Théor`eme de Pythagore.

Th´eor`eme de Pythagore.
IFaire un carr´e avec deux carr´es.
Lors du remembrement, on se propose de regrouper les deux terrains carr´es de
la ferme Lepic en un seul champ carr´e :
E B
F
GD
HN
E0
F
G
H0
Avant. Apr`es.
Mais la m`ere Lepic a du mal `a comprendre les calculs de l’administration : «Faudrait
bien voir. »dit-elle.
On vous demande de trouver une construction g´eom´etrique simple pour la convaincre.
Les terrains de la ferme Lepic sont inscrits dans un carr´e (ABCD). Sur la figure, les
quatre triangles rectangles (F CG), (GN F ), (NHA) et (AEN ) sont isom´etriques.
A E B
F
CGD
HN
On a F N =F B, une
rotation d’un quart de
tour autour du point
Fam`ene le triangle
(NF G) en (BF E0).
L’angle
d
GF E0est un
angle droit.
A E E0B
F
CGD
HN
Une translation am`ene le rectangle (HAEN) en (DH0N0G).
A E0B
F
CGD
H0N0
On a N0G=AE0, une
rotation d’un quart de
tour autour du point
H0am`ene le triangle
(N0H0G) en (AH0E0).
L’angle
d
GH0E0est un
angle droit.
A E0B
F
CGD
H0
Conclusion.
L’aire du carr´e construit sur l’hypot´enuse [GF ] du triangle (GN F ), rectangle en
N, est la somme des aires des carr´es construits sur les deux autres cˆot´es, [GN] et
[NF ] :
GF 2=GN2+N F 2
Pythagore, page 1/7 - 17 janvier 2004

II La corde `a treize noeuds.
Pour aligner les bases de leurs pyramides, les anciens utilisaient essentiellement
le cordeau. Cette ficelle, qui sert `a d´eterminer la ligne droite ou `a diviser un segment
dans un rapport donn´e, peut aussi nous aider `a construire deux murs perpendicu-
laires.
•R´ealisation.
Une unit´e de longueur ´etant choisie, nous rep´erons douze segments cons´ecutifs de
mˆeme longueur sur la corde. Chaque borne d’un segment est marqu´ee par un noeud
que nous pouvons num´eroter de 0 `a 12, par exemple.
•Utilisation.
Un piquet Brep`ere le coin du bˆatiment, l’alignement du mur (BC) est marqu´e, nous
voulons d´eterminer l’alignement du mur (BA) perpendiculaire `a (BC).
Le point Bet la droite (BC)
sont fix´es, mais le point C
est mobile sur cette droite.
Nous cherchons `a d´eterminer
un point A, au moins, tel
que les droites (BA) et (BC)
soient perpendiculaires.
Les deux extr´emit´es de la
corde sont fix´ees au point B,
le point Cse d´eplace sur
la droite (BC), la corde est
tendue entre les trois points
A,Bet C.
28/05/03
BC
A
Question. En d´epla¸cant les points Aet C, peut-on trouver une ou plusieurs situations
v´erifiant les deux conditions :
–Les points Aet Cco¨ıncident avec un noeud de la corde.
–Le triangle (ABC) est rectangle en B.
30/05/03
B
BC
C
A
A
Deux solutions semblent convenir :
AB = 3,BC = 4 et AC = 5 ou AB = 4,BC = 3 et AC = 5.
D´eterminer alors une relation liant les carr´es des longueurs AB,BC et AC.
Dans les deux cas, nous v´erifions : BA2+BC2=AC2.
Retenons :
Cette condition BA2+BC2=AC2, dite propri´et´e de Pythagore est n´ecessaire
et suffisante pour que le triangle (ABC) soit rectangle en B.
Pythagore, page 2/7 - 17 janvier 2004

III Le th´eor`eme de Pythagore.
Rappel de d´efinitions :
•Un angle plat est un angle dont les deux cˆot´es sont oppos´es .
13/12/02
S
30/05/03
S
•Un angle droit est la moiti´e d’un angle plat.
Le menuisier utilise cette d´efinition pour r´eformer une ´equerre douteuse :
Si en retournant l’´equerre on ne retombe pas sur la mˆeme trace, son angle n’est pas
un angle droit.
Pratique : Comment rep´erer graphiquement un angle droit ?
13/12/02
MP
N
P'
Soit un triangle (M, N, P ), au compas, par pliage, ou par tout autre moyen, nous
tra¸cons le point P0sym´etrique du point Ppar rapport `a la droite (M, N ). L’angle
d
NMP est droit si et seulement si les points P0,Met Psont align´es .
Pythagore, page 3/7 - 17 janvier 2004

Th´eor`eme.
L’angle
d
ABC est droit si et seulement si le triangle (A, B, C) v´erifie la propri´et´e
de Pythagore :
AC2=BA2+BC2
Cette propri´et´e caract´eristique est utilis´ee de deux fa¸cons :
•On connaˆıt deux cˆot´es d’un triangle, on sait que l’angle est droit et on calcule la
longueur du troisi`eme cˆot´e,
•Les longueurs des trois cˆot´es d’un triangle v´erifient la propri´et´e de Pythagore et
on en conclut que l’angle est droit.
Attention. Les longueurs qui interviennent dans la formule de Pythagore ne sont que
tr`es rarement des nombres d´ecimaux.
Exemple d’application.
Pour assurer la rectitude de leur construction, les m´etalliers ajoutent des raidisseurs
`a la charpente m´etallique, ces raidisseurs sont soigneusement calcul´es avant la mise
en place.
AB
C
4,50 m 4,50 m 4,50 m
3,60 m
3,60 m
Le triangle (A, B, C) est rectangle en B, la propri´et´e de Pythagore nous donne :
AC2=BA2+BC2
Nous connaissons les deux cˆot´es de l’angle droit, en m`etres,
BA =4,50
BC =3,60
Nous en d´eduisons le carr´e de l’hypot´enuse, en m`etres carr´es,
AC2=33,210
Ce qui nous donne la valeur exacte :
AC =0,9√41
Nous retiendrons une valeur approch´ee au millim`etre pr`es : AC '5,763 m.
Pythagore, page 4/7 - 17 janvier 2004

IV Quelques exercices.
EX 01
Sans tracer les triangles, on vous demande de compl´eter le tableau suivant, et de
rayer les mentions inutiles en pr´ecisant, si besoin, l’angle droit.
AB = 400
AC = 500
BC = 700
AB2=160000
AC2=250000
BC2=490000
Le triangle (A, B, C)
•n’est pas rectangle,
•——————est rectangle en
DE = 10
DF = 5
EF = 5 √3
DE2=100
DF 2=25
EF 2=75
Le triangle (D, E, F )
•———————n’est pas rectangle,
•est rectangle en D
GH = 50
GI = 50
HI = 50 √2
GH2=2500
GI2=2500
HI2=5000
Le triangle (G, H, I)
•———————n’est pas rectangle,
•est rectangle en H
EX 02
Dans un rectangle (A, B, C, D),
on connaˆıt la longueur du cˆot´e
AB = 12 et celle de la diagonale
AC = 14.
•Calculer la longueur du cˆot´e
BC.
•En d´eduire le p´erim`etre du rec-
tangle (A, B, C, D). A B
CD
Le triangle (A, B, C)est rectangle en B.
Nous connaissons la longueur de l’hypot´enuse, AC = 14, et la longueur d’un cˆot´e de
l’angle droit, AB = 12. La propri´et´e de Pythagore donne : AC2=AB2+BC2.
Nous en tirons :
BC2=AC2−AB2, soit : BC =√AC2−AB2.
Application num´erique :
BC =√196 −144
=√52
'7,2
Nous en d´eduisons le p´erim`etre pdu rectangle :
p= 2 ×(AB +AC)
= 24 + 2 √52
'38,4
Pythagore, page 5/7 - 17 janvier 2004