Première ES IE4 dérivation S1 1 Exercice 1 : (6 points) Calculer la

Première ES IE4 dérivation S1
1
Exercice 1 : (6 points)
Calculer la dérivée de chacune des fonctions données.
1) f(x) = 4x3
2) g(x) = 1
x – 3x²
3) h(x) = (3x + 1)(2x – 1)
4) i(x) = - 4
x
5) j(x) = 2x + 1
x - 1
Exercice 2 : Coût moyen (4 points)
Dans une entreprise, le coût total pour q articles fabriqués est donné en euros par :
C(q) = 0,001q3 – 1,2q² + 600q.
1) a) On note C’ la dérivée de la fonction C.
La fonction C’ représente la fonction coût marginal.
Calculer le coût marginal pour q = 600.
b) Calculer le cout moyen d’un article si 600 articles sont produits.
2) a) Donner l’expression du coût moyen d’un objet en fonction de q lorsque q
objets sont fabriqués.
b) Tracer à la calculatrice la courbe représentant cette fonction coût moyen
en choisissant comme fenêtre :
Xmin = 0 ; Xmax = 1000
Ymin = 0 ; Ymax = 500
Pour quelle valeur de q le coût moyen d’un article semble—t-il minimal ?

Première ES IE4 dérivation S2
2
Exercice 1 : (6 points)
Calculer la dérivée de chacune des fonctions données.
1) f(x) = 5x4
2) g(x) = 2x² - 1
x
3) h(x) = (2 – 3x)(5x + 2)
4) i(x) = 3
x
5) j(x) = 2x - 1
x + 1
Exercice 2 : Coût moyen (4 points)
Dans une entreprise, le coût total pour q articles fabriqués est donné en euros par :
C(q) = 0,002q3 – 0,8q² + 400q.
1) a) On note C’ la dérivée de la fonction C.
La fonction C’ représente la fonction coût marginal.
Calculer le coût marginal pour q = 200.
b) Calculer le cout moyen d’un article si 200 articles sont produits.
2) a) Donner l’expression du coût moyen d’un objet en fonction de q lorsque q
objets sont fabriqués.
b) Tracer à la calculatrice la courbe représentant cette fonction coût moyen
en choisissant comme fenêtre :
Xmin = 0 ; Xmax = 1000
Ymin = 0 ; Ymax = 500
Pour quelle valeur de q le coût moyen d’un article semble—t-il minimal ?

Première ES IE4 dérivation S1
CORRECTION
3
Exercice 1 : (6 points)
Calculer la dérivée de chacune des fonctions données.
1) f(x) = 4x3
2) g(x) = 1
x – 3x²
3) h(x) = 3x(2x – 1)
4) i(x) = - 4
x
5) j(x) = 2x + 1
x - 1
1) f’(x) = 43x² = 12x²
2) g’(x) = - 1
x² - 32x = - 1 x² - 6x
3) h(x) = u(x)v(x) avec u(x) = 3x + 1 et v(x) = 2x -1
h’(x) = u’(x)v(x) + u(x)v’(x)
Or, u’(x) = 3 et v’(x) = 2
Donc h’(x) = 3(2x – 1) + (3x + 1)2 = 6x – 3 + 6x + 2 = 12x – 1
Autre méthode :
On développe h(x) en utilisant la double distributivité :
h(x) = (3x + 1)(2x – 1) = 3x2x – 3x1 + 12x - 11 = 6x² - x - 1
Et h’(x) = 62x – 1 = 12x – 1
4) i(x) = -41
x ; donc i’(x) = -4-1 x²= 4
x²
5) j(x) = u(x)
v(x) avec u(x) = 2x + 1 et v(x) = x – 1
Remarque : j est définie pour x  1.
j’(x) = u’(x)v(x) – u(x)v’(x)
(v(x))²
Or u’(x) = 2 et v’(x) = 1
Donc j’(x) = 2(x – 1) – (2x + 1)1
(x – 1)² = 2x – 2 -2x – 1 (x – 1)² = -3 (x – 1)²

Première ES IE4 dérivation S1
CORRECTION
4
Exercice 2 : Coût moyen (4 points)
Dans une entreprise, le coût total pour q articles fabriqués est donné en euros par :
C(q) = 0,001q3 – 1,2q² + 600q.
1) a) On note C’ la dérivée de la fonction C.
La fonction C’ représente la fonction coût marginal.
Calculer le coût marginal pour q = 600.
b) Calculer le cout moyen d’un article si 600 articles sont produits.
2) a) Donner l’expression du coût moyen d’un objet en fonction de q lorsque q
objets sont fabriqués.
b) Tracer à la calculatrice la courbe représentant cette fonction coût
moyen en choisissant comme fenêtre :
Xmin = 0 ; Xmax = 1000
Ymin = 0 ; Ymax = 500
Pour quelle valeur de q le coût moyen d’un article semble t-il minimal ?
1) a) C’(q) = 0,003q² - 2,4q + 600
C’(600) = 0,003600² - 2,4600 + 600 = 240
Pour 600 articles fabriqués, le coût marginal est égal à 240 €.
b) Le coût moyen d’un article pour 600 articles produits est égal à C(600)
600 .
C(600) = 0,0016003 – 1,2600² + 600600 = 144000
C(600)
600 = 144 000 600 = 240.
Le coût moyen d’un article pour 600 articles produits est égal à 240 €.
2) a) Le coût moyen est donné par : C(q)
q = 0,001q² - 1,2q + 600
b)

Première ES IE4 dérivation S1
CORRECTION
5
Il semble que le cout moyen d’un article soit minimal pour q = 600.
Remarque :
Cm(q) = C(q)
q = 0,001q² - 1,2q + 600
Cm est une fonction polynôme de degré 2 de la forme Cm(q) = aq² + bq + c
Le minimum de Cm est atteint en – b
2a = 1,2 0,002 = 600.