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14 CHAPITRE 2. NOMBRES PREMIERS
Proposition: Tout entier naturel nadmet au moins un diviseur premier.
Preuve:
En effet, soit
n
est premier et il est divisible par lui-même, soit
n
n’est pas premier et il admet un certain nombre de diviseurs.
Appelons
p
le plus petit de ces diviseurs.
p
est premier, car sinon
p
aurait un diviseur d, plus petit que p, et qui diviserait n.
Théorème: Il y a une infinité de nombres premiers.
Preuve:
Raisonnons par l’absurde et supposons qu’il existe exactement
n
nombres premiers qu’on nommera
p1
,
p2
, ...,
pn
. Appelons
N
le
nombre
N“pp1¨p2¨...¨pnq`1
Il est plus grand que tous les
pi
, donc il n’est pas premier. Ainsi, il
admet un diviseur premier
p
qui est un des
pi
, puisqu’il n’y a qu’eux.
Nous avons alors :
pdivise N“p1¨p2¨...¨pn`1
pdivise p1¨p2¨...p
n*ùñ pdivise N´p1¨...¨pn“1
Donc
p“
1ce qui est absurde puisqu’il est premier. Ainsi, cette
contradiction nous assure qu’il ne peut exister de plus grand nombre
premier. Il y a donc une infinité et l’aventure ne fait que commencer.
Quelques records: ‚
Le 4 février 2005, Martin Nowak a battu le record du plus
grand nombre premier connu alors : 2
2519641951 ´
1en faisant tra-
vailler plus de 50 jours durant un Pentium 4 (2,4 GHz). Cette
découverte s’est faite dans le cadre du programme GIMPS
1
de
recherche de grand nombre. Nowak est un chasseur de grand
nombre et ophtalmologiste allemand à ses heures perdues ;-).
‚
Le GIMPS a pu remporter le 23 août 2008, la première ré-
compense de 100’000 USD offerte par l’Electronic Frontier
Foundation pour la découverte du premier nombre premier
de plus de dix millions de chiffres (2
4311121609 ´
1). Les règles
de répartition de la récompense sont prévues par le GIMPS :
l’internaute qui trouve le nombre, le GIMPS, des oeuvres cari-
tatives et les autres internautes qui participent au GIMPS et
trouvent des nombres premiers.
‚
L’Electronic Frontier Foundation offre d’autres récompenses
de 100’000, 150’000 et de 250’000 USD pour, respectivement,
la découverte de nombres premiers de plus de dix millions,
cent millions et un milliard de chiffres. À bon entendeur!!!
1
.Great Internet Mersenne Prime Search est un projet de calcul partagé où les volontaires utilisent un logiciel
pour chercher les nombres premiers de Mersenne de la forme 2p´1,avecppremier.