr(A′B).
Exemple 2.1.4 Sur Rn[x]:<P,Q>=∫1
0P(x)Q(x)d x.
tLorsque l’espace vectoriel Eest l’un des espaces Rn,MR(m,n), ou Rn[x], ou l’un de
leurs sous-espaces, l’expression « produit scalaire usuel » fera toujours référence aux
produits scalaires définis dans les exemples 2.1.2 à 2.1.4. En l’absence d’indication
contraire, ces espaces sont toujours implicitement supposés munis de leur produit sca-
laire usuel , et la notation : « <x,y>» réfère toujours au produit scalaire usuel de deux
éléments xet y.
Forme quadratique associée à une forme bilinéaire
Définition 2.1.8 On appelle « forme quadratique » sur E toute fonction de la
forme :
q∶ER∶xb(x,x)(2.3)
où b ∶E×ERest une forme bilinéaire sur E. On dit que la forme quadratique
q est « associée » à la forme bilinéaire b.

30 CHAPITRE 2. ESPACES EUCLIDIENS
Proposition 2.1.2 Toute fonction quadratique q ∶ERest associée à une
unique forme bilinéaire symétrique :
bq∶E×ER∶(x,y)
1
2
[q(x+y)−q(x)−q(y)] (2.4)
Preuve : Par définition : bq(x,y)=bq(y,x)pour tout couple d’éléments xet y
de E, et, si qest associée à la forme bilinéaire b∶E×ER:
bq(x,y)=
1
2
[b(x+y,x+y)−b(x,x)−b(y,y)]=
1
2
[b(x,y)+b(y,x)]
ce qui montre que bqest bilinéaire, et coïncide avec bdès que best symétrique.
Forme polaire d’une forme quadratique
Définition 2.1.9 On dit que la forme bilinéaire symétrique :
bq∶E×ER∶(x,y)
1
2
[q(x+y)−q(x)−q(y)]
est la « forme polaire » de la forme quadratique q.
Définition 2.1.10 On dit qu’une forme quadratique est SDP (reps. DP) lorsque sa
forme polaire est SDP (resp. DP).
Exemple 2.1.5 Si {S(1),...,S(n)}est une suite de variables aléatoires à valeurs
réelles réelles, de moyennes nulles, la « variance » de toute combinaison linéaire
∑n
i=1xiS(i)des S(i)(1≤i≤n) est calculée par la forme quadratique :
q∶RnR∶(x1,...,xn)σ2(n
i=1
xiS(i))=x′Dx
de la variable : x =(x1,...,xn), où D est la « matrice de dispersion », ou « matrice
des variances-covariances » des S(i), de terme général :
Dj
i=E(S(i),S(j))−E(S(i))E(S(j)) (1≤i≤n,1 ≤j≤n)
C’est une matrice symétrique, et la forme polaire de q est la forme bilinéaire :
b∶Rn×RnR∶(x,y)x′Dy
Elle est toujours SDP, et DP si et seulement si aucune combinaison linéaire des
S(i)n’est presque sûrement constante.

2.2. ESPACES EUCLIDIENS 31
2.2 Espaces Euclidiens
Du théorème de Pythagore à la notion d’ espace Euclidien
L’origine de la notion d’espace Euclidien est le théorème de Pythagore(1) :
«La somme des carrés des longueurs des côtés d’un triangle rectangle est égale au
carré de la longueur de l’hypothénuse ».
Fig. 2.1 – Preuve géométrique du théorème de Pythagore : l’aire du grand carré égale
celle du petit, augmentée de quatre fois l’aire de l’un quelconque des quatre
triangles rectangles similaires qui le bordent.
La preuve de ce théorème repose sur un simple découpage géométrique
(Fig. 2.1), et sur une règle empirique de calcul de l’aire d’un rectangle(2) : « l’aire
de tout rectangle est égale au produit des longueurs de ses côtés ». Elle se vérifie
en prenant pour unité d’aire l’aire d’un carré dont la longueur du côté est l’unité
de longueur choisie, et implique immédiatement une règle élémentaire de cal-
cul de l’aire de tout triangle rectangle, moitié de l’aire du rectangle construit sur
les côtés de son angle droit . En appliquant ces règles à la figure 2.1, on voit que
l’aire du petit carré inscrit dans le grand est :
(x1+x2)2−4(
1
2
x1x2)=x2
1+x2 2
On en déduit le calcul de la « norme » du « vecteur » xde coordonnées (x1,x2):
x=x2
1+x2 2(2.5)
1. Pythagore de Samos (Πυθαγóρας), philosophe et mathématicien grec, 580( ?)-495( ?) a.c.
2. Empirique car les questions fondamentales sont ici : « Qu’est-ce qu’un angle droit ? » ; et :
« Qu’est-ce qu’un nombre réel ?.