Fonction exponentielle

Fonction exponentielle
Chapitre 5
I.
La fonction exponentielle
Théorème 1 :
Existence
(admis)
On admet qu’il existe une fonction 𝑓 dérivable sur ℝ telle que ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑓(𝑥) et
𝑓 0 = 1.
Si une fonction 𝑓 dérivable sur ℝ vérifie 𝑓 ′ = 𝑓 et 𝑓 0 = 1 alors ∀𝑥 ∈ ℝ,
𝑓 𝑥 × 𝑓 −𝑥 = 1 et 𝑓(𝑥) ≠ 0.
Lemme :
Remarque : Un lemme est une propriété dont la démonstration est préliminaire à celle d’un théorème.
Théorème 2 : (𝑹𝑶𝑪)
Unicité
Il existe une unique fonction 𝑓 dérivable sur ℝ vérifiant ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑓(𝑥) et
𝑓 0 = 1.
Bilan :
Théorème – Définition
Il existe une unique fonction 𝑓 dérivable sur ℝ telle que 𝑓 ′ = 𝑓 et 𝑓 0 = 1.
Cette fonction est appelée fonction exponentielle et est notée 𝒆𝒙𝒑.
On a donc, ∀𝒙 ∈ ℝ, 𝒆𝒙𝒑′ 𝒙 = 𝒆𝒙𝒑(𝒙) et 𝒆𝒙𝒑 𝟎 = 𝟏 .
1
Remarque : On en déduit aussi que ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑒𝑥𝑝(𝑥) ≠ 0 et 𝑒𝑥𝑝 −𝑥 = 𝑒𝑥𝑝 (𝑥) .
II.
Propriétés de la fonction exponentielle
1. Propriétés algébriques
Propriété 2 :
Relation fonctionnelle
Pour tous réels 𝑥 et 𝑦, 𝒆𝒙𝒑 𝒙 + 𝒚 = 𝒆𝒙𝒑 𝒙 × 𝒆𝒙𝒑(𝒚) .
Vocabulaire :
On dit que la fonction exponentielle transforme une somme en un produit.
Propriété 3 :
Pour tous réels 𝑥 et 𝑦 et pour tout entier relatif 𝑛, on a :
𝟏
𝒆𝒙𝒑(𝒙)
𝒆𝒙𝒑 −𝒙 = 𝐞𝐱𝐩(𝒙) ; 𝒆𝒙𝒑 𝒙 − 𝒚 = 𝒆𝒙𝒑(𝒚)
Exemple :
Ecrire les expressions suivantes sous la forme d’une seule exponentielle(𝑥 ∈ ℝ).
1)
Propriété 4 :
; 𝒆𝒙𝒑 𝒏𝒙 = [𝒆𝒙𝒑 𝒙 ]𝒏 .
𝑒𝑥𝑝 (−3𝑥)×𝑒𝑥𝑝 (3𝑥+1)
𝑒𝑥𝑝 (2𝑥)
.
2)
1
exp 3𝑥
2
.
Signe de la fonction 𝑒𝑥𝑝
La fonction exponentielle est strictement positive sur ℝ.
Donc, pour tout 𝑥 ∈ ℝ, 𝑒𝑥𝑝(𝑥) > 0.
pl
2. Notation 𝑒 𝑥
D’après la Propriété 3, ∀𝑥 ∈ ℝ et ∀𝑛 ∈ ℤ, 𝑒𝑥𝑝 𝑛𝑥 = [𝑒𝑥𝑝 𝑥 ]𝑛 .
Donc, en particulier, pour 𝑥 = 1, on a : ∀𝑛 ∈ ℤ, 𝑒𝑥𝑝 𝑛 = [𝑒𝑥𝑝 1 ]𝑛 .
On note 𝒆 = 𝒆𝒙𝒑(𝟏) . On a ainsi 𝑒𝑥𝑝 𝑛 = 𝑒 𝑛 , ∀𝑛 ∈ ℤ.
Définition :
Par convention et par extension à tous les nombres réels, on convient de noter
que 𝒆𝒙𝒑 𝒙 = 𝒆𝒙 , ∀𝒙 ∈ ℝ.
On lit « exponentielle 𝑥 » ou « 𝑒 exposant 𝑥 ».
Remarque : La calculatrice donne 𝑒 ≈ 2,718 …
Cette notation est due au mathématicien suisse Leonhard Euler (1707 − 1783) en 1728. On lui doit
également la généralisation de la notation 𝜋 pour désigner le rapport de la circonférence au diamètre et
il introduit la lettre 𝑖 en remplacement de −1 (voir plus tard dans l’année…)
Cette nouvelle notation permet de simplifier les écritures et on a alors :
Pour tous réels 𝑥 et 𝑦 et pour tout entier relatif 𝑛 :
Propriétés :
1
𝑒 0 = 1 ; 𝑒 1 = 𝑒 ; 𝑒 𝑥 > 0 ; 𝑒 −𝑥 = 𝑒 𝑥 ; 𝑒 𝑥+𝑦 = 𝑒 𝑥 × 𝑒 𝑦 ;
𝑒𝑥
𝑒 𝑥−𝑦 = 𝑒 𝑦
; 𝑒 𝑛𝑥 = (𝑒 𝑥 )𝑛 .
Exemples :
1) 𝑎 désigne un nombre réel. Dans chaque cas, écrire l’expression avec
l’exponentielle d’un seul nombre.
a) 𝑒 2𝑎 × (𝑒 −𝑎 )3
b)
𝑒 2𝑎 +1
𝑒 2−𝑎
c)
𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥
𝑒×𝑒 2𝑎
𝑒 𝑎 +1
𝑒 2𝑥 −1
2) Démontrer que pour tout réel , 𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 = 𝑒 2𝑥 +1 .
Objectif :
III.
Je dois :
 Savoir utiliser la relation fonctionnelle pour transformer une écriture.
Etude de la fonction exponentielle
1. Sens de variation de la fonction exponentielle
Propriété 5 :
Conséquence :
La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.
Résolution d’équations et d’inéquations avec des
Exponentielles
Pour tous nombres 𝑎 et 𝑏 réels : 𝒆𝒂 = 𝒆𝒃 ⟺ 𝒂 = 𝒃 et 𝒆𝒂 < 𝒆𝒃 ⟺ 𝒂 < 𝑏
Remarque : L’équation 𝑒 𝑥 = 𝑎 et l’inéquation 𝑒 𝑥 ≤ 𝑎 où 𝑎 ≤ 0 n’ont pas de solutions dans ℝ
puisque ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑒 𝑥 > 0.
L’inéquation 𝑒 𝑥 > 𝑎 où 𝑎 ≤ 0 admet tous les réels comme solutions.
Exemples : Résoudre dans ℝ l’inéquation 𝑒 3𝑥+1 ≤ 𝑒 1−2𝑥 et les équations 𝑒 𝑥² = 𝑒 𝑥−1 puis
𝑒 2𝑥 + 3𝑒 𝑥 − 4 = 0.
pl
2. Limite à l’infini
𝐥𝐢𝐦 𝒆𝒙 = +∞
Propriété 6 : (𝑹𝑶𝑪)
𝒙→+∞
Conséquence graphique :
𝐥𝐢𝐦 𝒆𝒙 = 𝟎
𝒙→−∞
On en déduit que la droite d’équation 𝑦 = 0 est asymptote
horizontale à la courbe représentative de la fonction exponentielle
en +∞.
𝑥 −1
Exemple :
Calculer la limite en +∞ des fonctions 𝑓 et 𝑔 telles que 𝑓 𝑥 = 𝑒 −3𝑥+1 et 𝑔 𝑥 = 𝑒 𝑥 +1
3. Tableau de variation et courbe représentative de la fonction exponentielle
On peut résumer tous les résultats précédents dans le tableau de variation de la fonction exponentielle
et sur la courbe représentative de la fonction exponentielle.
Les droites 𝑇 et (𝑇 ′ ) d’équations respectives
𝑦 = 𝑥 + 1 et 𝑦 = 𝑒𝑥 sont les tangentes à la courbe
représentative (𝐶𝑓 ) de la fonction exponentielle aux
points d’abscisses 0 et 1.
4. Autres limites
Propriété 7 :
𝒆𝒙 − 𝟏
=𝟏
𝒙→𝟎
𝒙
𝐥𝐢𝐦
pl
Propriété 8 :
Croissance comparée
𝒆𝒙
𝐥𝐢𝐦
= +∞
𝒙→+∞ 𝒙
𝐥𝐢𝐦 𝒙𝒆𝒙 = 𝟎
𝒙→−∞
Remarque : On dit qu’à l’infini, l’exponentielle 𝑒 𝑥 l’emporte sur 𝑥. On parle alors de croissance
comparée.
Exemples :
1) Calculer les limites en −∞ et en +∞ de la fonction 𝑓 définie sur ℝ par
𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 − 𝑥 + 1.
𝑒𝑥
2) Calculer la limite en +∞ de la fonction 𝑔 définie sur ]1; +∞[ par 𝑥 = 𝑥−1 .
Objectifs : Je dois :
 Connaitre le sens de variation et la représentation graphique de la fonction
exponentielle ;
𝑒𝑥
lim 𝑥𝑒 𝑥 = 0 .
 Connaitre et exploiter
lim
= +∞ et
𝑥→−∞
𝑥→+∞ 𝑥
IV.
Fonctions de type 𝒙 ⟼ 𝒆𝒖(𝒙)
On considère 𝑢 une fonction définie sur un intervalle 𝐼. La fonction 𝑥 ⟼ 𝑒𝑥𝑝⁡
(𝑢 𝑥 ) est définie sur 𝐼 et est
𝒖
notée 𝒆 .
On a la décomposition suivante :
𝑥 ⟼ 𝑢(𝑥) ⟼ 𝑒 𝑢 (𝑥) .
Si 𝑢 une fonction dérivable sur un intervalle 𝐼 alors la fonction 𝑒 𝑢 est dérivable sur 𝐼 et
Propriété 9 :
𝒆𝒖
(admise)
Conséquence :
Exemples :
′
= 𝒖′𝒆𝒖 .
Les fonctions 𝒖 et 𝒆𝒖 ont le même sens de variation sur 𝑰.
En effet, ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑒 𝑢 (𝑥) > 0 donc 𝑢′ (𝑥)𝑒 𝑢(𝑥) et 𝑢′ (𝑥) ont le même signe donc u et eu
ont le même sens de variation sur I.
On considère les fonctions 𝑓, 𝑔 et 𝑕 suivantes définies par 𝑓 𝑥 = 𝑒 2𝑥
2 −3𝑥+1
,𝑥 ∈ ℝ ,
1
𝑥
𝑔 𝑥 = 𝑒 , 𝑥 > 0 et 𝑕 𝑥 = 𝑒 sin 𝑥 , 𝑥 ∈ ℝ.
Après avoir justifié la dérivabilité des fonctions, déterminer 𝑓 ′ 𝑥 , 𝑔′ (𝑥) et 𝑕′ (𝑥).
pl