DV maths 1ES vers TES 2013 - Saint-Charles - Athis-Mons

Révisions obligatoires – Mathématiques – 1ES à TES 2013
Des bases solides sont nécessaires pour réussir l’entrée en classe de Terminale ES.
Ce travail personnel est à rendre à la rentrée, à votre professeur de mathématiques ; ce devoir ne
sera pas noté mais le sérieux, la volonté et la motivation engagés afin de réussir seront évalués.
Analyse
Exercice I :
1. Déterminer les solutions dans R de l’équation 3x² + x – 4 = 0 et en déduire le domaine de
2x
.
3x ² + x − 4
2. Déterminer le signe du nombre 3x² + x – 4 selon les valeurs du réel x puis justifier que la
définition de la fonction f définie par : f ( x) =
fonction f définie par: f ( x) = − 3x ² − x + 4 est définie pour tout réel de l’intervalle [4/3 ; 1].
3. Etudier le signe de la fonction définie sur R par : f ( x ) = 9( 2 − 3 x )( −6 x ² + 3 x − 8)
4. Soit f la fonction définie par : f ( x ) =
f ( x) = x − 2 +
x ² − 3x + 6
.Vérifier que pour tout x ≠ 1,
x −1
4
x −1 .
Exercice II :
Déterminer la fonction dérivée
de chacune des fonctions suivantes :
f ( x ) = 4 x 4 − 3x 3 + 5x ² − 2 x + 1
3 5
g ( x ) = −4 x ² + 5 x − 3 + −
x x²
h ( x ) = ( x ² − 3 x )( 3 x ² − 1)
−3
3x ² − 4 x + 1
1
j( x) = 2 x − 3 +
x² + 1
3x − 1
k ( x) =
4x² − 1
i( x ) =
Exercice III:
Cet algorithme pourra être traduit dans le langage
de votre calculatrice mais sa traduction n’est pas
demandée sur la copie.
Demander N (un entier naturel)
Donner à P la valeur 0
Donner à U la valeur 4
Donner à S la valeur 4
Tant que P < N
Donner à P la valeur P+1
Donner à U la valeur 2+U
Donner à S la valeur S+U
Fin Tant que
Afficher S
1. Compléter le tableau donné ci-dessous en
faisant fonctionner l'algorithme pour
N = 5.
2. On considère la suite (Un) définie sur N
par : Un+1 =Un+2 et U0=4.
a) Quelle est la nature de la suite ?
b) Calculez U1 et U2.
c) Soit p un entier naturel. Donnez,
en fonction de p, la valeur de Up.
d) Calculez U21.
3. On fait fonctionner l'algorithme pour
N = 21. Quelle est alors la valeur
affichée pour S ?
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Valeur de P Valeur de U Valeur de S
Initialisation 0
4
4
Boucle 1
Boucle 2
Boucle 3
Boucle 4
Boucle 5
Affichage
---------------------54
Exercice IV : Lectures graphiques
A partir du graphique donnant la représentation
d’une fonction :
1. Déterminer le sens de variation de
2. En déduire le tableau de signe
de sa fonction dérivée ‘ sur ℝ.
3. Déterminer:
1 ; 1 ; ’ 1
’ 1 .
4. En déduire les équations
5. des tangentes (AB) et (ED).
Exercice V: Etude de fonction
2 x² − 3
.
x² − 9
1. Calculer
et étudier son signe ( ’ désigne la fonction dérivée de ).
3. Dresser le tableau de variations de f.
4. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de f au point d’abscisse 2.
5. Construire T et la courbe représentative de f ainsi que ses asymptotes et ses tangentes horizontales.
Soit f la fonction définie sur R\{-3 ; 3 par : f ( x ) =
Exercice VI – Fonction économique
Dans une usine de traitement de déchets, le coût total de récupération d'une matière est donné par :
C ( q) = 1 q ² + q + 2 , pour une quantité q en tonnes et le coût total est exprimé en milliers d'euros.
2
On admet que le coût marginal résultant de la dernière quantité produite est assimilable à la dérivée du
coût total : CM(q) = C’ (q).
On rappelle que le coût moyen est le quotient du coût total par la quantité produite : Cm(q) =
1. Exprimer le coût marginal et préciser son sens de variation sur ]0 ; + ∞[.
2. a. Exprimer le coût moyen en fonction de q et déterminer son sens de variation sur ]0 ; + ∞[.
Pour quelle quantité qo le coût moyen est-il minimal?
b. Comparer le coût moyen et le coût marginal pour la quantité qo.
3. Faire le lien graphiquement.
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Méthode :
La fonction coût total étant connue, ainsi que sa courbe représentative :
• le coût marginal est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de coût total, au point M
d'abscisse q ;
• le coût moyen est le coefficient directeur de la sécante (OM) à la courbe de coût total.
Pourcentages
Exercice I
1. En supposant que l'herbe d’une pelouse grandit de 4% par jour, quel sera, le pourcentage
d'augmentation, arrondi à 1'unité, de sa hauteur en 10 jours ?
2. Un centre SPA compte 55% de chiens, 35% de chats et 10% d'autres animaux. Lors d'une
journée
"portes ouvertes", 30% des chiens, 40% des chats et 60% des autres animaux sont adoptés.
a. Quel est le pourcentage d'animaux adoptés parmi la population totale du centre ?
b. Quel pourcentage représentent les chiens adoptés parmi la population des animaux
adoptés?
c. Compléter le tableau donné ci-dessous avec des pourcentages relatifs à la population totale
du centre.
%
Chiens
Chat
Autres
Total
55
35
10
100
Adoptés
Non adoptés
Total
3. Vu dans le "Libération" de Vendredi dernier Le Japon craint de ne pouvoir remplir les
objectifs du Protocole de Kyoto. Il s'était engagé à réduire de 6% ses émissions de gaz à effets
de serre entre 1990 et 2012. Las! Celles-ci auraient augmenté de 8,3% entre 1990 et 2004. De
quel pourcentage le Japon devrait-il baisser ses émissions de gaz à effets de serre entre 2004 et
2012 pour remplir les objectifs fixés par le Protocole de Kyoto (arrondir au dixième)?
Exercice II
Aurore a placé une somme de 1000€ pendant deux ans. Au bout de ces deux ans, son capital est égal à
1265 €. Valérie lui dit que son capital a augmenté de 26,5%.Prouver qu’elle a raison.
La première année du placement, le taux était égal à t % et la deuxième année, il était de 1,5 t % et
t
t
Jérémie prétend qu’il a été multiplié par: (1 +
)(1 + 1,5 ×
) .
100
100
Pourquoi Jérémie a-t-il raison? Calculer t.
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Statistiques et probabilités
Exercice I
On considère la série chronologique suivante donnant l’indice d’un produit financier en euros selon
une base 100 en 1971 :
année 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981
indice 100 102 120 125 105 101 104 99
110 100 105
1. Représenter le nuage de points représentant la série.
2. Quel est le pourcentage d’évolution de ce produit entre 1971 et 1976 ?
3. Sachant que ce produit a une valeur de 125 euros en 1977 déterminer sa valeur en 1981.
Exercice II - (Sources : SEL, site internet de L'INRIALPES de Grenoble.)
Etude sur le nombre de
battements de cœur à la minute,
pour 112 personnes:
Dépouiller cette série à l'aide de
la calculatrice.
1.
2.
3.
4.
5.
Donner les extrêmes, médiane et quartiles Q1 et Q3 de la série.
Peut-on dire que au moins 25% de la population présente moins de 60 battements minute ?
Tracer un diagramme en boîte résumant toutes ces indications.
Calculer la moyenne ̅ et l'écart type s de cet échantillon.
Calculer le pourcentage de la population totale comprise dans l’intervalle: [ ̅
; ̅
].
Exercice III
Dans un jeu de 52 cartes, on tire une carte au hasard. On considère les deux événements suivants
A « la carte tirée est un carreau » ; B « la carte tirée ne figure pas dans un jeu de 32 cartes ».
Calculer p ( ̅). Calculer p (A ∩ B) . Calculer p (A ∪B).
Exercice IV
Erwan vient de découvrir la fonction « entier aléatoire » de sa calculatrice ( RandInt ). Il exécute 10
fois de suite cette fonction pour obtenir 10 nombres entiers compris entre 1 et 4. On note D la
variable égale au nombre de 2 obtenus parmi les dix nombres.
1. Justifier que D suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
2. On considère l’événement A : » d’obtenir au moins une fois le nombre 2 ?
a. Quel est l’événement contraire de A ? Calculer sa probabilité.
b. En déduire la probabilité de A.
3. Que signifie l’événement « D = 4 » , calculer sa probabilité.
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