Corrigé - Pauldoumaths

Terminale S – Bac Blanc – Février 2013 – Corrigé
Métropole – Juin 2006 (6 points)
1) Soit
la fonction définie sur
On désigne par
par
.
sa courbe représentative dans un repère orthonormé
a) Déterminer la limite de
en
d’unité graphique 2cm.
.
On pose
b) Justifier que
est dérivable sur
et déterminer sa dérivée .
est dérivable comme produit et composée de fonctions dérivables sur .
Quelque soit
,
.
c) Dresser le tableau de variation de
Quelque soit
,
qui a deux racines évidentes
et tracer la courbe .
donc
a le même signe que
et
. Le coefficient de
. C’est un polynôme de degré 2
est
. D’où le tableau de signe
suivant :
0
2
0
0
On en déduit le tableau de variations de
:
0
2
0
0
0
0
2) Soit
Soit
un entier naturel non nul. On considère l’intégrale
la fonction définie sur
pour tout entier naturel
a) Montrer que
définie par
.
non nul par
.
.
. D’où
.
En déduire
. On en déduit que :
b) Montrer que pour tout entier naturel
non nul,
.
.
.
En déduire que pour tout entier naturel
Par intégration sur l’intervalle
Soit
D’où
Et donc
non nul,
, on en déduit que :
par linéarité de l’intégrale.
c) Calculer . Donner une interprétation graphique du nombre
. On la fera apparaître sur le
graphique de la question 1) c).
En utilisant la formule précédente avec
Soit
, on obtient
.
.
est une fonction positive sur
. Donc
représente l’aire, exprimée en unité
d’aire, entre la courbe , les axes d’équations
3) a) Démontrer que pour tout nombre réel
l’inégalité suivante :
Sur l’intervalle
Donc, pour tout
De plus, pour tout
et l’axe des abscisses.
de
et pour tout entier naturel
.
, la fonction
est strictement décroissante. En effet,
de
de
.
.
,
donc on a l’inégalité
.
Autre méthode :
car la fonction
exponentielle est strictement croissante sur
De plus, pour tout
non nul, on a
de
,
b) En déduire un encadrement de
donc sur
.
donc on a l’inégalité
puis la limite de
quand
En intégrant l’inégalité entre 0 et 1 (dans cet ordre), on obtient :
4) On considère l'algorithme suivant :
Variables
est du type nombre
est du type nombre
est du type nombre
Début algorithme
lire
n prend la valeur 1
I prend la valeur
tant que I
début tant que
I prend la valeur
prend la valeur
fin tant que
afficher
Fin algorithme
.
tend vers
.
a) Quel est l'affichage en fin d'algorithme pour
;
?
;
L'algorithme affiche
;
.
b) Quel est l'intérêt de cet algorithme ?
Cet algorithme permet de déterminer la plus petite valeur de
inférieure à la valeur
pour laquelle, l’aire
est strictement
choisie.
Nouvelle-Calédonie – Novembre 2007 (4 points)
Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le
numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est
demandée.
Une réponse exacte rapporte
point ; une réponse inexacte enlève
point ; l'absence de réponse est
comptée point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.
Les justifications ne sont pas demandées mais sont données ici pour aider à la compréhension des
réponses.
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct d'origine .
1) Une solution de l’équation complexe
a) 3
est :
b)
c)
Explication : On pose
. Alors
et
par identification des parties réelle et imaginaire.
Autre méthode. On remplace par les valeurs données et on constate que seul
2) Soit un nombre complexe ;
a)
est égal à :
b)
c)
Explication : On sait que
car deux nombres complexes conjugués ont le
même module. D’où
car
.
3) Soit un nombre complexe non nul d’argument . Un argument de
a)
b)
Explication : On pose
avec
et
réel. On a donc
.
un entier naturel. Le complexe
a)
Explication :
b)
est :
c)
et
4) Soit
vérifie l’égalité.
est un imaginaire pur si, et seulement si :
avec
. Donc
entier relatif
c)
avec
.
entier relatif
Ce nombre complexe est imaginaire pur si et seulement si
5) Soient
et
deux points d’affixes respectives et
soit
. L’ensemble des points
d’affixe vérifiant
est :
a) La droite
b) Le cercle de diamètre
c) La droite perpendiculaire à
passant par O.
Explication :
appartient à la médiatrice de
perpendiculaire à (AB) et qui pense en O milieu de
6) Soit
le point d’affixe
, droite
.
. L’ensemble des points
d’affixe
vérifiant
a pour équation :
a)
b)
c)
Explication :
centre
avec
. Donc
réel
est sur le cercle de
et de rayon 5.
7) Soient
et
les points d’affixes et
soit isocèle avec
a)
. L’affixe du point
tel que le triangle
est :
b)
c)
Explication : Un petit graphique suffit à trouver la solution
8) L’ensemble solution dans
a)
de l’équation
est :
b) L’ensemble vide
c)
On trouve ensuite les deux
Explication :
solutions complexes de la réponse c.
La Réunion – Juin 2008 (5 points)
Tous les résultats seront arrondis à
près.
Une entreprise produit en grande quantité des stylos.
La probabilité qu'un stylo présente un défaut est égale à 0,1.
1) On prélève dans cette production, successivement et avec remise huit stylos.
On note
la variable aléatoire qui compte le nombre de stylos présentant un défaut parmi les
huit stylos prélevés.
a) On admet que
suit une loi binomiale.
Donner les paramètres de cette loi.
La variable aléatoire
prend toute valeur entière entre 0 et 8 et la probabilité qu’un stylo présente un
défaut est 0,1. Donc les paramètres de
sont
et
.
b) Calculer les probabilités des événements suivants :
: « il n'y a aucun stylo avec un défaut »
: « il y a au moins deux stylos avec un défaut »
: « il y a exactement deux stylos avec un défaut »
à
près.
à
à
près.
près.
2) En vue d'améliorer la qualité du produit vendu, on décide de mettre en place un contrôle qui
accepte tous les stylos sans défaut et 20% des stylos avec défaut.
On prend au hasard un stylo dans la production. On note
défaut », et
l'événement : « le stylo présente un
l'événement « le stylo est accepté ».
a) Construire un arbre traduisant les données de l'énoncé.
b) Calculer la probabilité qu'un stylo soit accepté au contrôle.
D’après la formule des probabilités totales :
c) Justifier que la probabilité qu'un stylo ait un défaut sachant qu'il a été accepté au contrôle est égale
à 0,022 à
près.
à
près.
3) Après le contrôle, on prélève, successivement et avec remise, huit stylos parmi les stylos acceptés.
Calculer la probabilité qu'il n'y ait aucun stylo avec un défaut dans ce prélèvement de huit stylos.
On considère la variable aléatoire
qui compte le nombre de stylos avec un défaut dans le
prélèvement. Le prélèvement se fait successivement et avec remise. Il y a donc indépendance.
Y suit donc la loi binomiale de paramètres
avec
correspondant à la probabilité qu’un
stylo est un défaut après contrôle.
à
Comparer ce résultat avec la probabilité de l'événement
près.
calculée à la question 1) b).
Quel commentaire peut-on faire ?
Conclusion : ce contrôle permet de presque doubler les chances d’avoir un lot de huit stylos sans
défaut.
La Réunion – Juin 2008 (5 points)
On considère la suite
1) a) Calculer
définie par
et pour tout entier
,
.
.
b) Les valeurs de
sont respectivement égales à 45, 77, 117,
165, 221, 285, 357, 437, 525, 621.
A partir de ces données, conjecturer la nature de la suite
La suite
2) Soit
par
semble être arithmétique de premier terme
la suite arithmétique de raison
Justifier que la somme des
.
et de raison
et de premier terme
premiers termes de cette suite est égale à
.
On sait que, pour tout entier naturel ,
La somme des
premiers termes est :
3) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel
Initialisation :
on a
donc cette égalité est vérifiée au rang 0.
Hérédité : On suppose qu’il existe un entier naturel
On sait que
tel que
.
.
D’où
.
Donc, si
alors
.
.
L’hérédité est prouvée.
Conclusion : L’égalité est vérifiée quelque soit l’entier naturel .
4) Valider la conjecture émise à la question 1) b).
La suite
est arithmétique de premier terme
et de raison
.