Lois de probabilité continues

Chapitre 1 Lois de probabilité continues
I) Lois de probabilité continues
1) P`o¸sfi˚i˚tˇi`o“nffl `d˚uffl ¯p˚r`o˝b˝l´è›m`e
On considère des expériences aléatoires dont l’issue est un réel. Ce réel sera la valeur prise par la
variable aléatoire X.
Lorsque la variable aléatoire réelle prend des valeurs de tout un intervalle Ide R, on dit que la
loi de probabilité de cette variable aléatoire est continue.
Les probabilités d’évènements à évaluer sont donc de la forme X < a ou X > a ou X6aou
X>aoù aest un réel, c’est-à-dire d’une façon générale, d’évènements de la forme X∈Joù J
est un intervalle de R.
2) I”n˚t´é´gˇr`a˜l´e˙s `àffl ˜bˆo˘r‹n`e ˚i‹n˜fˇi‹n˚i`e˙s
Définition
Soit aun réel et fune fonction qui admet des primitives sur R.
On pose :
1. R+∞
af(t)dt = lim
x→+∞Zx
a
f(t)dt (sous réserve que cette limite existe)
2. Ra
−∞ f(t)dt = lim
x→−∞ Za
x
f(t)dt (sous réserve que cette limite existe)
3. Pour tout réel a,R+∞
−∞ f(t)dt =Ra −∞ f(t)dt +R+∞ af(t)dt.
3) G´é›n`éˇr`a˜lˇi˚t´é˙s
Définition
Soit fune fonction définie sur R. On dit que fest une densité de probabilité lorsqu’elle vérifie
les conditions suivantes :
(i) fest continue sur R, sauf éventuellement en quelques valeurs.
(ii) Pour tout x∈R,f(x)>0.
(iii) , R+∞
−∞ f(t)dt = 1.
Définition
La fonction de répartition d’une variable aléatoire Xqui suit une loi à densité continue fest la
fonction F:
F:R−→ [0; 1]
x7−→ F(x) = P(X6x) = Rx
−∞ f(t)dt
1

Propriété
Soit Xune variable aléatoire qui suit une loi à densité continue f. La fonction de répartition
Fde Xest une fonction croissante sur R, et lim
x→−∞ F(x) = 0 et lim x→+∞F(x) = 1. De plus F
est dérivable en tout réel xoù fest continue , avec F′(x) = f(x).
Propriété
Soit Xune variable aléatoire qui suit une loi à densité continue fet a,bdeux réels tels que
a6b.
1. P(X=a) = 0.
2. P(X < a) = P(X6a) = F(a) = Ra
−∞ f(t)dt.
3. P(X > b) = P(X>b) = R+∞
bf(t)dt.
4. P(X > b) = P(X>b) = 1 −P(X6b) = 1 −F(b).
5. P(a < X < b) = P(a6X < b) = P(a < X 6b) = P(a6X6b) = F(b)−F(a) =
Rb
af(t)dt.
II) Exemples de lois continues
1) L`o˘iffl ˚u‹n˚i˜f´o˘r‹m`e `c´o“n˚tˇi‹n˚u`e
Propriété
Soit aet bdeux réels tels que a < b.La fonction fdéfinie sur Rpar
f(x) = 
1
b−asi x∈[a;b]
0sinon
est une densité de probabilité.
Définition
Soit aet bdeux réels tels que a < b, et Xune variable aléatoire.
On dit que Xsuit la loi uniforme sur [a;b]lorsque Xsuit la loi à densité continue fdéfinie
sur Rpar
f(x) = 
1
b−asi x∈[a;b]
0sinon
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Exemple
Choisir un réel au hasard dans [a;b] se modélise par la loi uniforme sur [a;b], c’est-à-dire que si
on appelle Xla variable aléatoire qui représente le réel choisi au hasard dans [a;b], alors Xsuit
la loi uniforme sur [a;b].
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2) L`o˘iffl `e›x˙p`o“n`e›n˚tˇi`e¨l¨l´e `o˘uffl `d`e `d˚u˚r`é´e `d`e ”v˘i`e ¯sfi`a‹n¯s ”v˘i`eˇi˜l¨lˇi¯sfi¯sfi`e›m`e›n˚t
Propriété
Soit λun réel strictement positif.
La fonction fdéfinie sur Rpar f(x) = (λe−λx si x∈[0; +∞[
0sinon est une densité de probabilité.
Définition
Soit λun réel strictement positif et Xune variable aléatoire réelle.
On dit que Xsuit la loi exponentielle de paramètre λlorsque Xest à valeurs dans [0; +∞[et
suit la loi à densité continue fdéfinie sur Rpar :
f(x) = (λe−λx si x∈[0; +∞[
0sinon
Théorème
La fonction de répartition d’une variable aléatoire Xqui suit une loi exponentielle de paramètre
λest la fonction Fdéfinie sur Rpar
F(x) = P(X < x) = Zx
0
f(t)dt =(1−e−λx si x∈[0; +∞[
0sinon
.
Définition
Soit Xune variable aléatoire à valeurs dans [0; +∞[qui suit une loi à densité continue. On dit
que Xsuit une loi de durée de vie sans vieillissement ou sans mémoire lorsque : pour tous réels
tet hstrictement positifs tels que P(X > t)6= 0,PX<t(X > t +h) = P(X > h).
Propriété
Soit Xune variable aléatoire qui suit une loi à densité continue.
Les propriétés suivantes sont équivalentes
1. Xsuit une loi exponentielle de paramètre λ.
2. Xsuit une loi de durée de vie sans vieillissement.
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