sujet

Les calculatrices sont autorisées
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la
concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signa-
lera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives
qu’il a été amené à prendre.
PROBLÈME
Les parties I,II et III sont totalement indépendantes. La partie IV utilise certains résultats
des parties I,II et III.
Notations
On considère l’espace vectoriel R3euclidien , muni de sa base orthonormée canonique
i= (1;0;0) ; j = (0;1;0) ; k = (0;0;1)
Pour tout n2on note Mn(R)l’ensemble des matrices carrées nnà coe¢ cients dans
Ret GLn(R)l’ensemble des matrices inversibles de Mn(R).On note Inla matrice identité
de Mn(R)
On appelle vecteur colonne de Rntoute matrice à nlignes et 1colonne à coe¢ cients dans
R.
On note Mn;1(R)l’ensemble des vecteurs colonnes de Rn::
M3;1(R)est muni du produit scalaire <0
@
x
y
z
1
A;0 @
a
b
c
1
A>=xa +by +cz . On note k:k
la norme euclidienne associée.
On note t Mla transposée de la matrice M.
Partie I
Un exemple numérique
Dans cette partie, on se propose d’étudier le système linéaire suivant :
(S)8
<
:
2xy= 3
x+ 2yz=5
y+ 2z= 5
1. Montrer que, si l’on pose X=0
@
x
y
z
1
A, le système (S)s’écrit sous forme matricielle
AX =Bavec Aune matrice de M3(R)et Bun vecteur colonne que l’on déterminera.
2. Calculer det(A).On pourra utiliser la calculatrice.
La matrice Aest-elle inversible ?
1/??

3. Déterminer l’inverse A1de A.On pourra utiliser la calculatrice.
4. Montrer que le système (S)n’admet qu’une seule solution Qque l’on déterminera.
5. a. Montrer que le système (S)est équivalent au système X=JX +Kavec un vecteur
colonne Kde R3que l’on déterminera et la matrice
J=0
B
B
@
01
20
1
201 2
01
20
1
C
C
A:
b. Montrer que la matrice Jest semblable à la matrice D=1
20
@
0 0 0
0p2 0
0 0 p2
1
Aet
déterminer une matrice de P2 GL3(R)véri…ant les deux conditions :
J=P DP 1
les colonnes de Pforment une base orthonormée directe.
c. Véri…er que tP P =I3
d. Pour tout entier naturel p, déterminer Jpen fonction de Det de la matrice P, puis
donner les 9coe¢ cients de Jp(on distinguera selon la parité de p)
On dé…nit la suite de vecteurs colonnes (X(p))p2Npar X(0) =0
@
1
2
0
1
Aet la relation de récur-
rence
8p2N:X(p+1) =JX(p)+K
On pose en…n (p)=X(p)Q.
6. Calculer les vecteurs colonnes X(1) et (1).
7. Écrire un programme dans le langage de Maple ou Mathematica qui calcule le vecteur
colonne X(2008).
8. a. Montrer que pour tout entier naturel p,(p+1) =J(p), puis que (p)=P Dp t P(0).
b. Soit U2 M3;1(R);montrer que pour tout entier naturel p,kDpUk  1
2p
2kUk.
c. Exprimer kUken fonction de Uet t Upuis montrer que kP Uk=kUket kt P Uk=
kUk.
d. Déduire des questions précédentes que k(p)k  r13
2p.
9. Quelle est la limite de la suite X(p)p2N?
10. Déterminer une valeur pà partir de laquelle le vecteur colonne X(p)est une valeur
approchée de la solution exacte Qà103près, c’est-à-dire tel que k(p)k  103.
2/??

Partie II
Un espace de matrices
Pour (a; b)2R2, on considère les matrices
J(a; b) = 0
B
B
@
a b b
b a b
b b a
1
C
C
Aet U(b) = 0
B
B
@
b b b
b b b
b b b
1
C
C
A
On dé…nit l’ensemble E=fJ(a; b) /(a; b)2R2g.
1. Montrer que Eest un espace vectoriel dont on déterminera la dimension.
2. Montrer que Eest stable par produit matriciel.
3. Déterminer une base de l’image et du noyau de U(1)
Montrer que ces deux sous espaces vectoriels sont supplémentaires dans M3;1(R):
4. Soit Vun élément de Im(U(1)) . calculer U(1):V
En déduire une matrice diagonale semblable à U(1):
5. Déterminer un réel tel que U(b) = J(a; b):I3.
6. En déduire une matrice diagonale semblable à J(a; b)
Partie III
Une norme matricielle
Si M= (mi;j )1in
1jn
est une matrice de Mn(R), on note pour tout indice ide [[1; n]],
li=
n
P
j=1 jmi;j j. Puis on dé…nit le réel positif '(M)par '(M) = max fli; i 2[[1; n]]g.
Si X=0
B
B
B
@
x1
x2
.
.
.
xn
1
C
C
C
Aest un vecteur colonne de Rnalors on dé…nit la norme in…nie du vecteur X
par kXk1= max fjxij; i 2[[1; n]]g.
1. a. Si A=0
B
B
@
1 2 1
0 1 0
11 4
1
C
C
AVéri…er '(A) = 6
b. On reprend le cas général. Montrer que 'est une norme sur Mn(R)
–2. Soit. Xest un vecteur colonne
a. On note X0=MX =0
B
B
B
@
x0
1
x0
2
.
.
.
x0
n
1
C
C
C
A. Donner l’expression de x0
ien fonction des xjet des
coe¢ cients de la matrice M.
b. Montrer que jx0
ij  likXk1.
c. En déduire que kMXk1'(M)kXk1puis déterminer un vecteur colonne X0non
nulle telle que kM X0k1='(M)kX0k1
3/??

Montrer que 'est une norme d’algèbre.
Partie IV
La méthode de Jacobi :
Pour un système linéaire comportant un grand nombre d’équations et d’inconnues, les
méthodes de résolution directe (comme celle du pivot de Gauss) aboutissant à une solution
exacte deviennent très gourmandes en temps de calcul. Il est alors plus judicieux de calculer
une solution approchée à l’aide d’une suite dé…nie par récurrence convergeant vers la solution
exacte, comme cela se fait dans la méthode de Jacobi que nous allons nous contenter d’illustrer
ici : .
On considère le système linéaire de Cramer d’inconnue X.
(S) : AX =B
avec A= (ai;j )1in
1jn2 Mn(R)la matrice du système , B= (bi)le vecteur colonne du
second membre.On note Q= (qj)l’unique solution du système
On suppose en outre que Avéri…e la condition supplémentaire 8i2[[1; n]] ,ai;i 6= 0:(termes
diagonaux tous non nuls)
1. Montrer que tout système de Cramer A0X=B0(c’est à dire un système ne véri…ant pas
la condition sur les termes diagonaux) est équivalent à un système du type précédent.
2. Montrer que le système (S)est équivalent a un système
X=JX +K
où Jest une matrice carrée ayant tous ses termes diagonaux nuls et Kun vecteur
colonne.
On dé…nit ainsi la suite de vecteurs X(p)p2Nde Rnpar la donnée d’un vecteur initial X(0)
et la relation de récurrence
8p2N:X(p+1) =JX(p)+K
On dé…nit aussi la suite (p)p2Npar (p)=X(p)Q. Le vecteur (p)permet d’apprécier
l’erreur d’approximation entre la solution approchée et la solution exacte Q.
3. Montrer que pour tout entier naturel p,(p+1) =J(p)
4. Montrer que pour tout entier naturel p,
(p) 1('(J))p (0) 1.
5. En déduire une condition su¢ sante (C1)sur la matrice Jpour que la suite 
(p) 1p2N
converge vers 0.
6. Lorsque la condition (C1)est véri…ée, montrer que la suite X(p)converge vers Q.
7. La condition (C1)est-elle véri…ée par la matrice Jde la partie I?
8. On revient au cas général. On suppose dans cette question que la matrice Jest dia-
gonalisable : il existe une matrice diagonale Det une matrice inversible Ptelles que
J=P DP 1.
a. Montrer que 
(p) 1'(P) ('(D))p'(P1) (0) 1.
b. En déduire une condition su¢ sante (C2)sur '(D)pour que la suite 
(p) 1p2N
converge vers 0.
c. La condition (C2)est-elle véri…ée par la matrice Dde la partie I?
4/??

9. Dans cette question, on reprend l’exemple de la matrice J(0; b)avec b6= 0 dé…nie à
la partie II. On a vu qu’il existe une matrice diagonale Det une matrice inversible P
telles que J(0; b) = P DP 1.
– Calculer '(J(0; b)) et '(D).
Fin de l’énoncé
5/??