Division et P.G.C.D.

Division et P.G.C.D.
Compétences : C-num 28 - C-num 29 - C-num 30 - C-num 31
1) Diviseur :
Définition : soient a et b deux entiers naturels (non nuls). On dit que a est un diviseur de b
si la division de b par a « tombe juste »
(c’est à dire s’il existe un entier c tel que a = b  c)
Exemples : 15 = 3  5
5 est un diviseur de 15
3 est un diviseur de 15
Il n’existe pas de nombre entier c tel que 7 = 3  c
3 n’est pas un diviseur de 7.
Remarques:
1) 1 et a sont toujours des diviseurs de a.
2) a est un diviseur de b si et seulement si b est un multiple de a.
Exemples :
1 et 7 sont des diviseurs de 7
24 = 4  6
4 est un diviseur de 24 24 est un multiple de 4
6 est un diviseur de 24 24 est un multiple de 6
2) Diviseurs communs à deux entiers naturels :
Pour rechercher les diviseurs communs à deux entiers, il suffit de chercher les diviseurs de
chaque entier et regarder ceux qui sont identiques :
Exemple : 63 a pour diviseurs 1 ; 3 ; 7 ; 9 ; 21 ; 63
45 a pour diviseurs 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 45
Les diviseurs communs à 63 et 45 sont donc 1 ; 3 et 9.
Souvent on cherche le plus grand des diviseurs communs à deux entiers. (par exemple
pour réduire une fraction)
Remarque : Lorsque deux nombres n’ont pas de diviseur commun autre que 1,
on dit que ces deux nombres sont premiers entre eux.
3) Simplification d’une fraction :
1) le numérateur ou le dénominateur n’est pas trop grand
Exemple : pour réduire la fraction suivante
70
28
Méthode : On cherche les diviseurs communs. (on utilise les critères de divisibilité)
28 = 7  2  2 70 = 7  2  5
On a donc :
57
27
70
28
et aussi
5
2
70
28
2) Le numérateur et le dénominateur sont des « grands » nombres
Exemple : comment réduire la fraction
377
493
?
Comment trouver le plus grand diviseur commun ?
Existe-t-il un diviseur commun ?
4) Calcul du PGCD par l'algorithme d'Euclide
L'algorithme d'Euclide permet de déterminer le Plus Grand Commun
Diviseur (P.G.C.D.) de deux nombres entiers.
Il est décrit dans le livre VII des Éléments d'Euclide.
L'algorithme n'exige pas de factorisation fastidieuse ce qui est
appréciable lorsqu'on doit travailler sur de grands nombres entiers.
1CALCULS – Calculs numériques - 3
Euclide
330-275 av JC

Algorithme d'Euclide:
L'algorithme d'Euclide est une méthode pour trouver pratiquement le PGCD de deux
nombres sans avoir besoin de faire leur décomposition en facteurs premiers. Il est basé sur
la propriété suivante :
En considérant deux nombre A et B mutiples de a (A étant plus grand que B), il existe un
deux entiers n et r (appelé reste) tel que :
A = nB + r
Et on peut remarquer que r aussi est un multiple de a
Ainsi le plus grand commun multiple de A et B est le même que le plus grand commun
multiple de B et de r
Exemple : 18 est un multiple de 6
60 est un multiple de 6
on a 60 = 318 + 6
Le PGCD de 60 et 18 est le même que le PGCD de 18 et de 6
Voilà la méthode utilisée dans l’algorithme d’Euclide.
Remarque : Si le PGCD de deux entiers est 1, alors on dit que ces nombres
sont premiers entre eux.
Voici un exemple d’utilisation de l’algorithme d’Euclide :
On cherche le plus grand diviseur commun à 8136 et 492
On divise 8136 par 492, il reste donc 264
La division de
A
par
B
donne un reste
C
8 136 492 8136 = 16492 + 264 264
492 264 492 = 1264 + 228 228
264 228 264 = 1228 + 36 36
228 36 228 = 636 + 12 12
36 12 36 = 312 + 00
12 est donc le PGCD de 8136 et 492
On a bien
8 136 = 12  678
492 = 12  41
2CALCULS – Calculs numériques - 3

Exemple: Calculez le PGCD de 1071 et 1029 en utilisant l’Algorithme d’Euclide:
a b c
1071 1029
Le PGCD de 1071 et de 1029 est …………
Voici un organigramme présentant autrement l’algorithme
On peut noter la simplicité de cet algorithme
3CALCULS – Calculs numériques - 3