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3: Cinématique des rotations
I. Comment décrit-on le mouvement dans un référentiel linéairement
accéléré ?
II. Quels conditions décrivent un objet qui se meut sur un cercle ?
–
Accélération angulaire
III. Comment décrire le mouvement circulaire en général ?
–
Précession
–
Roulement sans glisser
Préparation au cours et aux exos
Chapitres du Giancoli à lire avant le cours (3.5 p):
5-2 Uniform circular motion - kinematics
10-1 Angular quantities
Exercices simples (6) à faire avant la séance d’exos:
Giancoli 5-36, 38
Giancoli 10-4, 5ab, 7abc, 12ab
Giancoli chapitres 5-2 et 10-1 à 10-3
3-1
Phys I SV 2013
Quiz: Le singe et la banane
Situation: On lance une banane vers un
singe qui est sur un arbre. Il croit qu’on lui
jette une pierre et se laisse tomber.
Question: Est-ce que la banane va quandmême atteindre le singe?
1. Oui
2. Non, on devrait jeter plus haut
3. Non, on devrait jeter plus bas
4. Il est impossible de le prédire
Démo
3-2
Phys I SV 2013
Comment résoudre le problème du «singe et banane» ?
1. Choix du référentiel
2. Condition: Position de la banane en
temps T (inconnu pour l’instant) égale à celle
du singe: rb(T) = rs(T)
3. Déplacement de la banane en T:
a. De yb=ys il suit que vyT-gT2/2=y0-
gT2/2 puis soustraction de gT2/2:
b. vyT=y0 ĺ T=y0/vy
a.
Vitesse initiale vb = (-vx,vy)
b.
Déplacement horizontal de la banane en
temps T (inconnu pour l’instant):
x(T)=xb-vxT=0
c.
5. La banane arrive au singe à T si
yb(T)=ys(T) :
» En remplaçant T dans l’expression pour xb
(voir précèdent)
» xb=vxT= vxy0/vy
Déplacement vertical de la banane:
yb(T) =vyT-gT2/2
4. Déplacement du singe en T:
Ne fait qu’un déplacement en y:
Ÿxb/y0=vx/vy
ys(T)=y0-gT2/2
y0
ĺ tanT= y0 /xb=vy/vx
OUI, la banane y arrive, si on tire
directement sur le singe !
3-3
xb
Phys I SV 2013
3-1. Comment décrire un mouvement dans un référentiel accéléré ?
chute libre dans un ascenseur
Situation A: On lâche une balle dans un ascenseur
lui-même accéléré par rapport au sol par a0.
y’
y
A
a0
Question: Quelle est la norme de l’accélération de
a0 la balle par rapport à l’ascenseur ?
1.g + a0 (>g)
2.Zéro
3.g – a0 (<g)
O
Situation B: On lâche une balle dans un
ascenseur en chute libre
y’
Question: Quelle est la norme de
l’accélération de la balle par rapport à
l’ascenseur?
A
y
A.g + a0 (>g)
a0 = -g
O
Phys I SV 2013
B. Zéro
C.g – a0 (<g)
Conclusions (de
la personne dans
l’ascenseur):
Pour une propre description du
mouvement dans le référentiel
accéléré:
Il faut ajouter une accélération
fictive –a0
[opposée à l’accélération réelle de
l’ascenseur.]
3-4
Peut-on considérer le vol parabolique une chute libre ?
Ex. référentiel accéléré
Le but: entraîner les astronautes en leur
donnant l’impression d’être sans
gravitation
L’avion doit suivre une trajectoire de chute
libre.
i.e., pour créer l’illusion d’être sans accélération,
o référentiel accéléré comme une chute libre
(voir ascenseur).
Question A: Dans quel référentiel ne ressenton pas d’accélération ?
Pour le calcul, il faut alors suivre la
trajectoire d’une balle jetée:
Question B: Avec une vitesse de 700km/h,
On utilise un angle de départ de 450 (Pourquoi ?).
quel est le temps maximal durant lequel on est
soumis à l’expérience zéro-G (sans toutefois
dépasser cette vitesse) ?
Je ne
ens pas
gravité!
en x et y (g)
accélération en z (g)
Accélération pendant chute libre
4
2.5
jeté vert..
2
1.Vitesse
verticale de départ:
3
jeté horiz.
2
1.5 v =194*sinS/4=137 m/s (700km/h=194m/s)
0y
lâché
1 L’accélération
1
est verticale et opposé à la vitesse verticale;
0
0.5
2. 0La norme de la vitesse est la même quand la-1
-0.5
position verticale est la même qu’au départ (y=0-2à T) :
-1
-3
y=v0yT-gT2/2=0
-4
-1.5
accelerationZ
Event
-2
-5
accelerationX
ĺT=2v0y/g=27s
-6
-2.5
accelerationY
0
10
20
30
40
50
temps (s)
Phys I SV 2013
3-5
(iphone, SensorLog)
Comment résoudre le problème du «Singe et banane» sans maths ?
analyse par référentiel accéléré
Déplacement vertical de la banane:
yb(T) =vy
T-gT2/2
Référentiel accéléré (en y) avec –g:
(singe au repos)
Le singe ne fait qu’un déplacement en y:
Ÿajouter +g
ys(T)=y0-gT2/2
Ÿa’ = a + g = 0
Déplacement en x’ y’ de la banane:
yy’
yb ’(T) =vy ’T
x’(T) = vxT
mouvement rectiligne
uniforme
Le singe :
(référentiel accéleré x’ y’)
ys ’(T) = y0’
xx’
3-6
Phys I SV 2013
3-2. '·RYLHQWla condition impérative G·XQPRXYHPHQWFLUFXODLUH"
L’accélération radiale ou centripète
L’accélération qui est requise pour un mouvement
circulaire est toujours vers le centre du cercle:
Trajectoire parabolique:
La composante horizontale de la vitesse reste
constante car l’accélération est uniquement selon y.
'v
'
v
'T
-v1
Les triangles isocèles sont similaires
(homothétie + rotation de 900).
'v et 't sont très petits:
'v 'l
'v v't

# 



o #
v r 'l # v't v r
Quels sont les éléments qui
caractérisent un mouvement circulaire
uniforme (r, v=constante)?
dv v 2
#
dt r
Norme de l’accélération radiale
(ou centripète):
Une accélération A à la vitesse n’effectue qu’un changement
me
e
de direction de v.
v12 # v22
&
&
Voir:
& dv
& &
d v 2 2v ˜
2v ˜ a 0
dt
dt
v2 = v1 + 'v
ou bien:
'v _ _ a
a R t v1
Phys I SV 2013
v(t ) 2
r
3-7
Exemples GHO·DFFpOpUDWLRQUDGLDOHaR
La terre au niveau de l’équateur
Rayon terrestre R=6380km. Pour un
observateur au centre de la terre v=?, a=?
O
T
y
Période T=3600 [s/h]Â24 [h] = 86400s
v=2SR/T
aR= v2/R
x
v= 6.28Â6400/86.4 = 460 [m/s]
a= 4602/6.4Â6 = 0.03 [m/s2]
Echantillon dans centrifugeuse
Une centrifugeuse (R=5 cm) est en rotation avec
f=12000 rev/min (i.e. une période de T = 1/200 s =
5ms). Quelle est l’accélération nette d’un échantillon qui
se trouve au bout de la centrifugeuse ?
aR=v2/R avec v=2SR/T ( = 63m/s)
aR = 4S2R2/RT2
aR = 40 0.05 / 0.0052
aR = 80000 [m/s2]
Le problème: position et vitesse d’un
mouvement circulaire ont deux
composantes qui changent avec le temps.
Question: Comment simplifier (i.e.
satisfaire la condition d’un bon choix du
référentiel) ?
Constat: Norme du déplacement (rayon)
reste constante.
Référentiel polaire/cylindrique
avec centre O
seul l’angle change avec le temps ….
3-8
Phys I SV 2013
4X·HVW-ce qui décrit la cinématique circulaire en coordonnées cylindriques ?
vitesse et accélération angulaire
Vitesse angulaire [unité: rad/s] moyenne:
Accélération angulaire instantanée
Z { 2S/T
T: temps pour une révolution
[unité: rad/s2] :
en 't: D='Z/'T
Avec la définition de fréquence f=1/T
[unité 1/s=1Hz (Hertz)]
Z = 2Sf
D (t ) {
Vitesse angulaire instantanée:
en 't: Z='T/'T
Z
Z (t ) {
'T (t )
't lim 't o0
dT (t )
dt
'Z (t )
't lim 't o0
dZ (t )
dt
d 2T
dt 2
Quiz: Quelles équations décrivent
Z,T et D lors d’un mouvement
circulaire uniformément accéléré ?
Distance parcourue dans
R
T=1/f [s] est 2SR
ĺY SR/T = 2Sf R
ĺ
Z = v/R
NB. En tout temps, il faut une accélération
radiale (centripète), en direction du centre du
cercle, avec norme
2
aR (t )
rZ (t )
Voir les équations de la cinématique linéaire:
v(t )
dr (t )
dt
a (t )
dv(t )
dt
Z Z 0 Dt
1
2
T T 0 Z 0 t Dt 2
Z x2
2D x (T T 0 )
3-9
Phys I SV 2013
Peut-on utiliser la cinématique linéaire et circulaire
SRXUODUpVROXWLRQG·XQSUREOqPH"
Situation: Le canon est cannelé en spirale qui met en rotation la balle procurant une
meilleure stabilité (voir leçon 12).
Une balle tirée d’une SIG 550 est soumise à une rotation de 2.5 tours pendant sa
trajectoire dans le canon. [Admettons une longueur de L=53 cm et une vitesse finale de
vf=900 m/s et des accélérations constantes.]
Questions: Quelle est
1. l’accélération linéaire
2. l’accélération angulaire
3. vitesse angulaire finale (rotations/s)
Réponse 1:
Cinématique linéaire: vf=aT ĺT=vf/a
L=aT2/2 ĺL=avf2/2a2ĺa=vf2/2L
Calcul: a= 0.902 106/2 0.53 =0.76Â106m/s2
Chaque film de Bond
commence avec cette vue
à travers le canon d’un fusil
Réponse 2:
Cinématique des rotations:
C
T=DT2/2 ĺT=D4L2/2vf2
T
D=Tvf2/2L2 (T=2.5 2S)
Calcul: D= 2.5 6.3 0.902 106/2 0.532 = 23Â106rad/s2
Réponse 3:
Cinématique des rotations: Zf=DT=Tvf/L
Calcul: Zf= 2.5 2S 0.90 103/0.53 = 27Â103 rad s-1
Phys I SV 2013
Zf/2S= = 4200 Hz
3-10
3-3. Comment définit-on la vitesse angulaire en 3D?
La cinématique circulaire vectorielle
Quelle orientation de Z ?
Z
Le mouvement angulaire se passe dans
le plan xy autour d’un axe ~~z
v2
ĺOn définit Z ~~z: Zz
v1
Quelle direction (signe) de Z ?
Si les doigts de la main droite suivent le
mouvement angulaire, Zz est dit positive
(« règle de la main droite »)
Mouvement circulaire: r, v et Z sont tous
orthogonaux.
Z
Pour une rotation
•
•
•
En xy, i.e. de x à y: Zz
En yz, i.e. de y à z: Zx
En xz, i.e. de z à x: Zy
ĺZest un vecteur
V
r
3-11
Phys I SV 2013
4X·HVW-ce qui décrit le mouvement circulaire en générale ? Précession: une équation utile de base
Pour un mouvement circulaire avec rayon rA, la norme de
la vitesse est
v=Zr = ~'
'rA/'t~
Dérivation de vy
v,Zet rA sont orthogonaux:
» vx= Zyz -Zzy
» vy= Zzx - Zxz
» vz= Zxy - Zyx
& & &
v Zur
Zz
&
dr
dt
& &
vy
Zur
x
Produit vectoriel
z
décrit une rotation de r autour du
vecteur Z avec la fréquence f=Z/2S
Ÿ valable pour n’importe quelle
quantité vectorielle f à la place de r
Utile à savoir: La norme de r est constante,
&2
&
voir
dr
dt
& dr
2r ˜
dt
Z
z
rA ĺtourne
y
x
-Zx
vy
r~~=const
& & &
2r ˜ Z u r 0
Exemple: La Terre au niveau de Lausanne (460)
T=3
Période T=3600Â24s=86400s
Rayon terrestre R=6380km.
Pour un observateur au centre de la terre v=?, a=?
440)/T v= 6.28Â6400 0.7/86.4 = 320 [m/s]
v=2SRsin(44
aR= v2/Rsin440 a= 3202/6.4Â6 0.7 = 0.02 [m/s2]
3-12
Phys I SV 2013
Comment décrire le mouvement circulaire uniforme sous forme vectorielle ?
Précession de la vitesse
Le mouvement circulaire en
composantes:
Circulaire: x2+y2 = r2 = const
r=(rcosZt), (rsinZt) = r {cos(Zt), sin(Zt)}
Dérivée interne
v = dr/dt = rZ {-sin(Zt) , cos(Zt)}
Déplacement
r:
&
dr & & &
v Zur
dt
a = dv/dt = rZ {-cos(Zt) , -sin(Zt)}
vitesse
v:
&
dv & &
Zuv
dt
2
&
&
& 2
d r
&
aR
r
Z
dv & & & &
Z u Z u r aR
dt 2
dt
& & &
&
Quand Z A r : a R Z u Z u r NB. Si Z(t) change avec le temps:
&
Z 2 r
Accélération radiale
(ou centripète):
vers le centre
Phys I SV 2013
Pour un mouvement circulaire,
aR=Z(t)2r
doit impérativement être satisfaite pour tout
3-13
temps t !
4XHOHVWOHOLHQHQWUHO·DFFpOpUDWLRQangulaire D
HWO·DFFpOpUDWLRQOLQpDLUH"
atan
De la condition impérative d’une trajectoire circulaire:
a
O
&
aR
r
&
Z r
2
&
v(t ) 2 r
˜
r r
n’effectue qu’un changement de
direction de vitesse v(t) à un instant
donné
aR
Comment changer la norme
de la vitesse v(t) ?
&
dv(t ) v
˜
dt v
&
atan
En norme: v=Zr. Pour une trajectoire
circulaire (r=const): dv dZ (t )
˜ r D (t )r
dt
dt
On note que |atan| = Dr est en direction de
&
v. Mais D est un vecteur A à atan…
r &
Comment lier D et atan ?
Il nous faut une opération qui
fait une rotation d’un vecteur par
900 sans changer la norme:
Ÿ produit vectoriel dont un
vecteur est unitaire
Phys I SV 2013
r
u atan
& &
dZ § r v ·
r
¨ u ¸
dt © r v ¹
iˆ u ˆj
kˆ
&
dZ (t )
dt
dZ/dt
atan
r
2 &
rA D
& &
r u atan
Valable pour n’importequelle accélération a (y
compris aR):
& &
r ua
&
rA D
2
z
y
x
3-14
3-4. Quelles conditions décrivent le roulement (sans glissement) ?
Rotation et translation
Sans glissement: La vitesse de la roue au point de
contact P vP est nulle.
Question: Quelle est la relation entre
vitesse de la roue vCM, Z et le rayon R de
la roue ?
vCM = -ZR
CM
vP = 0
-vCM
Référentiel de la roue
Translation de CM et rotation autour de CM :
& &
& & &
v ri vCM Z u rCM
3-15
Phys I SV 2013
Quiz: Roulement avec ou sans glissement ?
Quiz: La trajectoire d’une LED au bout d’une roue avec vCM=const est photographiée.
Question : Que peut-on dire de la vitesse angulaire Z ?
1. Augmente avec le temps
2. Diminue
3. Reste constante
Z> vCM
Z= vCM/R
Z< vCM
4. Pas assez d’informations
3-16
Phys I SV 2013
La cinématique en bref (Leçons 1-3)
La cinématique linéaire est jumelée avec celle des rotations
&
(t )
v (t
&
dr (t )
dt
&
Z (t)
t)
&
(t )
a (t
&
dT (t ) &
D (tt))
dt
Précession
&
v
&
dr
dt
Équations (linéaires) de base
&
&
t
&
&
&
dv (t ) d 2 r (t )
v
(
t
)
a (t ' )dt ' r (t )
2
³
dt
dt
t0
Cinématique des rotations
&
&
&
dZ (t )
d 2T (t )
Z ((tt )
2
dt
dt
t
&
³ D (t ' )dt '
t
&
³ v (t ' )dt '
t0
&
t
&
³ Z (t ' )dt '
T (t)
t)
t0
t0
Condition centripète
& &
Zur
&
aR
&
rAZ 2
Z = v/R
2 &
rA D
& &
r ua
v(t ) 2
rA
a R (t )
+ règles de différentiation et intégration
+ choix d’un bon référentiel
Référentiel d’inertie r’:
&
v ' (t ) const
Référentiel accéléré:
ajouter une accélération fictive (opposée à l’accélération du référentiel dans le RI)
3-17
Phys I SV 2013
Complément: Rotation autour point de contact P
ça revient lors du cours #11 ;)
ZRR
2vCM=ZRrB
v
—2vCM=ZRrCM
A
Roulement sans glisser:
A tout temps, au point de contact P
vP=vitesse du sol (=0)
Translation par vCM
+
Rotation autour CM par ZR=-vCM/R
=
Rotation autour P
(point de contact instantané)
C
rB
vCM
ZRR
vCM
vCM
A
—2vCM=ZRrC
rA
rC
ZRR
ZRR=vCM vCM
P
ĺ vi = ZR u ri
y
&
dr
dt
&
&
ZR u r
x
z
3-18
Phys I SV 2013
5DSSHO&RPSRVDQWHVG·XQYHFWHXU
coordonnées cartésiennes, polaires & cylindriques (voir aussi support maths, e.g. youtube)
polaires
cartésiennes
2S segments pour le
tour complèt
Définition:
2
position angulaire T
–
3
T{l/R
1
57.30
– Unité: radian [rad]
»
3600=2S rad
4
6
v= (v, T) =v(cosT x+sinTy)
5
v= vx x + vy y { (vx,vy)
6 segments jusqu’ici.
vx=vcosTvy=vsinT
cylindriques
cartésiennes
P = (U0,T,z0)
z
z
OP
2
U 0 2 z0 2
P = (x0,y0,z0)
OP
2
x0 y0 z0
2
2
Equations de liaisons:
2
x=UcosT
z0
z0
O
y
O
y
y0
x
Phys I SV 2013
x0
x
T U
U2=x2+y2
y=UsinT
z=z
3-19
3-20
Phys I SV 2013
3-21
Phys I SV 2013
3-22
Phys I SV 2013
3-23
Phys I SV 2013
3-24
Phys I SV 2013
3-25
Phys I SV 2013