Douine – Premières ES – Activités – Chapitre 7 – Fonctions

Douine – Premières ES – Activités – Chapitre 7 – Fonctions rationnelles
Nouvelle formule de dérivée
Si une fonction f est définie par f  x  
u  x
u  x   v  x   u  x   v   x 
alors f   x  
.
2
v  x
 v  x  
Application directe
Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
f  x 
2x  1
4x  3
g  x 
5  6x
7  8x
h  x 
2x
3x  4
f  x 
5x
6  7x
Etude d’une fonctions rationnelle
Soit f le fonction définie sur l’intervalle  3;3 par : f  x  



x2 1
x2  1
Calculer la dérivée de la fonction.
Etudier le signe de la dérivée et dresser le tableau des variations de la fonction.
Quelle est, parmi les trois courbes ci-dessous, la courbe représentative de f ?
Etude d’une autre fonction rationnelle
Soit g la fonction définie sur  3;3 par g  x  



x2  x  1
.
x2  1
Calculer la dérivée de la fonction.
Etudier le signe de la dérivée et dresser le tableau des variations de la fonction.
Quelle est, parmi les trois courbes ci-dessous, la courbe représentative de g ?
Courbe 1
Courbe 2
Courbe 3
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Notion de coût moyen
Une entreprise fabrique entre 10000 et 50000 chaises chaque mois. Le coût total de production,
exprimé en euro de x milliers de chaises est donné par : C  x   x 3  3x 2  11000 x  123200 .
Le coût moyen CM  x  est égal au coût total de production divisé par le nombre de chaises
fabriquées, c'est-à-dire : CM  x  
C  x
. A l’aide d’un logiciel de calcul formel, on obtient :
x
1. Justifier par l’expression obtenue pour la
dérivée CM   x  du coût moyen.
2. Etudier les variations de la fonction CM
sur l’intervalle 10;50  .
3. Pour quelle quantité de chaises produites
le coût moyen est-il minimal ? Quelle est
alors la valeur du coût moyen ?
Notion de coût moyen – suite
L’entreprise CoTon produit du tissu en coton. Celui-ci est fabriqué en 1 mètre de large et pour
une longueur x exprimée en kilomètre, x étant compris entre 0 et 10.
Le coût total de production en euros de l’entreprise CoTon est donné en fonction de la longueur
x par la formule C ( x )  15x 3  120 x 2  500 x  750 . Le graphique proposé en annexe donne la
représentation graphique de la fonction C.
Partie A – Etude du bénéfice
Si le marché offre un prix p en euros pour un kilomètre de ce tissu, alors la recette de l’entreprise
CoTon pour la vente d’une quantité x est égal à R( x )  px .
Dans cette question on suppose que le prix du marché est égal à 680 euros.
1. Tracer sur le graphique la droite (D) d’équation y  680 x . Déterminer graphiquement,
avec la précision permise par le graphique, pour quelles quantités produites et vendues,
l’entreprise CoTon réalise un bénéfice lorsque le prix p du marché est de 680 euros.
2. On considère la fonction B définie sur l’intervalle [0;10] par B( x)  680 x  C ( x) .
Démontrer que B( x)  15 x3  120 x 2  180 x  750 .
3. Calculer B  x  et étudier les variations de la fonction B sur [0;10] .
4. En déduire pour quelle quantité produite et vendue le bénéfice réalisé par l’entreprise
CoTon est maximum. Que vaut dans ce cas le bénéfice ?
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Partie B – Etude du coût moyen
On rappelle que le coût moyen de production CM mesure le coût par unité produite.
On considère la fonction CM définie sur l’intervalle 0;10 par CM ( x ) 
1. Calculer CM   x  et montrer que CM '( x) 
C( x)
.
x
 30 x  150   x 2  x  5
x2
.
2. En déduire les variations de la fonction CM sur l’intervalle 0;10 .
3. Pour quelle quantité de tissu produite le coût moyen de production est-il minimum ?
Que vaut dans ce cas le coût moyen de production ?
9000
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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Notion de coût marginal
Une entreprise fabrique x tonnes d’un produit alimentaire, avec x   0;15 pour un coût total
de fabrication exprimé en milliers d’euros de C  x   x 2  2 x  100 .

On assimile le coût marginal de fabrication Cm avec la fonction dérivée du coût total
c'est-à-dire : Cm  x   C   x  .

On rappelle que le coût moyen de fabrication CM est défini par CM ( x ) 
C( x)
.
x
1. Exprimer le coût marginal et le coût moyen en fonction de x .
2. Dresser le tableau de variations du coût moyen sur l’intervalle 0;15 .
3. Vérifier que lorsque le coût moyen est minimum il est égal au coût marginal.
Notion de coût marginal – suite
Le coût total de fabrication de x objets, avec x   0; 20 est C  x   x 2  x  80 .
1. Exprimer le coût marginal et le coût moyen en fonction de x .
2. Dresser le tableau de variations du coût moyen sur l’intervalle 0; 20  .
3. Vérifier que lorsque le coût moyen est minimum il est égal au coût marginal.
Coût total – Coût moyen – Coût marginal – Bénéfice
Un fabricant de pièces de fonderies réalise une production mensuelle de x centaines de pièces
(avec 0  x  10 , c'est-à-dire qu’elle en produit entre 0 et 1000 par mois). Le coût total de
production, exprimé en milliers d’euros, est donné par : C  x   x 3  12 x 2  60 x .
Partie A – Etude approfondie des coûts
1. Déterminer le coût marginal et le coût moyen en fonction de x .
2. Dresser le tableau de variations du coût moyen sur l’intervalle x  0;10  .
3. Vérifier que lorsque le coût moyen est minimum il est égal au coût marginal.
Partie B – étude du bénéfice
Le prix du marché des pièces de fonderies soit égal à 28000 euros pour 100 pièces vendues. La
recette est donc donnée par : R  x   28 x . Le bénéfice est donné par B  x   R  x   C  x  .
1. Tracer sur le graphique la droite D d’équation y  28x . Déterminer graphiquement pour
quelles quantités de pièces produites et vendues l’entreprise réalise un bénéfice.
2. Calculer B  x  . Etudier les variations de la fonction B sur l’intervalle  0;10 . En
déduire à l’unité près, la quantité de pièces produites et vendues pour laquelle le bénéfice
réalisé est maximal. Matérialisez graphiquement ce bénéfice maximal dans le repère.
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Courbe représentative des coûts de production
Exercice supplémentaire
Le coût en euros de x repas préparés est égal à C  x   0,1x 2  x  640 pour x   40;160  .
Exprimer le coût marginal et le coût moyen en fonction de x . Dresser le tableau de variations du
coût moyen. Vérifier que lorsque le coût moyen est minimum il est égal au coût marginal.
Exercice supplémentaire
Une entreprise fabrique entre 10000 et 50000 chaises par mois. Le coût total de la production en
euros de x milliers de chaises est donné par C  x   x 3  3x 2  11000 x  123200 . Exprimer le
coût marginal et le coût moyen en fonction de x . Dresser le tableau de variations du coût moyen.
Vérifier que lorsque le coût moyen est minimum il est égal au coût marginal. On démontrera que
la dérivée du coût moyen peut s’écrire CM   x    x  40  2 x2  77 x  3080  x2 .
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Un peu de théorie
On propose ci-dessous les différentes étapes de la démonstration de la formule de la dérivée d’un
quotient de deux fonctions. Le but est de comprendre le mécanisme et les aspects techniques de
cette démonstration pour éventuellement savoir la refaire.
Je considère une fonction s’écrivant
comme le quotient de deux fonctions.
f  x 
u  x
v  x
Je connais la formule du taux
d’accroissement d’une fonction.
f  x  f a 
xa
J’applique la définition du taux
d’accroissement à la fonction de départ.
u  x u a 

v  x v a 
xa
Je réduis les deux fractions au même
dénominateur afin de pouvoir
soustraire.
u  x  v a  u a   v  x 

v  x  v a  v a   v  x 
xa
Je réduis les étages
de cette fraction de fraction.
u  x  v a   u a   v  x 
v  x  v a    x  a 
J’introduis deux quantités qui,
par développement, s’annulent.
u  x   u  a   v  a   u  a   v  x   v  a 
v  x  v a    x  a 
J’isole une partie du dénominateur…
u  x   u  a   v  a   u  a   v  x   v  a 
1

v  x  v a 
 x  a
… et je réorganise le reste de
l’expression.
v  x   v a  
 u  x  u a 
1

 v a   u a  
v  x  v a  
xa
x  a 
J’envisage le passage la limite
lorsque x  a .



u
x

u
a
v
x

v
a
    v a  u a     
1

   

v  x  v a  
xa
xa 
u a 
v a 
2


 v  a 

Je retrouve l’expression de la dérivée
du quotient de deux fonctions.

u  a   v  a   u  a   v   a 
 v  a  
2
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