Décomposition LU

Décomposition LU 1
Décomposition LU
En algèbre linéaire, la décomposition LU est une méthode de décomposition d'une matrice comme produit d'une
matrice triangulaire inférieure L (comme "Low", bas) et une matrice triangulaire supérieure U (comme "Up", haut).
Cette décomposition est utilisée en analyse numérique pour résoudre des systèmes d'équations linéaires.
Définition
Soit A une matrice inversible. La matrice A peut être décomposée ainsi :
où P est une matrice de permutation (de même pour P--1), L est une matrice triangulaire inférieure avec des 1 sur la
diagonale et U une matrice triangulaire supérieure. Parfois, la matrice de passage P peut être choisie afin d'être une
matrice identité. Dans ce cas, la décomposition devient
Exemple
Soit par exemple la matrice :
Cette matrice se factorise en un produit d'une matrice triangulaire inférieure par une matrice triangulaire supérieure
de la façon suivante :
Applications
Résoudre un système d'équations linéaires
Cette factorisation matricielle permet de résoudre des systèmes d'équations linéaires où les coefficients des
inconnues sont les mêmes, mais avec plusieurs seconds membres différents. Soit à déterminer le vecteur d'inconnues
{x} associé au second membre {b} :
Ce problème est donc équivalent à la résolution de
ou encore
que l'on peut mettre, en posant sous la forme :
On trouve les composantes de y par des substitutions élémentaires, puisque d'abord , puis
, etc.
Cette étape est appelée descente, puisqu'on résout le système en descendant de à . Il reste à calculer les
composantes du vecteur {x} en résolvant le système triangulaire supérieur :

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ce qui se fait de manière similaire, mais en calculant d'abord
, etc. en remontant (étape dite de remontée).
Remarque. - Les matrices triangulaires L et U auraient pu être inversées aisément en utilisant l'élimination de
Gauss-Jordan. Mais si l'on compte simplement le nombre d'opérations que cela représente pour un système à n
équations, on trouvera que la complexité algorithmique du calcul des matrices inverses est supérieure, de sorte que si
l'on veut résoudre ce système pour divers b, il est plus intéressant de réaliser la décomposition LU une fois pour
toutes et d'effectuer les substitutions de descente-remontée pour les différents b plutôt que d'utiliser l'élimination de
Gauss-Jordan à de multiples reprises. Ainsi, dans la plupart des publications d'analyse numérique, lorsque la matrice
A a été factorisée sous forme LU ou Cholesky (cf. infra, § Le cas symétrique ), on écrit par abus pour
signifier que le calcul de b peut se faire par cette méthode de descente-remontée. Il est sous-entendu qu'il n'est
absolument pas question d'utiliser l'algorithme en calculant la matrice inverse de A, ce qui serait inutilement
coûteux en temps de calcul.
Inverser une matrice
Les matrices L et U peuvent être utilisées pour déterminer l'inverse d'une matrice. Les programmes informatiques qui
implémentent ce type de calcul, utilisent généralement cette méthode.
Calcul d'un déterminant
Si A est sous forme LU ou PLU, son déterminant se calcule facilement : . Les
trois déterminants de ce produit sont très simples à calculer (matrices triangulaires ou de permutations).
Existence, unicité
Pour toute matrice carrée, on a existence d'une décomposition PLU. La décomposition LU existe si et seulement si
toutes les sous matrices principales d'ordre 1 à n-1 sont inversibles. Si toutes les sous matrices principales d'ordre 1 à
n sont inversibles, elle est unique[1] .
Calcul de la décomposition
Idée principale
La décomposition LU est une forme particulière d'élimination de Gauss Jordan. On transforme la matrice A en une
matrice triangulaire supérieure U en éliminant les éléments sous la diagonale. Les éliminations se font colonne après
colonne, en commençant par la gauche, en multipliant A par la gauche avec une matrice triangulaire inférieure.
Algorithme
Étant donné une matrice de dimension
on définit
et les itérations se font pour n = 1,...,N-1 de la manière suivante.
Sur nième colonne de A(n-1), on élimine les éléments sous la diagonale en ajoutant à la ième ligne de cette matrice, la
nième ligne multipliée par

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pour . Ceci peut être fait en multipliant par la gauche A(n-1) avec la matrice triangulaire
inférieure
Après N-1 itérations, nous avons éliminé tous les éléments sous la diagonale, par conséquent, nous avons maintenant
une matrice triangulaire supérieure A(N-1).
Nous obtenons la décomposition
Notons U la matrice triangulaire supérieure A(N-1) et . Sachant que l'inverse d'une matrice
triangulaire inférieure est aussi une matrice triangulaire inférieure et que le produit de 2 matrices triangulaires
inférieures est encore une matrice triangulaire inférieure, L est donc une matrice triangulaire inférieure. On obtient
.
Au vu de l'algorithme, il est nécessaire que à chaque itération (voir la définition de ). Si, au cours
du calcul, ce cas de figure venait à se produire, il faut intervertir la nième ligne avec une autre pour pouvoir
continuer (il est toujours possible de trouver un élément non nul sur la colonne qui pose problème car la matrice est
inversible). C'est la raison pour laquelle la décomposition LU s'écrit généralement .
Le cas symétrique
• Si la matrice A est une matrice symétrique, il existe une décomposition dite factorisation de Crout
où L est une matrice triangulaire inférieure dont la diagonale ne comprend que des 1, est la transposée de L, et D
est une matrice diagonale.
• Si la matrice A est symétrique définie positive, il existe une décomposition plus simple, donnée par la méthode de
Cholesky
où L est une matrice triangulaire inférieure à diagonale positive et est la transposée de L.
Notes et références
[1] Pour la démonstration, cf. Ciarlet, chap. 4, §4.3
• P. G. Ciarlet - « Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation » (1985, rééd. 2001), éd.
Masson, coll. Math. Appl. pour la Maîtrise (ISBNŽ2-225-68893-1)

Sources et contributeurs de l’article 4
Sources et contributeurs de l’article
Décomposition LU ŽSource: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=62672091 ŽContributeurs: Ambigraphe, Anne Bauval, Antoinetav, Badmood, Calame, Coyote du 86, Cícero, Dake,
Escaladix, Jean-Charles.Gilbert, Jef-Infojef, Kelam, Malosse, Nojhan, Peps, Pierrelm, Raphaeleh, SGC.Alex, SooW, Stefp, Theon, Tomari, Verbex, Xofc, 27 modifications anonymes
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