Statistique Inférentielle - Université de Montpellier

Université de Montpellier 2 L2 MASS 2011
Statistique Inférentielle
TD 1 : Rafraîchissements probabilistes (I)
Quelques modèles probabilistes courants
Exercice 1 : Sentinelles normales
A l’entrée d’une caserne militaire, se trouve une guérite dans laquelle peut s’abriter la sentinelle en cas
d’intempéries. Les sentinelles sont des «appelés» dont la taille est distribuée suivant une loi normale de
moyenne 175 cm et d’écart-type 8 cm.
1. Quelle est la probabilité qu’une sentinelle ait une taille comprise entre 168 et 180 cm ?
2. A quelle hauteur minimale doit se situer le toit de la guérite pour qu’au moins 99% des sentinelles puissent
s’y tenir debout ?
Exercice 2 : Fourches caudines
Un candidat passant un examen est ajourné si sa note est inférieure à 7, passe un oral si sa note est comprise
entre 7 et 12, est admis sans oral si sa note est supérieure à 12. On suppose que les notes suivent une loi
normale de paramètres μ et σ².
1. On suppose μ = 9 et σ = 3.
(a) Calculer la probabilité pour qu’un candidat soit ajourné.
(b) Calculer la probabilité pour qu’un candidat passe l’oral.
(c) Calculer la probabilité pour qu’un candidat soit admis sans oral.
(d) On considère un ensemble de quatre candidats choisis au hasard. Quelle est la probabilité que deux de ces
candidats soient ajournés ?
(e) Déterminer l’intervalle centré en μ qui contient 96% des notes.
2. On suppose μ et s inconnus. On souhaite admettre (sans oral) 15,87% des candidats et
ajourner 6,68% des candidats.
(a) Calculer la probabilité pour qu’un candidat passe l’oral.
(b) Déterminer les valeurs de μ et σ.
Exercice 3: Second tour d'une présidentielle
Le second tour d'une élection présidentielle oppose deux candidats A et B.
1 – Modéliser le vote d'une personne tirée au hasard dans la population électorale par une variable aléatoire
bien choisie. Donner la loi de X. Quel est le paramètre p de cette loi?
2 – Calculer l'espérance et la variance de X.
3 - Donner le modèle correspondant à un échantillon de n personnes tirées indépendamment.
4 - On note N l'effectif de votants pour A dans l'échantillon de n électeurs.
a) Calculer l'espérance et la variance de N.
b) Soit
p=N
n
. Trouver la loi limite de
n p−p
.
Exercice 4: Photocopieuse poissonnienne
Le nombre annuel de pannes X d'une photocopieuse d'un modèle donné est supposé suivre une loi de Poisson
P(λ). On suppose connaître λ = 1.7.
1 – a) Rappeler les deux premiers moments de cette loi et interpréter λ. Dans la réalité, connaît-on λ?
b) Quel est le nombre attendu de pannes d'une telle photocopieuse pendant sa période de garantie de deux ans?
c) Quelle est la probabilité que la photocopieuse ne tombe pas en panne la première année? Les deux
premières années?
2 - Une boutique de photocopie vient d'ouvrir et met en service 10 photocopieuses du même modèle. Soit S le
nombre annuel de pannes qui sera constaté dans cette boutique. Donner sa loi, son espérance et sa variance.
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Exercice 5: Poules aurifères
Le chef d'un village d'Eldorado désire estimer la proportion p de poules aux oeufs d'or parmi les très
nombreuses poules de son village. Le problème avec les poules est qu'a priori, seule une faible proportion
d'entre elles sont aurifères, et que le seul moyen de savoir si une poule l'est est de lui ouvrir le ventre (une
aurifère ne pond d'oeufs d'or qu'en cachette), ce qui la met immédiatement hors d'usage, et c'est bien dommage.
Au lieu d'en sélectionner n a priori, de leur ouvrir le ventre pour savoir combien parmi elles sont aurifères
(quels sont les risques de cette façon de procéder?), le chef décide de faire autrement: il tire successivement au
hasard des poules, de leur ouvrir le ventre jusqu'à avoir trouvé k aurifères exactement.
1 – Soit X le nombre de poules qu'il aura fallu ouvrir pour en arriver là. Déterminer la densité de X. (N.B. On
le fera d'abord dans le cas particulier et simple où k = 1, la loi portant alors le nom de loi géométrique). En
déduire la probabilité que le chef n'ait pas à ouvrir plus de trois poules (il n'aime pas beaucoup ça, à vrai dire).
2 - On suppose k = 1.
a) Calculer le nombre moyen de poules que le chef doit s'attendre à ouvrir pour obtenir son aurifère.
b) Déterminer la variance de X.
c) Une fois obtenues l'aurifère, par quelle quantité estimeriez vous p? Justifiez votre réponse.
Exercice 6: Durée de vie de disques durs
Les durées de vie sont des variables aléatoires positives dont on peut, souvent avec profit, appréhender la
distribution sous l'angle du risque instantané. La fonction de risque instantané à l'âge x d'une durée X, appelée
“hazard function” et notée h(x), est définie par:
hx= lim
dx0
1
dx PXxdx∣Xx= lim
dx 0
1
dx
Fxdx −Fx
1−Fx=fx 1−Fx
où F et f sont respectivement la fonction de répartition et la densité de X.
1 – Montrer qu'à partir de h, on peut retrouver F et f et que, par conséquent, la fonction de risque caractérise
entièrement la distribution de la variable.
2 – Calculer la fonction de risque des lois suivantes, interpréter concrètement leur allure et donner des
exemples de phénomènes qu'elles pourraient servir à modéliser (voir l'encadré pour des informations utiles):
a) Loi exponentielle γ(1,λ).
b) Loi de Weibull W( λ ,a).
On précisera dans chaque cas les valeurs que l'on connaît dans la réalité, et celles qu'on ignore.
N.B. Des résultats utiles concernant les lois modélisant des durées de vie sont donnés en encadré à la fin de
l'exercice.
3 - On étudie la durée de vie X d'un modèle de disque dur. On suppose qu'il n'y a ni rodage, ni usure pendant
les 5 premières années, i.e. que le risque de panne par unité de temps λ(x) =
limdx 0
1
dx PXxdx∣Xx
est constant (indépendant de x) pendant cette durée.
a) Quelle est la loi de X ? Donner son espérance et sa variance, et interpréter leur relation au risque instantané.
b) On considère un système de S de 3 disques durs identiques mis en relais. Au départ, seul le premier disque
fonctionne. Dès qu'il tombe en panne, le second le remplace, puis dès que celui-ci tombe en panne, le troisième
prend le relais. Soit Y la durée de vie du système S avant panne, déterminer la loi de Y, son espérance et sa
variance.
Calculer l'espérance de 1/Y.
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Résultats utiles sur quelques lois modélisant des durées de vie
Toutes ces lois concernent des variables aléatoires positives (domaine =
ℝ
).
a) Loi exponentielle E(λ) = γ(1,λ),
∈ℝ+
*
:
Si X ~ γ(1,λ):
fx=e− x1ℝ+x
;
Fx=1−e− x
si x ≥ 0, et 0 sinon.
b ) Lois gamma γ(p,λ),
∈ℝ+
*; p ∈ℝ+ *
:
Si X ~ γ(p,λ):
f, p x= 1
  ppxp−1e− x1ℝ+x
où
  p=∫
0
∞
xp−1e−xdx
∀r∈ℕ , E Xr=   pr
r  p
avec Γ (p) = (p-1)!
∀p∈ℕ*
.
En particulier: E(X) = p/λ et V(X) = p/λ².
Si X ~ γ(p,λ) et Y ~ γ(q,λ) sont indépendantes, alors X+Y ~ γ(p+q,λ).
Si X ~ γ(p,λ):
∀a∈ℝ+
*: Y =aX ~ p , 
a
.
χ²(n) = γ(1/2,n/2)
b) Loi de Weibull W( λ ,a),
∈ℝ+
*; a ∈ℝ+ *
:
Si X ~ W( λ ,a):
f,a x=a xa−1e− xa 1ℝ+x
; F(x; λ ,a) =
1−e− xa
si x ≥ 0, et 0 sinon.
*Exercice 7: Sondage sans remise
Dans une population de N personnes comportant une proportion p d'opposants à une réforme des universités,
on tire un échantillon de n personnes au hasard sans remise, à qui l'on demande leur position sur cette réforme.
Soit X le nombre d'opposants que l'on trouve parmi ces n personnes.
1 - A l'aide d'un calcul de dénombrement, déterminer la loi de X.
2 - Trouver l'espérance de X.
3 - Trouver la variance de X.
4 - Par quelle quantité estimeriez vous p? Justifiez votre réponse.
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