Corrigé - Pauldoumaths

Terminale S – Bac Blanc – Février 2013 – Corrigé
Métropole – Juin 2006 (6 points)
1) Soit  la fonction définie sur  par .
On désigne par  sa courbe représentative dans un repère orthonormé  d’unité graphique 2cm.
a) Déterminer la limite de  en .
On pose
b) Justifier que  est dérivable sur  et déterminer sa dérivée.
 est dérivable comme produit et composée de fonctions dérivables sur .
Quelque soit ,  .
c) Dresser le tableau de variation de  et tracer la courbe .
Quelque soit ,   donc a le même signe que . C’est un polynôme de degré 2
qui a deux racines évidentes  et . Le coefficient de  est. D’où le tableau de signe
suivant :
 0 2 
 0  0 
On en déduit le tableau de variations de  :
 0 2 
 0  0 
0 0

2) Soit  un entier naturel non nul. On considère l’intégrale  définie par 
.
Soit  la fonction définie sur  pour tout entier naturel  non nul par .
a) Montrer que  .
. D’où   .
En déduire 
   . On en déduit que :
b) Montrer que pour tout entier naturel  non nul, 
 .
.
  .
En déduire que pour tout entier naturel  non nul,  
Par intégration sur l’intervalle , on en déduit que :
Soit  
 par linéarité de l’intégrale.
D’où  
Et donc  

c) Calculer . Donner une interprétation graphique du nombre . On la fera apparaître sur le
graphique de la question 1) c).
En utilisant la formule précédente avec, on obtient .
Soit .
 est une fonction positive sur . Donc 
 représente l’aire, exprimée en unité
d’aire, entre la courbe , les axes d’équations   et l’axe des abscisses.
3) a) Démontrer que pour tout nombre réel  de  et pour tout entier naturel  non nul, on a
l’inégalité suivante :   .
Sur l’intervalle , la fonction   est strictement décroissante. En effet,  .
Donc, pour tout de      .
De plus, pour tout de ,  donc on a l’inégalité  .
Autre méthode :     car la fonction
exponentielle est strictement croissante sur  donc sur .
De plus, pour tout de ,  donc on a l’inégalité  .
b) En déduire un encadrement de  puis la limite de  quand  tend vers .
En intégrant l’inégalité entre 0 et 1 (dans cet ordre), on obtient :
4) On considère l'algorithme suivant :
Variables
 est du type nombre
 est du type nombre
 est du type nombre
Début algorithme
lire 
n prend la valeur 1
I prend la valeur 
tant que I
début tant que
I prend la valeur 
 prend la valeur 
fin tant que
afficher
Fin algorithme

a) Quel est l'affichage en fin d'algorithme pour ?
  ;  ;  ; 
L'algorithme affiche.
b) Quel est l'intérêt de cet algorithme ?
Cet algorithme permet de déterminer la plus petite valeur de  pour laquelle, l’aire  est strictement
inférieure à la valeur  choisie.
Nouvelle-Calédonie – Novembre 2007 (4 points)
Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le
numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est
demandée.
Une réponse exacte rapporte  point ; une réponse inexacte enlève point ; l'absence de réponse est
comptée  point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.
Les justifications ne sont pas demandées mais sont données ici pour aider à la compréhension des
réponses.
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct d'origine .
1) Une solution de l’équation complexe  est :
a) 3 b)  c) 
Explication : On pose . Alors   et
 par identification des parties réelle et imaginaire.
Autre méthode. On remplace  par les valeurs données et on constate que seul  vérifie l’égalité.
2) Soit  un nombre complexe ;  est égal à :
a)  b)  c) 
Explication : On sait que 
 car deux nombres complexes conjugués ont le
même module. D’où  car .
3) Soit  un nombre complexe non nul d’argument . Un argument de 
 est :
a) 
 b)   c) 
Explication : On pose  avec  et  réel. On a donc 
 et 
.
4) Soit  un entier naturel. Le complexe  est un imaginaire pur si, et seulement si :
a)  b)  avec  entier relatif c)  avec  entier relatif
Explication :  
. Donc  .

Ce nombre complexe est imaginaire pur si et seulement si 
 soit 
5) Soient  et  deux points d’affixes respectives  et. L’ensemble des points  d’affixe  vérifiant
 est :
a) La droite  b) Le cercle de diamètre  c) La droite perpendiculaire à 
passant par O.
Explication : appartient à la médiatrice de , droite
perpendiculaire à (AB) et qui pense en O milieu de .
6) Soit  le point d’affixe . L’ensemble des points  d’affixe  vérifiant
 a pour équation :
a)  b)  c)  avec  réel
Explication : . Donc  est sur le cercle de
centre  et de rayon 5.
7) Soient  et les points d’affixes  et . L’affixe du point  tel que le triangle
 soit isocèle avec 
 est :
a)  b)  c) 
Explication : Un petit graphique suffit à trouver la solution
8) L’ensemble solution dans  de l’équation 
  est :
a)  b) L’ensemble vide c) 
Explication : 
  On trouve ensuite les deux
solutions complexes de la réponse c.
La Réunion – Juin 2008 (5 points)
Tous les résultats seront arrondis à  près.
Une entreprise produit en grande quantité des stylos.
La probabilité qu'un stylo présente un défaut est égale à 0,1.
1) On prélève dans cette production, successivement et avec remise huit stylos.
On note  la variable aléatoire qui compte le nombre de stylos présentant un défaut parmi les
huit stylos prélevés.
a) On admet que  suit une loi binomiale.
Donner les paramètres de cette loi.
La variable aléatoire  prend toute valeur entière entre 0 et 8 et la probabilité qu’un stylo présente un
défaut est 0,1. Donc les paramètres de  sont  et .