mecanique_2eme periode2009

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PCSI-MPSI
2ème Période
Modélisation cinématique
des mécanismes
Statique du solide
D.Feautrier
-2-
Méthode d’analyse d’un mécanisme
Partie 1
Méthode d’analyse d’un mécanisme
1.1
Modélisation des liaisons
1.1.1
Introduction
L’objectif de ce chapitre est de donner une méthode qui permet de construire un schéma cinématique d’un
mécanisme. Pour cela il faut être capable de modéliser cinématiquement les liaisons entre les différents
solides composant un mécanisme donné.
1.1.2
Classe d’équivalence cinématique
L’ensemble des solides d’un mécanisme sans mouvement relatif constitue une classe d’équivalence cinématique.
En général, pour plus de clarté, on numérote les classes d’équivalence.
-3-
1.1.3
Analyse des zones de contact entre classes d’équivalence
Afin de déterminer le modèle cinématique associé à une liaison mécanique, il convient d’analyser la
géométrie des zones de contact entre les deux classes d’équivalence.
On distingue trois types de géométrie des zones de contact :
• Contact ponctuel
• Contact linéaire
• Contact surfacique
Le tableau suivant regroupe les différentes possibilités d'associations de surfaces élémentaires :
1.2
Cinématique du contact ponctuel
Soient deux solides 1 et 2 en contact ponctuel au point I . Soit Π le plan tangent à 1 et 2 en P .
-4-
Méthode d’analyse d’un mécanisme
Le torseur cinématique de 2 par rapport à 1 s’écrit en P : { V ( 2 ⁄ 1 ) } =
Ω(2 ⁄ 1)
V(P ∈ 2 ⁄ 1 ) P
Par définition, on appelle vecteur vitesse de glissement au point P le vecteur V ( P ∈ S 2 ⁄ S 1 )
On pose Ω ( 2 ⁄ 1 ) = Ω n ( 2 ⁄ 1 ) + Ω t ( 2 ⁄ 1 ) où :
• Ω n ( 2 ⁄ 1 ) est appelé vecteur rotation de pivotement
• Ω t ( 2 ⁄ 1 ) est appelé vecteur rotation de roulement
Propriété : Le vecteur vitesse de glissement du point P du solide 2 par rapport au solide 1 appartient au
plan tangent Π .
Remarque : On dit qu’il y a roulement sans glissement si
V ( P, 2 ⁄ 1 ) = 0 , Ω n ( 2 ⁄ 1 ) = 0 et Ω t ( ( 2 ⁄ 1 ) ≠ 0 )
1.3
Liaisons normalisées
1.3.1
Repère local associé à une liaison
Les liaisons les plus courantes rencontrées en mécaniques sont normalisées. Cette norme à uniquement
pour but de définir des possibilités de mouvement autorisées par une liaisons entre deux classes d’équivalence sans préjuger de la conception technologique de la liaison.
Les mouvements relatifs autorisé dépendent de la nature des surfaces en contact. Les surfaces prises en
comte par la désignation normalisée sont les surfaces simples : sphère, plan, cylindre. L’association des
surfaces donnent des contacts ponctuels, linéiques ou surfaciques de formes diverses. C’est de l’associations de ces surfaces que résultent les mouvements possibles.
-5-
Pour décrire à un instant donné les translations
et les rotations autorisées par une liaison, on
place judicieusement sur cette liaison un repère
R ( O, x, y, z ) de façon à décomposer le mouvement relatif entre les deux solides en six
mouvements élémentaires qui seront paramétrés par six paramètres (position et orientation)
indépendants : trois translations d’axe x , y ou
z et trois rotations autour des axes ( O, x ) ,
( O, y ) et ( O, z ) . Le repère R ( O, x, y, z ) est
appelé repère local associé à une liaisons.
1.3.2
Degrés de liberté d’une liaison
Le nombre de degrés de liberté d’une liaison entre deux solides est le nombre de mouvements élémentaires
indépendants que la liaison autorise (nombre de rotations et de translations suivant les axes du repère
local). Il est au maximum de six (voir chapitre «paramétrés de la position de deux solides dans l’espace»).
1.3.3
Modèles cinématiques associés aux liaisons
En fonction de la géométrie de la zone de contact on va autoriser ou supprimer des degrés de liberté.
*
-6-
Méthode d’analyse d’un mécanisme
*
-7-
1.3.4
Graphe des liaisons
Le graphe des liaisons d’un mécanisme est une représentation plane qui sert à décrire les liaisons entre les
classes d’équivalence d’un mécanisme. Dans ce graphe, les classes d’équivalence sont schématisés par des
cercles et les liaisons par des arcs joignant ces cercles (voir exemple p10)
1.3.5
Schéma cinématique minimal
Le schéma cinématique minimal d’un mécanisme est une représentation géométrique plane ou spatiale du
graphe minimal des liaisons. Pour construire ce schéma, on dessine les symboles normalisés des liaisons en
respectant les caractéristiques géométriques relatives des différentes liaisons (parallélisme, orthogonalité,
perpendicularité, coaxialité,...). Par contre, il est inutile d’avoir un positionnement dimensionnel précis.
Les solides sont représentés par des traits continus qui relient les symboles normalisés des liaisons.
1.4
Torseurs cinématiques des liaisons normalisées
Le tableau ci-après définit les torseurs cinématiques des liaisons normalisées introduites précédemment. Le
torseur cinématique du mouvement du solide 2 par rapport au solide 1 s’écrit en O, origine du repère local
associé à la liaison,
{V(2 ⁄ 1)} =
Ω(2 ⁄ 1)
V(O ∈ 2 ⁄ 1) O
Posons
dans
la
base
du
repère
local :
Ω ( 2 ⁄ 1 ) = ωx x + ωy y + ωz z
et
V ( O ∈ 2 ⁄ 1 ) = vx x + vy y + vz z
On peut alors écrire le torseur cinématique des deux façons suivantes,
ωx
vx
{ V ( 2 ⁄ 1 ) } = ωy
ωz
vy
vz
=
O, ( x, y, z )
ωx x + ωy y + ωz z
vx x + vy y + vz z
O
Suivant la nature de la liaison, une ou plusieurs composantes du torseur cinématique sont nulles et le torseur prend une forme particulière, avec le maximum de composantes nulles en correspondance directe avec
les degrés de liberté de la liaison, appelé forme canonique du torseur.
-8-
Tableau des liaisons normalisées
Méthode d’analyse d’un mécanisme
-9-
- 10 -
1.5
Exemple : Pompe Oscillante
Dessin technique :
Schéma cinématique :
Graphe de liaisons :
Méthode d’analyse d’un mécanisme
- 11 -
Remplir le tableau ci-dessous pour chacune des liaisons :
Degrés de
liberté
Tx =
Rx =
L2/1 Ty =
Ry =
Tz =
Rz =
Tx =
Rx =
L2/3 Ty =
Ry =
Tz =
Rz =
Tx =
Rx =
L3/4 Ty =
Ry =
Tz =
Rz =
Torseurs
cinématiques
associés
Symboles de schématisation
2D
3D
1.6
Liaisons cinématiquement équivalentes
1.6.1
Définition
Deux solides S 1 et S 2 étant liés entre eux par des liaisons parfaites, on appelle liaison équivalente la
liaison fictive qui caractérise globalement la liaison entre S 1 et S 2 du point de vue cinématique.
Attention : La liaison équivalente n’a aucune valeur technologique mais elle permet de globaliser mathématiquement l’étude des degrés de liberté.
1.6.2
Association de liaisons en parallèle
Soient deux solides S 1 et S 2 liés entre eux directement par des liaisons usuelles L 1, L 2, L 3, … .
L1
S1
L2
L3
L 1, L 2, L 3 sont des liaisons dites en parallèle.
S2
- 12 -
Méthode d’analyse d’un mécanisme
Si l’on remplace les liaisons usuelles par leur liaison équivalente L eq le graphe est le suivant,
L eq
S1
1.6.3
S2
Associations de liaison en série
Soient deux solides S 1 et S 2 liés entre eux par une chaîne cinématique ouverte constituée de solides et de
liaisons usuelles :
S1
L1
L2
L3
S4
S3
S2
Si l’on remplace les liaisons usuelles par leur liaison équivalente L eq le graphe équivalent est le suivant,
S1
1.6.4
L eq
S2
Etude des liaisons en parallèle
Lorsque deux solides sont liés entre eux par un groupement de m liaisons mises en parallèle, les mouvements relatifs existant entre les deux solides sont ceux appartenant simultanément aux liaisons composantes,
{ V eq } = { V 1 } = { V 2 } = … = { V m }
1.6.5
(1)
Etude des liaisons en série
Lorsque deux solides S 1 et S 2 sont liés entre eux par un groupement de liaisons mises en série par l’intermédiaire d’autres solides, les mouvements relatifs existant entre S 1 et S 2 sont représentés par tous les
mouvements que peuvent transmettre les liaisons composantes,
m
{ V eq } =
1.6.6
Structure des mécanismes
∑ { Vj }
(2)
j=1
On distingue trois principale structure de mécanisme suivant que le graphe de liaison est ouvert ou bouclé.
- 13 -
1.6.6.1
Chaîne ouverte (type robot)
Schéma cinématique
3
2
Graphe de liaison associé
L 12
4
L 23
1
⇔
1
2
3
L 01
L 34
0
1.6.6.2
4
Chaîne simple fermée : exemple d’un engrenage
Schéma cinématique
Graphe de liaison associé
1
⇔
2
1
L 01
L 12
2
0
L 02
1.6.6.3
Chaîne complexe fermée : exemple d’un train d’engrenage
Schéma cinématique
Graphe de liaison associé
3
1
0
4
⇔
L 01
1
L 13
L 03
0
L 04
4
3
L 34
En seconde année, on définira la notion de mobilité d’une chaîne cinématique qui permet de définir le
nombre de paramètres cinématiques réellement indépendants en fonction du nombre de degrés de liberté
total caractérisant les liaisons entre les classes d’équivalence.
- 14 -
1.6.7
Méthode d’analyse d’un mécanisme
Exemple 1 : Presse de modélisme
Etudes possible :
• Déterminer les classes d’équivalence,
• Faire le graphe des liaisons
• Déterminer la liaison équivalente entre les classes d’équivalence {1}={10,13,12,11} et
{0}={00,01,02,03,04,05}
• Déterminer la mobilité cinématique du mécanisme
•
- 15 -
1.6.8
Exemple 2 : Pompe Oscillante
Etudes Possible : On pose AB = λ ( t )x 2
• Effectuer le graphe des liaisons,
• L’entrée étant la rotation de S1 et la sortie la translation de S2 par rapport à S3, déterminer la loi entrée
sortie λ = f ( α ) . Pour cela écrire la relation de fermeture géométrique, OB = OA + AB .
·
• Déterminer la vitesse de translation du piston S2 par rapport à S3 en fonction de α , α et des paramètres
géométriques. Pour cela écrire la relation de fermeture cinématique,
{ V ( S2 ⁄ S3 ) } = { V ( S2 ⁄ S1 ) } + { V ( S1 ⁄ S0 ) } + { V ( S0 ⁄ S3 ) }
- 16 -
Statique du solide
Partie 2
Statique du solide
2.1
Actions mécanique
2.1.1
Définition
On appelle action mécanique toute cause susceptible de maintenir un système matériel au repos, de créer ou
de modifier un mouvement, de déformer un solide.
2.1.2
Classification
• Actions mécaniques à distance : D’origine gravitationnelle ou électrique. Ces actions mécaniques, dites
également volumiques, s’exercent en chaque point du système matériel.
• Actions mécaniques de contact (liaison entre deux solides) : Ces actions mécaniques, dites également
surfaciques, s’exercent en tout d’une surface de contact commune à deux solides.
2.1.3
Modélisation des actions mécaniques
La modélisation des actions mécaniques peut se faire soit d’un point de vue local ou d’un point de vue global suivant l’objectif de l’étude envisagée :
• la modélisation locale a pour but d’étudier l’action mécanique dans la zone où elle s’exerce (champ de
pesanteur, champ de pressions de contact,...).
• la modélisation globale, par un torseur, caractérise globalement l’action mécanique dans le but d’appliquer, par exemple, le principe fondamental de la statique.
- 17 -
2.2
Modélisation locale des actions mécaniques
2.2.1
Représentation par un champ de forces
Les actions mécaniques à distance, ou de contact, qu’exerce un système matériel 1 sur un système matériel
2 sont représentées en tout point P de 2, ou d’une partie de 2, par un champ de glisseur (vecteurs libre)
défini relativement à un élément de mesure dμ (longueur dl , surface ds ou volume dv élémentaires).
Par définition une force élémentaire est une action mécanique modélisable par un glisseur :
dF ( P ) = f ( P ) ⋅ dμ
• une force élémentaire de contact en un point P de l’action mécanique de 1 sur 2 a un vecteur associé
dF ( P ) = f ( P ) ⋅ ds (ou dF ( P ) = f ( P ) ⋅ dl si la surface de contact peut être assimilée à une ligne).
• un force élémentaire à distance en un point P du volume de 1 a un vecteur associé dF ( P ) = f ( P ) ⋅ dv .
On appelle f ( P ) densité du champ de force relativement à l’élément de surface ds (ou dl ) ou à l’élément
de volume dv .
La modélisation locale est donc réalisée par des champs de force.
2.3
Modélisation globale des actions mécaniques
2.3.1
Moment d’une force en un point
Soit une force dF ( P ) = f ( P ) ⋅ ds s’exerçant en un point P et un point A de l’espace à trois dimension distinct de P.
On appelle alors moment en A de la force dF ( P ) , le vecteur «moment», M A = AM ∧ dF ( P )
- 18 -
2.3.2
Statique du solide
Représentation par un torseur
Les actions mécaniques qu’exerce un système matériel 1 sur un système matériel 2 étant représentées localement par un champ de glisseur défini relativement à un élément de mesure dμ , on peut leur associer en un
point A quelconque, le torseur à la structure suivante :
{T(1 → 2)} =
R(1 → 2)
M ( A, 1 → 2 ) A
∫
f P ( 1 → 2 ) dμ
P∈2
=
∫
(3)
AP ∧ f P ( 1 → 2 ) dμ
P∈2
Ce torseur appelé torseur des actions mécaniques de 1 sur 2 au point A caractérise globalement l’action
mécanique de 1 sur 2.
Remarque : Deux actions mécaniques seront dites équivalentes si elles ont le même torseurs en un même
point.
2.3.3
Action mécanique de contact surfacique : modélisation locale
Soient deux solides 1 et 2 en contact suivant une surface S . L’action mécanique de 1 sur 2 est représentée
en chaque point P de S par la densité surfacique de force f P ( 1 → 2 ) . On admet que P ∈ Π plan tangent
aux deux solides 1 et 2. Alors la densité surfacique de force se décompose suivant un vecteur normal au
plan Π , n P ( 1 → 2 ) et un vecteur contenu dans Π , t P ( 1 → 2 ) .
On appelle,
_ n P ( 1 → 2 ) la densité surfacique normale des forces de contact ou pression de contact de l’action mécanique de 1 sur 2.
_ t P ( 1 → 2 ) la densité surfacique tangentielle des forces de contact, au point P , de l’action mécanique de
1 sur 2.
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2
Un densité surfacique s’exprime en mégapascals (MPa) avec 1MPa = 1N ⁄ mm .
Lorsqu’il y a contact, le vecteur n P ( 1 → 2 ) est toujours orienté du solide 1 vers le solide 2.
2.3.4
Loi de Coulomb
Définitions :
Soit la vitesse de glissement au point P , V ( P ∈ 2 ⁄ 1 ) du mouvement du solide 2 par rapport au solide 1.
• On dit qu’il y a adhérence au point P entre les solides 1 et 2 si : V ( P ∈ 2 ⁄ 1 ) = 0 .
• On dit qu’il y a glissement au point P entre les solides 1 et 2 si : V ( P ∈ 2 ⁄ 1 ) ≠ 0
Les lois de Coulomb sont des lois expérimentales qui donnent des informations sur les densités surfaciques
normales et tangentielles des forces de contact lorsqu’il y a adhérence et lorsqu’il y a frottement au point
P.
1er cas : il y a frottement et glissement relatif au point P
- 20 -
Statique du solide
Dans ce cas V ( P ∈ 1 ) ≠ 0 . La densité surfacique des forces de contact au point P est alors telle que,
tP ( 1 → 2 ) ∧ V ( P ∈ 2 ⁄ 1 ) = 0
tP ( 1 → 2 ) ⋅ V ( P ∈ 2 ⁄ 1 ) < 0
tP ( 1 → 2 ) = f ⋅ nP ( 1 → 2 )
Les deux premières relations indiquent que la densité surfacique tangentielle des forces de contact est
opposée au vecteur vitesse de glissement au point P dans le mouvement de 1 sur 2.
L’interprétation géométrique que l’on peut en faire est qu’il existe un angle ϕ tel que f = tan ϕ appelé
angle de frottement et qui est le demi angle au somment d’un zone appelé cône de frottement d’axe perpendiculaire Π sur lequel se situe f P ( 1 → 2 ) . La position de f P ( 1 → 2 ) sur le cône de frottement est fixée
par la vitesse de glissement.
2ème cas : il y a frottement et adhérence au point P
Dans ce cas V ( P ∈ 2 ⁄ 1 ) = 0 . La densité surfacique des forces de contact au point P est alors telle que,
tP ( 1 → 2 ) < f0 ⋅ nP ( 1 → 2 )
où f 0 est appelé coefficient d’adhérence des matériaux 1 et 2.
L’interprétation géométrique que l’on peut en faire est qu’il existe un angle ϕ 0 tel que f 0 = tan ϕ 0 appelé
angle d’adhérence et qui est le demi angle au somment d’un zone appelé cône d’adhérence d’axe perpendiculaire Π à l’intérieur duquel se situe f P ( 1 → 2 ) . La position du vecteur f P ( 1 → 2 ) est donc a priori
totalement inconnue à l’intérieur du cône d’adhérence.
- 21 -
Adhérence et frottement
La détermination des coefficients de frottement et d’adhérence est délicate à cause de leur dépendance vis
à vis de nombreux paramètres :
• nature du couple de matériaux,
• état de surface,
• pression de contact,
• température de contact,
• vitesse de glissement,
• lubrification, etc
Par exemple, on a pour un couple acier/acier un coefficient de frottement compris entre 0,1 et 0,2, et un
coefficient d’adhérence compris entre 0,15 et 0,25. En général f 0 > f , mais reste toujours très proche. Par
mesure de simplification, on considère souvent que ces deux coefficients sont égaux.
Pour résoudre les problèmes de statique, on considérera très souvent les deux cas particulier suivant :
• On est à la limite du glissement : Le glissement est nul au point considéré mais sur le point de se produire dans une direction et un sens prévisibles à l’avance,
• Il y a contact sans adhérence et sans frottement : Les deux coefficients sont très faibles, on simplifie
l’étude en disant que f = f 0 = 0 . Alors f P ( 1 → 2 ) est perpendiculaire à Π .
2.3.5
Action mécanique de contact surfacique : modélisation globale
L’action mécanique de contact qu’exerce un système matériel 1 sur une surface S d’un système matériel 2,
définie localement par une densité surfacique de forces f P ( 1 → 2 ) , est caractérisée globalement en un
point A quelconque par le torseur,
{T(1 → 2)} =
R(1 → 2)
M ( A, 1 → 2 ) A
∫
f P ( 1 → 2 ) ds
P∈S
=
∫
P∈S
(4)
AP ∧ f P ( 1 → 2 ) ds
A
Ce torseur est à priori quelconque, mais dans le cas des liaisons normalisées entre deux solides réalisées
par contact surfacique sans frottement, le torseur d’action mécanique transmissible par chaque liaison se
simplifie et possède des propriétés que l’on mettra en évidence.
- 22 -
2.4
Statique du solide
Torseurs d’actions mécanique des liaisons sans frottement
Pour chaque liaison normalisée définie en cinématique, nous allons déterminer les caractéristiques du torseur d’action mécanique susceptible d’être transmis par la liaison, lorsque celle-ci est réalisée par contact
direct surfacique, linéique ou ponctuel, entre deux solide 1 et 2.
La forme du torseur d’action transmissible par une liaison réalisée par contact direct entre deux solides,
sera généralisée au torseur d’action mécanique transmissible par une liaison équivalente entre deux solides.
Le torseur d’action mécanique transmissible du solide 1 au solide 2 s’écrit au point O , origine du repère
local associé à une liaison,
{T(1 → 2)} =
R(1 → 2)
M ( O, 1 → 2 ) O
Posons dans la base du repère local :
R ( 1 → 2 ) = Xx + Yy + Zz et M ( O, 1 → 2 ) = Lx + My + Nz
Le torseur s’écrit alors dans sa forme générale,
X
{T(1 → 2)} = Y
Z
L
M
N O
(5)
Suivant la nature de la liaison, une ou plusieurs composantes du torseur d’action mécanique transmissible
sont nulles et le torseur prend une forme particulière, avec le maximum de composantes nulles en correspondance directe avec les degrés de liberté de la liaison, appelé forme canonique du torseur.
Pour les liaisons normalisées étudiées, nous définirons,
• la nature de la surface de contact compatible avec le mouvement relatif des solides,
• la forme du torseur d’action mécanique transmissible par la liaison, dans le cas d’un contact sans frottement,
• les points de l’espace où le torseur conserve sa forme canonique.
- 23 -
Tableau des liaisons normalisées
- 24 -
2.5
Principe fondamental de la statique
2.5.1
Equilibre d’un ensemble matériel
Statique du solide
Un système matériel E peut-être un solide ou un ensemble de solides liés entre eux par des liaisons parfaites ou non.
On dira que E est en équilibre par rapport à un repère R si au cours du temps, chaque point de E conserve
une position fixe par rapport à R .
- 25 -
2.5.2
Enoncé
Il existe au moins un repère galiléen R tel que pour tout système matériel E en équilibre par rapport à ce
repère galiléen R , le torseur d’actions mécaniques extérieures à E soit nul, c’est à dire :
{T(E → E)} = {0}
2.5.3
Résolution d’un problème de statique
2.5.3.1
Notion d’isostatisme et d’hyperstatisme
1
1
2
2
Pb Isostatique
1
2.5.3.2
Pb Hyperstatique
1
2
2
E est un solide
{T(n → E)}
{T(1 → E)}
E
{T(2 → E)}
{T(i → E)}
• E est en équilibre et on veut déterminer des relations entre les actions extérieures ou bien en déterminer
- 26 -
Statique du solide
certaines à partir d’autres supposées connues (poids,..)
• Isoler l’ensemble matériel et faire le bilan des actions mécaniques extérieures.
• Appliquer le PFS et projeter les deux relations vectorielles (résultante et moment) obtenues dans une
base orthonormée.
• Résolution du système de 6 équations pour déterminer les inconnues du problème (si le problème est
isostatique).
2.5.3.3
E est un ensemble de solides liés par des liaisons avec graphe à chaîne ouverte
Schéma cinématique
Graphe de liaison associé
{ T ( ext → 2 ) }
{ T ( ext → 1 ) }
2
1
3
4
{ T ( ext → 3 ) }
⇔
{ T( 1 → 2 ) }
1
{ T( 0 → 1 ) }
0
2
{ T( 2 → 3 ) }
{ T ( ext → 4 ) }
3
{ T( 3 → 4 ) }
4
• E est en équilibre, soumis à des actions extérieures { T ( ext → i ) } supposées connues, et on veut déterminer les torseurs d’actions mécaniques transmises par les liaisons entre les différents solides.
• Isoler n-1 solides ou ensembles de solides, puis faire le bilan des actions mécaniques extérieures à chaque isolement.
• Pour chaque isolement appliquer le PFS et écrire les 2(n-1) relations vectorielles (résultante et moment)
obtenues dans une base orthonormée.
• Résolution du système de 6(n-1) équations au plus pour déterminer les inconnues du problème.
Remarque : Un tel problème est toujours isostatique.
- 27 -
2.5.3.4
E est ensemble de solides liés par des liaisons avec graphe à chaîne fermée
{ T ( ext → 2 ) }
A
{ T ( ext → 4 ) }
2
{ T( 1 → 2 ) }
{ T( 2 → 4 ) }
2
1
4
1
C
4
3
{ T( 3 → 4 ) }
{ T( 1 → 3 ) }
3
O
B
{ T ( ext → 3 ) }
• E est en équilibre, soumis à des actions extérieures { T ( ext → i ) } supposées connues, et on veut déterminer les torseurs d’actions mécaniques transmises par les liaisons entre les différents solides.
• Isoler n-1 solides ou ensembles de solides, puis faire le bilan des actions mécaniques extérieures à chaque isolement.
• Pour chaque isolement appliquer le PFS et écrire les 6(n-1) relations scalaires (résultante et moment)
obtenues dans une base orthonormée.
• Résolution du système de 6(n-1) équations au plus pour déterminer les inconnues du problème.
Remarque : Un tel problème peut être hypertsatique.