Fonction exponentielle
Chapitre 5 Fonction exponentielle
I. La fonction exponentielle
Théorème 1
:
Existence
On admet qu’il existe une fonction dérivable sur telle que ,=() et
0= 1.
Lemme
: Si une fonction dérivable sur vérifie = et 0= 1 alors ,
×= 1 et ()0.
Remarque
: Un lemme est une propriété dont la démonstration est préliminaire à celle d’un théorème.
Théorème 2
: ()
Unicité
Il existe une unique fonction dérivable sur vérifiant ,=() et
0= 1.
Bilan
:
Théorème – Définition
Il existe une unique fonction dérivable sur telle que = et 0= 1.
Cette fonction est appelée fonction exponentielle et est notée .
On a donc, ,=() et =.
Remarque
: On en déduit aussi que ,()0 et =1
() .
II. Propriétés de la fonction exponentielle
1. Propriétés algébriques
Propriété 2
:
Relation fonctionnelle
Pour tous réels et , +=×().
Vocabulaire
: On dit que la fonction exponentielle transforme une somme en un produit.
Propriété 3
: Pour tous réels et et pour tout entier relatif , on a :
=
() ; =()
() ; = [] .
Exemple
: Ecrire les expressions suivantes sous la forme d’une seule exponentielle( ).
1) (3)×(3+1)
(2) . 2) 1
exp 32 .
Propriété 4
:
Signe de la fonction
La fonction exponentielle est strictement positive sur .
Donc, pour tout ,() > 0. pl
(admis)
2. Notation
D’après la
Propriété 3
, et , = [] .
Donc, en particulier, pour = 1, on a : , = [1].
Définition
: On note =(). On a ainsi = , .
Par convention et par extension à tous les nombres réels, on convient de noter
que =, .
On lit « exponentielle » ou « exposant ».
Remarque
: La calculatrice donne 2,718
Cette notation est due au mathématicien suisse Leonhard Euler (1707 1783) en 1728. On lui doit
également la généralisation de la notation pour désigner le rapport de la circonférence au diamètre et
il introduit la lettre en remplacement de 1 (voir plus tard dans l’année…)
Cette nouvelle notation permet de simplifier les écritures et on a alors :
Propriétés
: Pour tous réels et et pour tout entier relatif :
0= 1 ; 1= ; > 0 ; =1
; +=× ;
=
; = () .
Exemples
: 1) désigne un nombre réel. Dans chaque cas, écrire l’expression avec
l’exponentielle d’un seul nombre.
a) 2× ()3 b) 2+1
2 c) ×2
+1
2) Démontrer que pour tout réel ,
+ =21
2+1 .
Objectif
: Je dois :
Savoir utiliser la relation fonctionnelle pour transformer une écriture.
III. Etude de la fonction exponentielle
1. Sens de variation de la fonction exponentielle
Propriété 5
: La fonction exponentielle est strictement croissante sur .
Conséquence
:
Résolution d’équations et d’inéquations avec des
Exponentielles
Pour tous nombres et réels : = = et < <
Remarque
: L’équation = et l’inéquation où 0 n’ont pas de solutions dans
puisque ,> 0.
L’inéquation > où 0 admet tous les réels comme solutions.
Exemples
: Résoudre dans l’inéquation 3+1 12 et les équations ²=1 puis
2+ 34 = 0. pl
2. Limite à l’infini
Propriété 6
: ()
Conséquence graphique
: On en déduit que la droite d’équation = 0 est asymptote
horizontale à la courbe représentative de la fonction exponentielle
en +.
Exemple
: Calculer la limite en + des fonctions et telles que =3+1 et =1
+1
3. Tableau de variation et courbe représentative de la fonction exponentielle
On peut résumer tous les résultats précédents dans le tableau de variation de la fonction exponentielle
et sur la courbe représentative de la fonction exponentielle.
4. Autres limites
Propriété 7
:
pl
+= +
=
Les droites et () d’équations respectives
=+ 1 et = sont les tangentes à la courbe
représentative () de la fonction exponentielle aux
points d’abscisses 0 et 1.
=
Propriété 8
:
Croissance comparée
Remarque
: On dit qu’à l’infini, l’exponentielle l’emporte sur . On parle alors de croissance
comparée.
Exemples
: 1) Calculer les limites en et en + de la fonction définie sur par
= + 1.
2) Calculer la limite en + de la fonction définie sur ]1; +[ par =
1 .
Objectifs
: Je dois :
Connaitre le sens de variation et la représentation graphique de la fonction
exponentielle ;
Connaitre et exploiter et .
IV. Fonctions de type ()
On considère une fonction définie sur un intervalle . La fonction () est définie sur et est
notée .
On a la décomposition suivante : () ().
Propriété 9
: Si une fonction dérivable sur un intervalle alors la fonction est dérivable sur et
=.
Conséquence
: Les fonctions et ont le même sens de variation sur .
En effet, ,()> 0 donc ()() et () ont le même signe donc u et eu
ont le même sens de variation sur I.
Exemples
: On considère les fonctions , et suivantes définies par =223+1, ,
=1
, > 0 et =sin , .
Après avoir justifié la dérivabilité des fonctions, déterminer ,() et ().
pl
+
= +
=
(admise)
lim
+
= +
lim
= 0
1
/
4
100%
