DM2_20111124_Enoncé Complet

D M2 – Physique – Pour le 24/1
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E xercice 1 : Structure du Brome
Le numéro atomique du brome est 35. L’élément brome est essentiellement constitué d’un mélange
presque équimolaire de deux isotopes dont la différence de masse molaire atomique est de 2,00 g.mol-1. La
masse molaire atomique moyenne du brome est de 79,90 g.mol-1.
1. Analyse de la Masse Mola ire
1.1)
Rappeler ce qu’est un isotope.
1.2)
Indiquer le nombre de masse de chacun des isotopes du brome en considérant que la masse
molaire d’un nucléon est de l’ordre de 1 g.mol-1.
1.3)
Indiquer la composition du noyau de chaque isotope.
2. Configura tio n électro nique
2.1)
Écrire la configuration électronique de l’élément brome dans son état fondamental, en précisant la
règle utilisée.
2.2)
Préciser le remplissage de la dernière couche
2.3)
Préciser les valeurs du quadruplet de nombres quantiques du dernier électron de cette dernière
couche.
2.4)
Combien cet atome possède d’électrons de nombre quantique secondaire égal à 2 ?
2.5)
Combien cet atome possède d’électrons de valence ?
2.6)
Donner la représentation de Lewis de l’atome de Brome.
3. Classifica tion Périodique
3.1)
Comment appelle-t-on les éléments qui, dans la classification périodique, appartiennent à la même
colonne (ou famille) que le brome. Citer un élément de cette colonne (autre que le brome).
3.2)
Quelle est la charge d’un ion usuel des éléments de cette colonne ? On justifiera rapidement la
réponse.
4. Quelqu es Ions et Mo lécu les
4.1)
D’après la structure électronique du Brome, quel est l’ion le plus probable qu’il forme ? Préciser la
configuration électronique de cet ion.
4.2)
A l’état naturel, on trouve essentiellement le brome sous la forme de minerai avec l’argent :
Ag k Brn . En sachant que l’ion le plus stable de l’argent est Ag+, à quoi vont être égaux les nombres
k et n ? (On précise qu’un solide est forcément neutre…)
4.3)
Sous forme gazeuse, le Brome aura tendance à se regrouper sous la forme Br2. Justifier pourquoi, et
donner la représentation de Lewis du dibrome.
4.4)
On rencontre souvent le brome dans la molécule de bromométhane CH3Br, qui est un puissant
pesticide. Proposer une structure de Lewis du bromométhane (On rappelle que Z(C)=6, Z(H)=1),
et préciser sa géométrie.
4.5)
On précise les valeurs des électronégativités : χ(C)=2.55, χ(Br)=2.96 et χ(H)=2.20. En déduire les
conséquences sur la répartition des électrons de valence dans cette molécule de bromométhane.
4.6)
On trouve également le brome sous forme de halons, du type CF3Br. Proposer une représentation
de Lewis d’une telle molécule (En sachant que Z(F)=9).
4.7)
Quel est l’élément le plus électronégatif de la classification périodique des éléments ?
4.8)
Préciser alors la répartition des électrons de valence dans la molécule de CF3Br.
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z
E xercice 2 : Etude du Pendule simple
y
(
Le référentiel ℜ G 0; e x , e y , e z , t
)
est supposé galiléen.
O
l
Un pendule simple est constitué d’un objet ponctuel de masse m,
g
suspendu à un fil tendu, inextensible et sans masse, de longueur l. Le
champ de pesanteur terrestre est supposé uniforme, de norme
θ
g = g > 0 . L’extrémité O du fil est fixe.
M(m)
1. Etude du pendule s imple sans frottements
On suppose dans un premier temps que la résistance de l’air est négligeable.
1.1.
Faire le bilan des forces appliquées à l’objet M, et projeter leurs expressions dans la base polaire
1.2.
Refaire un schéma sur votre feuille en représentant toutes ces forces ainsi que la base polaire.
1.3.
Appliquer un PFD à la masse, et en déduire 2 équations vérifiées par l’angle θ.
1.4.
Simplifier ces deux équations en utilisant l’approximation : ∀θ ≪ 1 rad , 
sin θ ≈ θ
, valable
cos θ ≈ 1
UNIQUEMENT lorsque l’angle θ est faible (Comme cela a été vérifié pour le sinus en TP, et sera
démontré en maths pour le cosinus). Déterminer alors la pulsation propre ω0 des oscillations en
fonction de g et de l.
1.5.
Déterminer l’équation horaire du mouvement θ(t) en supposant qu’à l’instant t = 0, l’objet M est
abandonné sans vitesse initiale d’une position repérée par l’angle θ0.
1.6.
Donner l’expression générale de la vitesse du pendule en coordonnées polaires, et la simplifier
dans le cas présent. Tracer les évolutions temporelles de θ(t) ainsi que de la composante
orthoradiale vθ(t) de la vitesse. Exprimer la valeur maximale vmax de la norme de la vitesse de M
au cours du mouvement en fonction de θ0, de g et de l. En quel point est-elle atteinte ?
1.7.
La tension du fil T est-elle constante au cours de l’évolution ? Exprimer la relation vérifiée par
cette tension T, donner son expression, et tracer son évolution au cours du mouvement. Quelle
est la valeur maximale Tmax de cette tension ?
1.8.
Un singe se pend à une corde et se balance d’arbres en arbres. A quel moment la corde a-t-elle le
plus de chance de casser ?
2. Etude avec frottements fluide
On suppose à partir de maintenant que le point M subit au cours de son mouvement une force de
frottement fluide
f = −λ v , où λ est une constante positive et v la vecteur vitesse du point M à
l’instant t. La condition
θ ( t ) ≪ 1 rad
reste encore satisfaite à chaque instant.
2.1.
Etablir la nouvelle équation différentielle satisfaite par la fonction θ(t).
2.2.
Les grandeurs m, g et l étant fixées, donner la condition portant sur λ pour que le mouvement
soit pseudo-périodique.
2.3.
On suppose que la condition de la question précédente est réalisée. Exprimer θ(t) sous la forme
θ ( t ) = Ae
−t
τ
cos ( Ωt + ϕ ) . On justifiera soigneusement l’établissement de cette relation et
on exprimera A, τ et Ω en fonction des données du problème (m, λ, σ, ω0, φ, …).
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Evolution de l’angle θ en fonction du temps après avoir été laché d’un angle θ0 :
θ (rad)
0,20
0,10
0,05
0,00
2.4.
t (s)
1,0
2,0
4,0
6,0
8,0
Notion de demi
demiemi-vie : Une particularité des systèmes amortis exponentiellement est que l’on peut
définir une période de demi-vie, par analogie avec les désintégrations de particules radioactives.
Pour illustrer ce phénomène :
a)
Commencer par calculer le temps
t 1 au bout duquel l’enveloppe exponentielle ne vaut plus
2
que 50% de sa valeur initiale. Le signal aura ainsi perdu la moitié de sa « vie »
b)
Calculer ensuite la valeur de l’enveloppe exponentielle pour
2t 1 , 3t 1 , 4t 1 , 5t 1 …
2
2
2
2
c)
Résumer les valeurs obtenues dans le tableau suivant, et commenter cette notion de demi-vie.
d)
Attention : le signal a-t-il complètement disparu (« est-il mort ? ») au bout de 2 demi-vies ?
t1 = ?
t
e
2.5.
−t
2
2t 1
2
3t 1
2
4t 1
2
5t 1
2
τ
Notion de décrément logarithmique : Il est aussi possible de décrire l’atténuation du signal par
son décrément logarithmique. On peut ensuite en déduire le coefficient de frottement fluide.
Pour illustrer ce phénomène :
a)
En notant T la pseudo-période, exprimer θ(t+T) en fonction de θ(t)
b)
On appelle décrément logarithmique la grandeur sans dimension : δ = ln 
 θ (t ) 
.
 θ ( t + T ) 


Exprimer ce décrément logarithmique en fonction de λ, de T et de m.
c)
Par lecture graphique entre les 2 premiers pics consécutifs, déterminer les valeurs de T et δ.
d)
En déduire celle de λ (sans omettre de préciser son unité), sachant que m = 1kg.
e)
Refaire la mesure sur les 2 pics consécutifs suivants. La valeur de δ est-elle différente ?