Douine – Premières ES – Activités – Chapitre 7 – Fonctions

Douine – Premières ES – Activités – Chapitre 7 – Fonctions rationnelles
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Nouvelle formule de dérivée
Si une fonction
f
est définie par
ux
fx vx
alors
2
u x v x u x v x
fx vx
.
Application directe
Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
21
43
x
fx x
56
78
x
gx x
2
34
x
hx x
5
67
x
fx x
Etude d’une fonctions rationnelle
Soit
f
le fonction définie sur l’intervalle
3;3
par :
2
21
1
x
fx x
 Calculer la dérivée de la fonction.
 Etudier le signe de la dérivée et dresser le tableau des variations de la fonction.
 Quelle est, parmi les trois courbes ci-dessous, la courbe représentative de
f
?
Etude d’une autre fonction rationnelle
Soit
g
la fonction définie sur
3;3
par
2
21
1
xx
gx x
.
 Calculer la dérivée de la fonction.
 Etudier le signe de la dérivée et dresser le tableau des variations de la fonction.
 Quelle est, parmi les trois courbes ci-dessous, la courbe représentative de
g
?
Courbe 1
Courbe 2
Courbe 3

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Notion de coût moyen
Une entreprise fabrique entre 10000 et 50000 chaises chaque mois. Le coût total de production,
exprimé en euro de
x
milliers de chaises est donné par :
32
3 11000 123200C x x x x   
.
Le coût moyen
M
Cx
est égal au coût total de production divisé par le nombre de chaises
fabriquées, c'est-à-dire :
MCx
Cx x
. A l’aide d’un logiciel de calcul formel, on obtient :
1. Justifier par l’expression obtenue pour la
dérivée
M
Cx
du coût moyen.
2. Etudier les variations de la fonction
M
C
sur l’intervalle
10;50
.
3. Pour quelle quantité de chaises produites
le coût moyen est-il minimal ? Quelle est
alors la valeur du coût moyen ?
Notion de coût moyen – suite
L’entreprise CoTon produit du tissu en coton. Celui-ci est fabriqué en 1 mètre de large et pour
une longueur x exprimée en kilomètre, x étant compris entre 0 et 10.
Le coût total de production en euros de l’entreprise CoTon est donné en fonction de la longueur
x par la formule
32
( ) 15 120 500 750C x x x x   
. Le graphique proposé en annexe donne la
représentation graphique de la fonction C.
Partie A – Etude du bénéfice
Si le marché offre un prix p en euros pour un kilomètre de ce tissu, alors la recette de l’entreprise
CoTon pour la vente d’une quantité x est égal à
()R x px
.
Dans cette question on suppose que le prix du marché est égal à 680 euros.
1. Tracer sur le graphique la droite (D) d’équation
680yx
. Déterminer graphiquement,
avec la précision permise par le graphique, pour quelles quantités produites et vendues,
l’entreprise CoTon réalise un bénéfice lorsque le prix p du marché est de 680 euros.
2. On considère la fonction B définie sur l’intervalle
[0;10]
par
( ) 680 ( )B x x C x
.
Démontrer que
32
( ) 15 120 180 750B x x x x    
.
3. Calculer
Bx
et étudier les variations de la fonction B sur
[0;10]
.
4. En déduire pour quelle quantité produite et vendue le bénéfice réalisé par l’entreprise
CoTon est maximum. Que vaut dans ce cas le bénéfice ?

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Partie B – Etude du coût moyen
On rappelle que le coût moyen de production CM mesure le coût par unité produite.
On considère la fonction CM définie sur l’intervalle
0;10
par
()
()
MCx
Cx x
.
1. Calculer
M
Cx
et montrer que
2
2
30 150 5
'( )
M
x x x
Cx x
.
2. En déduire les variations de la fonction CM sur l’intervalle
0;10
.
3. Pour quelle quantité de tissu produite le coût moyen de production est-il minimum ?
Que vaut dans ce cas le coût moyen de production ?
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

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Notion de coût marginal
Une entreprise fabrique
x
tonnes d’un produit alimentaire, avec
0;15x
pour un coût total
de fabrication exprimé en milliers d’euros de
22 100C x x x  
.
 On assimile le coût marginal de fabrication
m
C
avec la fonction dérivée du coût total
c'est-à-dire :
m
C x C x
.
 On rappelle que le coût moyen de fabrication
M
C
est défini par
()
()
MCx
Cx x
.
1. Exprimer le coût marginal et le coût moyen en fonction de
x
.
2. Dresser le tableau de variations du coût moyen sur l’intervalle
0;15
.
3. Vérifier que lorsque le coût moyen est minimum il est égal au coût marginal.
Notion de coût marginal – suite
Le coût total de fabrication de
x
objets, avec
0;20x
est
280C x x x  
.
1. Exprimer le coût marginal et le coût moyen en fonction de
x
.
2. Dresser le tableau de variations du coût moyen sur l’intervalle
0;20
.
3. Vérifier que lorsque le coût moyen est minimum il est égal au coût marginal.
Coût total – Coût moyen – Coût marginal – Bénéfice
Un fabricant de pièces de fonderies réalise une production mensuelle de
x
centaines de pièces
(avec
0 10x
, c'est-à-dire qu’elle en produit entre 0 et 1000 par mois). Le coût total de
production, exprimé en milliers d’euros, est donné par :
32
12 60C x x x x  
.
Partie A – Etude approfondie des coûts
1. Déterminer le coût marginal et le coût moyen en fonction de
x
.
2. Dresser le tableau de variations du coût moyen sur l’intervalle
0;10x
.
3. Vérifier que lorsque le coût moyen est minimum il est égal au coût marginal.
Partie B – étude du bénéfice
Le prix du marché des pièces de fonderies soit égal à 28000 euros pour 100 pièces vendues. La
recette est donc donnée par :
28R x x
. Le bénéfice est donné par
B x R x C x
.
1. Tracer sur le graphique la droite
D
d’équation
28yx
. Déterminer graphiquement pour
quelles quantités de pièces produites et vendues l’entreprise réalise un bénéfice.
2. Calculer
Bx
. Etudier les variations de la fonction
B
sur l’intervalle
0;10
. En
déduire à l’unité près, la quantité de pièces produites et vendues pour laquelle le bénéfice
réalisé est maximal. Matérialisez graphiquement ce bénéfice maximal dans le repère.

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Courbe représentative des coûts de production
Exercice supplémentaire
Le coût en euros de
x
repas préparés est égal à
2
0,1 640C x x x  
pour
40;160x
.
Exprimer le coût marginal et le coût moyen en fonction de
x
. Dresser le tableau de variations du
coût moyen. Vérifier que lorsque le coût moyen est minimum il est égal au coût marginal.
Exercice supplémentaire
Une entreprise fabrique entre 10000 et 50000 chaises par mois. Le coût total de la production en
euros de
x
milliers de chaises est donné par
32
3 11000 123200C x x x x   
. Exprimer le
coût marginal et le coût moyen en fonction de
x
. Dresser le tableau de variations du coût moyen.
Vérifier que lorsque le coût moyen est minimum il est égal au coût marginal. On démontrera que
la dérivée du coût moyen peut s’écrire
22
40 2 77 3080
M
C x x x x x
.