Première ES IE4 dérivation S1 1 Exercice 1 : (6 points) Calculer la

Première ES
IE4 dérivation
S1
Exercice 1 : (6 points)
Calculer la dérivée de chacune des fonctions données.
1) f(x) = 4x3
2) g(x) =
1
– 3x²
x
3) h(x) = (3x + 1)(2x – 1)
4) i(x) = 5) j(x) =
4
x
2x + 1
x-1
Exercice 2 : Coût moyen (4 points)
Dans une entreprise, le coût total pour q articles fabriqués est donné en euros par :
C(q) = 0,001q3 – 1,2q² + 600q.
1) a)
On note C’ la dérivée de la fonction C.
La fonction C’ représente la fonction coût marginal.
Calculer le coût marginal pour q = 600.
b)
2) a)
Calculer le cout moyen d’un article si 600 articles sont produits.
Donner l’expression du coût moyen d’un objet en fonction de q lorsque q
objets sont fabriqués.
b)
Tracer à la calculatrice la courbe représentant cette fonction coût moyen
en choisissant comme fenêtre :
Xmin = 0 ;
Xmax = 1000
Ymin = 0 ;
Ymax = 500
Pour quelle valeur de q le coût moyen d’un article semble—t-il minimal ?
1
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IE4 dérivation
S2
Exercice 1 : (6 points)
Calculer la dérivée de chacune des fonctions données.
1) f(x) = 5x4
2) g(x) = 2x² -
1
x
3) h(x) = (2 – 3x)(5x + 2)
4) i(x) =
3
x
5) j(x) =
2x - 1
x+1
Exercice 2 : Coût moyen (4 points)
Dans une entreprise, le coût total pour q articles fabriqués est donné en euros par :
C(q) = 0,002q3 – 0,8q² + 400q.
1) a)
On note C’ la dérivée de la fonction C.
La fonction C’ représente la fonction coût marginal.
Calculer le coût marginal pour q = 200.
b)
2) a)
Calculer le cout moyen d’un article si 200 articles sont produits.
Donner l’expression du coût moyen d’un objet en fonction de q lorsque q
objets sont fabriqués.
b)
Tracer à la calculatrice la courbe représentant cette fonction coût moyen
en choisissant comme fenêtre :
Xmin = 0 ;
Xmax = 1000
Ymin = 0 ;
Ymax = 500
Pour quelle valeur de q le coût moyen d’un article semble—t-il minimal ?
2
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IE4 dérivation
CORRECTION
S1
Exercice 1 : (6 points)
Calculer la dérivée de chacune des fonctions données.
1) f(x) = 4x3
2) g(x) =
1
– 3x²
x
3) h(x) = 3x(2x – 1)
4) i(x) = 5) j(x) =
4
x
2x + 1
x-1
1) f’(x) = 43x² = 12x²
2) g’(x) = -
1
1
- 32x = - 6x
x²
x²
3) h(x) = u(x)v(x) avec u(x) = 3x + 1 et v(x) = 2x -1
h’(x) = u’(x)v(x) + u(x)v’(x)
Or, u’(x) = 3 et v’(x) = 2
Donc h’(x) = 3(2x – 1) + (3x + 1)2 = 6x – 3 + 6x + 2 = 12x – 1
Autre méthode :
On développe h(x) en utilisant la double distributivité :
h(x) = (3x + 1)(2x – 1) = 3x2x – 3x1 + 12x - 11 = 6x² - x - 1
Et h’(x) = 62x – 1 = 12x – 1
4
1
-1
4) i(x) = -4 ; donc i’(x) = -4 =
x
x² x²
5) j(x) =
u(x)
avec u(x) = 2x + 1 et v(x) = x – 1
v(x)
Remarque : j est définie pour x  1.
j’(x) =
u’(x)v(x) – u(x)v’(x)
(v(x))²
Or u’(x) = 2 et v’(x) = 1
Donc j’(x) =
2(x – 1) – (2x + 1)1 2x – 2 -2x – 1
-3
=
=
(x – 1)²
(x – 1)²
(x – 1)²
3
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CORRECTION
S1
Exercice 2 : Coût moyen (4 points)
Dans une entreprise, le coût total pour q articles fabriqués est donné en euros par :
C(q) = 0,001q3 – 1,2q² + 600q.
1) a)
On note C’ la dérivée de la fonction C.
La fonction C’ représente la fonction coût marginal.
Calculer le coût marginal pour q = 600.
b)
Calculer le cout moyen d’un article si 600 articles sont produits.
2) a)
Donner l’expression du coût moyen d’un objet en fonction de q lorsque q
objets sont fabriqués.
b)
Tracer à la calculatrice la courbe représentant cette fonction coût
moyen en choisissant comme fenêtre :
Xmin = 0 ;
Xmax = 1000
Ymin = 0 ;
Ymax = 500
Pour quelle valeur de q le coût moyen d’un article semble t-il minimal ?
1) a) C’(q) = 0,003q² - 2,4q + 600
C’(600) = 0,003600² - 2,4600 + 600 = 240
Pour 600 articles fabriqués, le coût marginal est égal à 240 €.
b) Le coût moyen d’un article pour 600 articles produits est égal à
C(600)
.
600
C(600) = 0,0016003 – 1,2600² + 600600 = 144000
C(600) 144 000
=
= 240.
600
600
Le coût moyen d’un article pour 600 articles produits est égal à 240 €.
2) a) Le coût moyen est donné par :
C(q)
= 0,001q² - 1,2q + 600
q
b)
4
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CORRECTION
S1
Il semble que le cout moyen d’un article soit minimal pour q = 600.
Remarque :
Cm(q) =
C(q)
= 0,001q² - 1,2q + 600
q
Cm est une fonction polynôme de degré 2 de la forme Cm(q) = aq² + bq + c
Le minimum de Cm est atteint en –
b
1,2
=
= 600.
2a 0,002
5
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CORRECTION
S2
Exercice 1 : (6 points)
Calculer la dérivée de chacune des fonctions données.
1) f(x) = 5x4
2) g(x) = 2x² -
1
x
3) h(x) = (2 – 3x)(5x + 2)
4) i(x) =
3
x
5) j(x) =
2x - 1
x+1
1) f’(x) = 54x3 = 20x3
2) g’(x) = 22x +
1
1
= 4x +
x²
x²
3) h(x) = u(x)v(x) avec u(x) = 2 – 3x et v(x) = 5x + 2
h’(x) = u’(x)v(x) + u(x)v’(x)
Or u’(x) = -3 et v’(x) = 5
Donc h’(x) = -3(5x + 2) + (2 – 3x)5 = -15x – 6 + 10 – 15x = -30x + 4
Autre méthode, on développe h(x) en utilisant la double distributivité.
h(x) = 25x + 22 – 3x5x – 3x2 = 10x + 4 – 15x² - 6x = -15x² + 4x + 4
D’où h’(x) = -152x + 4 = -30x + 4
3
1
-1
4) i(x) = 3 ; donc i’(x) = 3 = x²
x
x²
5) j(x) =
u(x)
avec u(x) = 2x - 1 et v(x) = x + 1
v(x)
Remarque : j est définie pour x  -1.
j’(x) =
u’(x)v(x) – u(x)v’(x)
(v(x))²
Or u’(x) = 2 et v’(x) = 1
Donc j’(x) =
2(x + 1) – (2x - 1)1 2x + 2 -2x + 1
3
=
=
(x + 1)²
(x + 1)²
(x + 1)²
6
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CORRECTION
S2
Exercice 2 : Coût moyen (6 points)
Dans une entreprise, le coût total pour q articles fabriqués est donné en euros par :
C(q) = 0,002q3 – 0,8q² + 400q.
1) a)
On note C’ la dérivée de la fonction C.
La fonction C’ représente la fonction coût marginal.
Calculer le coût marginal pour q = 200.
b)
2) a)
Calculer le cout moyen d’un article si 200 articles sont produits.
Donner l’expression du coût moyen d’un objet en fonction de q lorsque q
objets sont fabriqués.
b)
Tracer à la calculatrice la courbe représentant cette fonction coût
moyen en choisissant comme fenêtre :
Xmin = 0 ;
Xmax = 1000
Ymin = 0 ;
Ymax = 200
Pour quelle valeur de q le coût moyen d’un article semble—t-il minimal ?
1) a) C’(q) = 0,006q² - 1,6q + 400
C’(200) = 0,006200² - 1,6200 + 400 = 320
Pour 200 articles fabriqués, le coût marginal est égal à 320 €.
b) Le coût moyen d’un article pour 200 articles produits est égal à
C(200)
.
200
C(200) = 0,0022003 – 0,8200² + 200400 = 64 000
C(200) 64 000
=
= 320.
200
200
Le coût moyen d’un article pour 200 articles produits est égal à 320 €.
2) a) Le coût moyen est donné par :
C(q)
= 0,002q² - 0,8q + 400
q
7
Première ES
2)
IE4 dérivation
CORRECTION
S2
b)
Il semble que le cout moyen d’un article soit minimal pour q = 200.
Remarque :
3) Cm(q) =
C(q)
= 0,002q² - 0,8q + 400
q
Cm est une fonction polynôme de degré 2 de la forme Cm(q) = aq² + bq + c
Le minimum de Cm est atteint en –
b
0,8
=
= 200.
2a 0,004
8