Amérique du sud. Novembre 2014. Enseignement spécifique

Amérique du sud. Novembre 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 1 (6 points) (commun à tous les candidats)
Une entreprise est spécialisée dans la fabrication de ballons de football. Cette entreprise propose deux tailles de ballons :
-unepetitetaille,
-unetaillestandard.
Les trois parties suivantes sont indépendantes.
Partie A
Un ballon de football est conforme à la réglementation s’il respecte, suivant sa taille, deux conditions à la fois (sur sa
masse et sur sa circonférence).
En particulier, un ballon de taille standard est conforme à laréglementationlorsquesamasse,expriméeengrammes,
appartient à l’intervalle [410;450]et sa circonférence, exprimée en centimètres, appartient à l’intervalle [68;70].
1) On note Xla variable aléatoire qui, à chaque ballon de taille standardchoisiauhasarddansl’entreprise,associe
sa masse en grammes.
On admet que Xsuit la loi normale d’espérance 430 et d’écart type 10.
Déterminer une valeur approchée à 10−3près de la probabilité P(410 !X!450).
2) On note Yla variable aléatoire qui, à chaque ballon de taille standardchoisiauhasarddansl’entrepriseassocie
sa circonférence en centimètres.
On admet que Ysuit la loi normale d’espérance 69 et d’écart type σ.
Déterminer la valeur de σ,aucentièmeprès,sachantque97 %desballonsdetaillestandardontunecirconférence
conforme à la réglementation.
On pourra utiliser le résultat suivant : lorsque Zest une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite,
alors P(−β!Z!β)=0, 97 pour β≈2, 17.
Partie B
L’entreprise affirme que 98 %desesballonsdetaillestandardsontconformesàlaréglementation. Un contrôle est
alors réalisé sur un échantillon de 250 ballons de taille standard. Il est constaté que 233 d’entre eux sont conformes à
la réglementation.
Le résultat de ce contrôle remet-il en question l’affirmation de l’entreprise ? Justifier la réponse.
(On pourra utiliser l’intervalle de fluctuation)
Partie C
L’entreprise produit 40 %deballonsdefootballdepetitetailleet60 %deballonsdetaillestandard.
On admet que 2%desballonsdepetitetailleet5%desballonsdetaillestandardnesontpasconformesàla
réglementation. On choisit un ballon au hasard dans l’entreprise.
On considère les évènements :
A:«leballondefootballestdepetitetaille»,
B:«leballondefootballestdetaillestandard»,
C:«leballondefootballestconformeàlaréglementation»etC,l’évènementcontrairedeC.
1) Représenter cette expérience aléatoire à l’aide d’un arbre de probabilité.
2) Calculer la probabilité que le ballon de football soit de petite taille et soit conforme à la règlementation.
3) Montrer que la probabilité de l’évènement Cest égale à 0, 962.
4) Le ballon de football choisi n’est pas conforme à la réglementation. Quelle est la probabilité que ce ballon soit
de petite taille ? On arrondira le résultat à 10−3.
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Amérique du sud. Novembre 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 1 : corrigé
Partie A
1) La calculatrice fournit P(410 !X!450)=0, 954 à10−3près.
P(410 !X!450)=0, 954 à10−3près.
2) Posons Z=Y−69
σ.OnsaitqueZsuit la loi normale centrée réduite c’est-à-dire la loi normale de moyenne 0et
d’écart-type 1.
Un ballon est conforme à la législation si et seulement si Yappartient à l’intervalle [68, 70].Or,
68 !Y!70 ⇔−1!Y−69 !1⇔−1
σ!Y−69 σ!1 σ.
L’énoncé dit que 97 %desballonsdetaillestandardontunecirconférenceconforme à la réglementation ou encore
p(68 !Y!70)=0, 97.
p(68 !Y!70)=0, 97 ⇔p!−1
σ!Z!1 σ"=0, 97 ⇔1 σ≈2, 17 ⇔σ≈0, 05.
σ≈0, 05.
Partie B
Notons Fla variable aléatoire égale à la fréquence de ballons conformes à la réglementation.
Ici, n=250 et on suppose que p=0, 98.Onnotetoutd’abordquen"30.Ensuite,np =245 et donc np "5et
n(1−p)=5et donc n(1−p)"5.Unintervalledefluctuationasymptotiqueauseuilde95 %delavariablealéatoire
Fest
#p−1, 96 $p(1−p)
√n,p+1, 96 $p(1−p) √n%=&0, 98 −1, 96 √0, 98 ×0, 02 √250 ;0, 98 +1, 96 √0, 98 ×0, 02 √250 '.
En arrondissant de manière à élargir un peu, on obtient l’intervalle [0, 962;0, 998].
La fréquence observée est f=233
250 =0, 932 . . . Cette fréquence n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation. Donc, le
résultat du contrôle remet en question l’affirmation de l’entreprise au risque de se tromper de 5%.
Partie C
1) Représentons la situation par un arbre de probabilités.
A
B
C
C
C
C
0, 4
0, 6
0, 98
0, 02
0, 95
0, 05
2) La probabilité demandée est p(A∩C).
p(A∩C)=p(A)×pA(C)=p(A)×(1−pA(C))=0, 4 ×(1−0, 02)=0, 392.
p(A∩C)=0, 392.
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3) La probabilité demandée est p(C).D’aprèslaformuledesprobabilitéstotales,
p(C)=p(A∩C)+p(A∩C)=p(A)×pA(C)+p(A)×pA(C)
=0, 4 ×0, 98 +0, 6 ×0, 95 =0, 962.
p(C)=0, 962.
4) La probabilité demandée est pC(A).
pC(A)= p(C∩A)
p(C)=p(A)×pA(C)
1−p(C)=0, 4 ×0, 02 1−0, 962 =0, 211 arrondi à 10−3.
pC(A)=0, 211 arrondi à 10−3.
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Pondichéry 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 1 (4 points) (commun à tous les candidats)
Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième.
1) La durée de vie, exprimée en années, d’un moteur pour automatiser un portail fabriqué par une entreprise A
est une variable aléatoire Xqui suit une loi exponentielle de paramètre λ, où λest un réel strictement positif.
On sait que P(X62) = 0, 15.
Déterminer la valeur exacte du réel λ.
Dans la suite de l’exercice, on prendra 0, 081 pour valeur de λ.
2) a) Déterminer P(X>3).
b) Montrer que pour tous réels positifs tet h,PX>t(X>t+h) = P(X>h).
c) Le moteur a déjà fonctionné durant 3ans. Quelle est la probabilité pour qu’il fonctionne encore 2ans ?
d) Calculer l’espérance de la variable aléatoire Xet donner une interprétation de ce résultat.
Dans la suite de l’exercice, on donnera des valeurs arrondies des résultats à 10−3.
3) L’entreprise A annonce que le pourcentage de moteurs défectueux dans la production est égale à 1%. Afin de vérifier
cette information, 800 moteurs sont prélevés au hasard. On constate que 15 moteurs sont détectés défectueux.
Le résultat de ce test remet-il en question l’annonce de l’entreprise A ? Justifier.
On pourra s’aider d’un intervalle de fluctuation.
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Pondichéry 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 1 : corrigé
1) Soit tun réel positif. On sait que
P(X6t) = Zt
0
λe−λx dx =−e−λxt
0=−e−λt−−e0=1−e−λt,
et donc aussi
P(X>t) = 1−P(X6t) = 1−1−e−λt=e−λt.
Par suite,
P(X62) = 0, 15 ⇔1−e−2λ =0, 15 ⇔e−2λ =0, 85 ⇔−2λ =ln(0, 85)
⇔λ= − 1
2ln(0, 85).
λ= − 1
2ln(0, 85) = 0, 08 arrondi au centième.
2) a) P(X>3) = 1−P(X63) = e−0,081×3=e−0,243.
P(X>3) = e−0,243 =0, 78 arrondi au centième.
b) Soient tet hdeux réels positifs.
PX>t(X>t+h) = P((X>t)∩(X>t+h))
P(X>t)=P(X>t+h) P(X>t)
=e−λ(t+h)
e−λt =e−λt−λh+λt =e−λh
=P(X>h).
Pour tous réels positifs tet h,PX>t(X>t+h) = P(X>h).
c) La probabilité demandée est PX>3(X>3+2). D’après la question précédente
PX>3(X>3+2) = P(X>2) = e−0,081×2=e−0,162.
PX>3(X>3+2) = e−0,162 =0, 85 arrondi au centième.
d) On sait que l’espérance d’une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λest 1
λ.
Ici, E(X) = 1
0, 081 =12, 35 arrondi au centième.
E(X) = 1
0, 081 =12, 35 arrondi au centième.
Ceci signifie qu’en moyenne, un moteur a une durée de vie d’environ 12 ans et quatre mois.
3) Ici n=800. D’autre part, on suppose que p=0, 01. On note que n>30,np =8et n(1−p) = 792 et donc np >5
et n(1−p)>5.
L’intervalle de fluctuation au seuil 95% associé est
"p−1, 96pp(1−p)
√n, p +1, 96pp(1−p) √n#=0, 01 −1, 96√0, 01 ×0, 99 √800 , 0, 01 +1, 96√0, 01 ×0, 99 √800 .
En arrondissant à 10−3de manière à élargir un peu l’intervalle, on obtient l’intervalle [0, 003;0, 017].
La fréquence de moteurs défectueux dans l’échantillon est f=15
800 =0, 018 . . .
fn’appartient pas à l’intervalle de fluctuation et donc le résultat du test remet en question l’annonce de l’entreprise
A au risque de se tromper de 5%.
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