TD 09 Lois de Coulomb

TD 09
Lois du frottement solide
3. Mouvement "fixe-glisse"
1. Monter sur une échelle
On modélise une échelle par une tige homogène de longueur ℓ, de centre d’inertie
G et de masse me . Elle est contenue dans le plan (xOz), où elle repose au point
A sur le sol horizontal (Ox) et au point B sur le mur vertical (Oz). On note θ
l’angle qu’elle fait avec le sol.
On considère que le contact avec le mur se fait sans frottement et que le contact
avec le sol est caractérisé par un coefficient de frottement f constant.
Une personne, modélisée par un point matériel M , de masse m, monte sur
l’échelle.
À quelle condition sur θ la personne arrive-t-elle en haut de l’échelle sans que
celle-ci ne glisse sur le sol ? Comment vaut-il mieux placer l’échelle pour que ceci
puisse être possible ?
2. Déménageur
Un déménageur cherche à déplacer un carton de masse M en exerçant sur celui→
−
ci une force F = F~ex , pour maintenir le carton à une vitesse de translation
constante. On note fs le coefficient de frottement statique du carton sur le sol
et fd le coefficient de frottement dynamique.
1. Exprimer la condition sur la force de poussée assurant la mise en mouvement
du carton. Commenter.
2. Le bloc glisse sans pivoter sur le sol.
(a) Exprimer la puissance des actions de contact entre le carton et le sol.
(b) Un opérateur fournit un travail musculaire Wop pendant un temps ∆t
pour amener le bloc en translation d’une vitesse initiale nulle à une vitesse
V0 . Montrer que, pour un temps ∆t donné, le travail à fournir par l’opérateur est d’autant plus élevé que le bloc est lourd, que le coefficient de
frottement dynamique fd est élevé et que V0 est grand.
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Un bloc de masse M est posé sur une table horizontale. Le contact entre la table
et le bloc est caractérisé par un coefficient de frottement dynamique fd et un
coefficient de frottement statique fs . Un ressort de longueur au repos ℓ0 et de
raideur k est relié au bloc. Initialement, le bloc est immobile et le ressort est
immobile. À partir de l’instant t = 0, on tire sur l’extrémité libre du ressort A de
manière à la déplacer avec une vitesse constante ~u = u~ex (u > 0). On appelle
X(t) l’allongement du ressort.
1. Montrer que dans une première phase le bloc est fixe. Exprimer la date t1 à
laquelle il est mis en mouvement.
2. On s’intéresse à la deuxième phase pendant laquelle le bloc est en mouvement.
Trouver l’équation différentielle vérifiée par X(t) au cours de cette phase. Que
valent X(t1 ) et Ẋ(t1 ) ?
Exprimer X(t).
3. On appelle t2 l’instant pour lequel la vitesse du bloc s’annule pour la première
fois depuis t1 . Que vaut Ẋ(t2 ) ? Sans chercher à calculer l’instant t2 , montrer
que
Mg
X(t2 ) = (2fs − fd )
k
.
4. On suppose qu’à l’instant t2 le bloc s’immobilise. Exprimer la durée pendant
laquelle il reste immobile.
5. Tracer l’allure des courbes X(t) et xB (t). Que se passe-t-il si k → ∞ ? si
fs = fd ?
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4. Une assiette sur un guéridon
Sur le guéridon de la figure suivante, recouvert d’une nappe sans ourlet, on place
une assiette bien remplie. D’un geste brusque, on tire la nappe. L’assiette reste
en place sur le guéridon et l’assistance applaudit ...
valeur de α. Le déplacement de l’assiette est-il effectivement négligeable ?
L’expérience peut-elle être conduite avec succès par un enfant ?
Une modélisation plus réaliste
En réalité, la dynamique de l’assiette comprend deux phases ; dans la première
phase, de durée t1 , l’intensité de la force de frottement est inférieure à la valeur
f M g donnée par la loi de Coulomb, l’assiette ne glisse pas sur la nappe et donc
xa = xn .
La masse de l’assiette est M = 400 g, celle de la nappe est m = 50 g. Le
guéridon est modélisé par un disque de centre O et de rayon R = 25 cm. Il est
recouvert d’une nappe de même dimension et d’épaisseur négligeable. L’assiette
circulaire, de rayon r = 5 cm, est placée au centre de la nappe. On admet que le
→
−
support de la force F développée par l’expérimentateur pendant qu’il tire sur la
→
−
nappe passe par O et que cette force s’écrit, en fonction du temps F = mαt~ux ,
où ~ux est le vecteur unitaire de l’axe (Ox), et α une constante positive.
Le frottement entre la nappe et le guéridon est négligeable. Le coefficient de frottement entre la nappe et l’assiette est noté f et vaut f = 0, 2. Le repère d’espace
Rg (O, ~ux ) est supposé galiléen. On note g l’accélération de la pesanteur.
5. Pour 0 ≤ t ≤ t1 , intégrer l’équation fondamentale de la dynamique appliquée au système {nappe+assiette}. En appliquant l’équation fondamentale
de la dynamique à l’assiette seule, déterminer la composante tangentielle de
la nappe sur l’assiette. En déduire que la dure de la phase sans glissement est
f (M + m)g
.
t1 =
αm
6. Exprimer xa (t1 ), xn (t1 ),
dxa
dt
et
t=t1
dxn
dt
.
t=t1
Une première modélisation
1. On suppose que, tout le long de l’expérience, l’assiette glisse sur la nappe.
Quel est, à l’instant t = 0+ , le sens de la vitesse de glissement de l’assiette
par rapport à la nappe ?
2. Montrer que l’accélération de l’assiette est constante dans Rg et déterminer
l’équation horaire du mouvement de son centre Ca : xa (t)
3. Déterminer l’équation horaire du mouvement du centre Cn de la nappe xn (t).
4. On observe que le déplacement de l’assiette est négligeable et que la nappe
cesse d’être au contact de l’assiette après une durée τ = 0, 1 s ; calculer la
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7. Déterminer, pour t ≥ t1 , et sous la forme de polynômes de la variable (t − t1 ),
les équations horaires respectives du mouvement de Ca , xa = ϕ(t − t1 ) et de
Cn , xn = η(t − t1 ).
8. On observe que le contact nappe-assiette dure tc − t1 = 0, 1 s. Calculer la
valeur de α : on devrait arriver à l’équation α(t − t1 )3 = 6(R + r).
Calculer aussi t1 .
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⋆ Problèmes ouverts
Éléments de réponse
5. Mme Langet skie en famille
1.
2.
Mme Langet descend une piste à ski, selon la ligne
de plus grande pente. Modéliser son mouvement.
Sa fille de 8 ans descend la piste à ses côtés. Restet-elle à la même hauteur ?
3.
6. Tas de sable et dunes
Sur les deux photos suivantes, on peut voir un angle à peu près identique pour
la pente d’une dune et celle d’un tas de sable. Discuter.
4.
5.
me
+m
tan θ > 2
f (me + m)
R ∆t
→ −
−
→
F = fs M g ; P = R T · V g ; Wop = M gfd 0 Vg dt.
fs M g
t1 =
ku
fd M g (fs − fd )M g
u
X(t) =
+
cos(Ω(t − t1 )) + sin(Ω(t − t1 )), avec Ω =
k
k
Ω
r
k
.
M
Mg
La phase d’immobilité dure τ = 2(fs − fd )
.
ku
Si k → ∞, alors xB (t) → ut. Si fs = fd , il n’y a plus de phase d’immobilité
du bloc.
1
M
1
Première modélisation : xa (t) = f gt2 ; xn (t) = −
f gt2 + αt3 ; α =
2
2m
6
6(R + r) 3f M g
3
−3
+
= 2, 3.10 m · s .
τ3
mτ
On pourra prendre un coefficient de frottement ski/neige f = 0, 9, tenir
compte des frottements fluides linéaire, et établir l’ordre de grandeur de la
vitesse limite atteinte.
La fille de Mme Langet est plus légère donc la force motrice (poids) est
plus faible, mais elle est aussi plus petite, et offre donc moins de prise au
frottements de l’air . . .
Que dire d’un château de sable ?
6. La pente d’un tas de sable correspond à l’angle critique de déstabilisation du
contact entre les grains, lié à un coefficient de frottement, qui dépend plus de
la nature du sable que de la quantité mise en jeu.
Pour le sable mouillé, on en déduit que le coefficient de frottement est beaucoup plus grand que pour le sable sec.
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