I PGCD et PPCM de deux nombres entiers

TS (spécialité) PGCD - PPCM - Gauss et Bézout 2011-2012
I PGCD et PPCM de deux nombres entiers
I.1 Préliminaires
∗Préliminaires
On a 282 = 14 ×19 + 16
Les formulations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
•Dans la division euclidienne de 282 par 14, le quotient est 19 et le reste est 16.
•Si un entier ddivise 282, alors ddivise 14 et 16.
•Tout diviseur commun de 282 et 14 est un diviseur de 16.
•Le reste dans la division euclidienne de 282 par 14 est 2.
•Les diviseurs communs de 282 et 14 sont 1 et 2.
∗Préliminaires
Les formulations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
•Deux nombres premiers distincts n’ont pas de diviseurs communs.
•L’ensemble des diviseurs communs à deux entiers non nuls est non vide et majoré.
•Soit nun entier naturel non nul. Un diviseur commun à 2n−1 et n+ 3 divise 7.
•7 est un diviseur commun à 2n−1 et n+ 3 lorsque nest congru à 4 modulo 7.
•Les multiples communs à 6 et à 14 sont des multiples de 6 ×14.
•L’ensemble des multiples communs à deux entiers naturels non nuls est non vide et minoré.
I.2 Définition du PGCD de deux entiers relatifs non nuls
aet bsont deux entiers relatifs non nuls.
Définition 1 L’ensemble des diviseurs communs à aet badmet un plus grand élément Dappelé PGCD de a
et de b. On le note D=P GCD(a;b)
D
Détermination pratique du PGCD :
•A la main, lorsque les nombres ne sont pas trop grands. ex : PGCD(420 ;1386) ?
•A la calculatrice, l’instruction existe seulement pour des modèles "sophistiqués". Pour les autres, il faut écrire
un programme qui repose sur l’algorithme d’Euclide (voir plus loin)
•Avec un ordinateur, utiliser un tableur et encore l’algorithme d’Euclide.
I.3 Nombres premiers entre eux
Définition 2 On dit que deux entiers relatifs non nuls aet bsont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal
à 1. (on dit aussi "étrangers")
Résultat connu : Soit aet bdeux entiers relatifs non nuls. La fraction a
best irréductible lorsque aet bsont premiers
entre eux.
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I.4 Propriétés du PGCD
Soient aet bdeux entiers relatifs, a6= 0.
Propriété 1 :
•PGCD(a, 0)=aet PGCD(a, 1)=1 ;
•PGCD(a, b)=PGCD(|a|,|b|) ; conséquence : On peut limiter l’étude du PGCD(a, b) au cas où aet bsont des
entiers naturels.
•Si bdivise a, PGCD(a, b)=|b|;
•Si best premier et ne divise pas a, PGCD(a, b)=1 .
I.5 Algorithme d’Euclide
1. Procédé
Théorème 1 Soit aet bdeux entiers naturels non nuls. La suite des divisions euclidiennes :
•de apar b:a=bq0+r0;
•de bpar r0(si r06= 0) : b=r0q1+r1
•de r0par r1(si r16= 0) : r0=r1q1+r2
•.................. .
.
..............................
.
.
•de rn−1par rn(si rn6= 0) : rn−1=rnqn+rn+1 finit par s’arrêter, un des restes riétant nul.
le dernier reste non nul est alors le PGCD de aet de b.
D
Exemple 1 Calculer PGCD(1958 ;4539)
2. Exploitation numérique
A l’aide d’un tableur , programmer la recherche du PGCD de deux entiers naturels non nuls par l’algorithme
d’Euclide.
A l’aide du logiciel de codages d’algtorithmes AlgoBox , programmer la recherche du PGCD de deux nombres
entiers naturels non nuls.
I.6 PPCM de deux entiers relatifs non nuls
aet bsont deux entiers relatifs non nuls.
Définition 3 L’ensemble des multiples communs strictement positifs de aet de badmet un plus petit élément
Mappelé PPCM de aet de b. On note M=P P CM (a;b)
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D
Résultat connu : Le plus petit dénominateur commun de deux fractions est le PPCM des dénominateurs.
II Théorèmes de Bézout et théorème de Gauss
II.1 Théorème de Bézout
Théorème 2 Soit aet bdeux entiers relatifs non nuls et Dleur PGCD. Il existe deux entiers relatifs uet vtels
que au +bv =D. (Égalité de Bézout)
DLa démonstration s’appuie sur l’étude de l’ensemble Bdes entiers naturels non nuls de la forme am +bn (avec
met ndans Z).
Découpage de la démonstration :
Prouver que Bcontient au moins un élément (non vide) et l’on note dle plus petit élément de B.
Prouver que D6d.
Prouver que ddivise aet ddivise b.
Conclure.
Propriété 2 (Importantes )
•Tout diviseur commun à aet bdivise leur PGCD.
(L’ensemble des diviseurs communs à aet best l’ensemble des diviseurs du PGCD)
•aet bsont premiers entre eux ⇔il existe deux entiers relatifs uet vtels que au +bv = 1.
•L’équation ax +by =d(dentier fixé non nul) admet des solutions entières si et seulement si dest un
multiple de D(d=kD) .
•a,bet kdes entiers naturels non nuls : PGCD(ka, kb)=k×PGCD(a, b) .
EXERCICE 1 Montrer que, pour tout n∈Z, 2n+ 1 et 3n+ 1 sont premiers entre eux. Même question avec 3n−2
et 5n−3.
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II.2 Théorème de Gauss
Théorème 3 Soit a,bet c, trois entiers relatifs non nuls. Si adivise bc et si aet bsont premiers entre eux, alors
adivise c
En d’autres termes :
•a|bc
•PGCD(a;b) = 1 =⇒a|c
D
EXERCICE 2 Montrer que si aet bdivise un entier cet que aet bsont premiers entre eux alors ab divise c.
III Applications des deux théorèmes
III.1 Propriétés du PGCD et du PPCM
aet bdeux entiers relatifs non nuls, Dleur PGCD et Mleur PPCM.
1. Il existe deux entiers a′et b′premiers entre eux tels que :
a=Da′et b=Db′
(En d’autres termes, lorsque l’on divise deux nombres par leur PGCD, on obtient des quotients premiers entre eux)
D
2. Avec les notations précédentes, on a :
M=Da′b′=ab′=a′bet M D =ab
DProuver que Da′b′est un multiple commun à aet à b.
DProuver que M
Dest un entier, divisible par a′et par b′. Conclure que Mest un multiple de Da′b′à l’aide
d’une conséquence du théorème de Gauss (exercice 2)
DDéduire de ce qui précéde que M=Da′b′et les autres égalités.
3. L’ensemble des diviseurs communs à aet best l’ensemble des diviseurs de D.
4. L’ensemble des multiples communs à aet best l’ensemble des multiples de M.
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III.2 Équation Diophantienne ax +by =k×P GCD(a;b)
Il s’agit de déterminer tous les couples (x;y) tels que : ax +by =k×P GCD(a;b).
A partir d’un exemple ...
On considère l’équation (E) : 17x−33y= 1
1. Déterminer une solution particulière de (E).
2. En déduire une solution particulière de (E1) : 17x−33y= 5.
3. Résoudre (E1) dans Z×Z. (c’est à dire trouver tous les couples de Z×Zvérifiant E1)
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