Division et P.G.C.D.

Division et P.G.C.D.
Compétences : C-num 28 - C-num 29 - C-num 30 - C-num 31
1) Diviseur :
Définition : soient a et b deux entiers naturels (non nuls). On dit que a est un diviseur de b
si la division de b par a « tombe juste »
(c’est à dire s’il existe un entier c tel que a = b  c)
1) le numérateur ou le dénominateur n’est pas trop grand
28
70
Méthode : On cherche les diviseurs communs. (on utilise les critères de divisibilité)
Exemple : pour réduire la fraction suivante
28 = 7  2  2
Exemples : 15 = 3  5
5 est un diviseur de 15
3 est un diviseur de 15
On a donc :
Il n’existe pas de nombre entier c tel que 7 = 3  c
3 n’est pas un diviseur de 7.
Remarques:
1) 1 et a sont toujours des diviseurs de a.
2) a est un diviseur de b si et seulement si b est un multiple de a.
Exemples :
1 et 7 sont des diviseurs de 7
24 = 4  6
4 est un diviseur de 24
6 est un diviseur de 24
3) Simplification d’une fraction :
28 7  2

70 7  5
70 = 7  2  5
et aussi
28 2

70 5
2) Le numérateur et le dénominateur sont des « grands » nombres
Exemple : comment réduire la fraction
493
?
377
Comment trouver le plus grand diviseur commun ?
Existe-t-il un diviseur commun ?
24 est un multiple de 4
24 est un multiple de 6
2) Diviseurs communs à deux entiers naturels :
4) Calcul du PGCD par l'algorithme d'Euclide
Pour rechercher les diviseurs communs à deux entiers, il suffit de chercher les diviseurs de
chaque entier et regarder ceux qui sont identiques :
L'algorithme d'Euclide permet de déterminer le Plus Grand Commun
Diviseur (P.G.C.D.) de deux nombres entiers.
Exemple :
Il est décrit dans le livre VII des Éléments d'Euclide.
63 a pour diviseurs 1 ; 3 ; 7 ; 9 ; 21 ; 63
45 a pour diviseurs 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 45
Les diviseurs communs à 63 et 45 sont donc 1 ; 3 et 9.
L'algorithme n'exige pas de factorisation fastidieuse ce qui est
appréciable lorsqu'on doit travailler sur de grands nombres entiers.
Souvent on cherche le plus grand des diviseurs communs à deux entiers. (par exemple
pour réduire une fraction)
Remarque : Lorsque deux nombres n’ont pas de diviseur commun autre que 1,
on dit que ces deux nombres sont premiers entre eux.
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Euclide
330-275 av JC
CALCULS – Calculs numériques - 3
Algorithme d'Euclide:
Voici un exemple d’utilisation de l’algorithme d’Euclide :
L'algorithme d'Euclide est une méthode pour trouver pratiquement le PGCD de deux
nombres sans avoir besoin de faire leur décomposition en facteurs premiers. Il est basé sur
la propriété suivante :
On cherche le plus grand diviseur commun à 8136 et 492
En considérant deux nombre A et B mutiples de a (A étant plus grand que B), il existe un
deux entiers n et r (appelé reste) tel que :
On divise 8136 par 492, il reste donc 264
A = nB + r
Et on peut remarquer que r aussi est un multiple de a
Ainsi le plus grand commun multiple de A et B est le même que le plus grand commun
multiple de B et de r
Exemple :
La division de
A
par
B
8 136
492
8136 = 16492 + 264
264
492
264
492 = 1264 + 228
228
264
228
264 = 1228 + 36
36
228
36
228 = 636 + 12
12
36
12
36 = 312 + 0
0
18 est un multiple de 6
60 est un multiple de 6
on a 60 = 318 + 6
Le PGCD de 60 et 18 est le même que le PGCD de 18 et de 6
Voilà la méthode utilisée dans l’algorithme d’Euclide.
Remarque : Si le PGCD de deux entiers est 1, alors on dit que ces nombres
donne un reste
C
12 est donc le PGCD de 8136 et 492
sont premiers entre eux.
On a bien
8 136 = 12  678
492 = 12  41
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CALCULS – Calculs numériques - 3
Voici un organigramme présentant autrement l’algorithme
Exemple: Calculez le PGCD de 1071 et 1029 en utilisant l’Algorithme d’Euclide:
a
b
1071
1029
c
Le PGCD de 1071 et de 1029 est …………
On peut noter la simplicité de cet algorithme
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