Exercices : Mécanique

a) dans le référentiel fixe ;
b) dans le référentiel lié à l’oiseau.
MP 2016/2017
Exercices : Mécanique
M012 : Trajectoires d’un nageur
Un nageur plonge en A, avec l’intention de traverser une rivière de largeur d, animée d’un
courant de vitesse uniforme V.
a) Le nageur se propulse dans l’eau à la vitesse u,
perpendiculaire aux rives. Déterminer sa trajectoire
relativement aux rives, son point d’abordage et la durée
τ1 de la traversée.
y B
Mécanique du point – Cinématique
M004 : Etude du mouvement d’un point de la périphérie d’une roue de
bicyclette
On considère une roue de bicyclette, assimilable à un cercle de centre G et de rayon a, qui
roule sur une route horizontale Ox.
On se propose d’étudier le mouvement d’un point M situé sur la périphérie de la roue dans un
référentiel R lié au sol auquel on associe le repère (O, u x , uy ).
M
V
d
A
x
b) Le nageur désire en fait aborder au point B, situé sur
l’autre rive en regard du point A. Que doit-il faire pour
parcourir une trajectoire rectiligne en nageant à une
vitesse constante u ? Quelle est la durée τ2 de la
traversée ?
c) Le nageur, ne possédant aucune notion de cinématique, nage à la vitesse constante u, en
s’orientant instinctivement vers le point B. Dessiner approximativement la trajectoire dans le
cas où u >>V et dans le cas où u << V.
G
θ
uy
O
ux
I
On suppose qu’à l’instant initial, le point M est en O (θ = 0) et on admet que la roue roule
sans glisser sur la route ; la distance OI parcourue sur la route est alors à la longueur de l’arc
IM = a .
La rotation de la roue sera considéré uniforme aussi pourra-t-on écrire θ = ωt où ω est la
vitesse angulaire du point M de la roue.
1- Quelle est la nature de la trajectoire du point m dans le référentiel R’ lié à la roue
(G, u x , u y ).
2- Donner les équations paramétriques x(θ) et y(θ) de la trajectoire C du point M dans le
•
•
référentiel R. En déduire les expressions de x et y . Tracer enfin l’allure de la trajectoire C du
point M dans le référentiel R.
3- Dans le référentiel R lié au sol, exprimer la norme de la vitesse v en fonction de
θ
. En quels
2
points la vitesse est-elle nulle et en quels points est-elle maximale ?
M068 :Mouvement d’un ballon de rugby dans le référentiel terrestre non galiléen
Un terrain de rugby placé à la latitude λ = 45° est orienté Nord-Sud.
Un joueur tente une pénalité de 40 m, face aux poteaux. Le ballon part avec une vitesse dans la direction Nord –
Sud, en faisant un angle α = 45° avec l’horizontale avec v0 = 20 m.s-1.
On néglige la résistance de l’air ainsi que la rotation du ballon sur lui-même. Et on se propose de déterminer
l’influence du caractère non galiléen du référentiel terrestre sur le point de chute du ballon.
On choisira la base locale terrestre : Oz verticale ascendante ; Oy tangent au méridien et dirigé vers le Nord ; Ox
tangent au parallèle et dirigé vers l’Est.
1) Ecrire la deuxième loi de Newton dans le référentiel terrestre.
2) Intégrer le système d’équations une fois par rapport au temps. Justifier en calculant la vitesse angulaire de
rotation de la Terre autour de l’axe des Pôles que l’on peut considérer les termes en ωe comme infiniment petit
du premier ordre.
3) Montrer alors que les équations obtenues peuvent s’écrire sous la forme :
•
4- Calculer dans R les coordonnées cartésiennes du vecteur accélération du point M. Exprimer
l’accélération en fonction du vecteur unitaire u de GM .
Comparer les accélérations du point m calculées dans les deux référentiels R et R’.
x = −2ωe ( cos λ.z − sin λ.y )
•
y = v 0 .cos α
•
z = − g .t + v 0 .sin α
4) Calculer à l’aide des équations précédentes la déviation au point de chute en fonction de ωe, v0, α et λ.
Application numérique et conclusion.
M008 : Expérience de balistique
Un oiseau se trouve sur une branche d’arbre, à une hauteur H du niveau du sol. Un chasseur se
trouve sur le sol à une distance D du pied de l’arbre. Il vise l’oiseau et tire. Au moment du
coup de feu, l’oiseau, voyant la balle sortir du canon, prend peur et se laisse instantanément
tomber en chute libre. A chaque instant, l’accélération de la balle et de l’oiseau dans le
référentiel terrestre fixe est g . L’oiseau est-il touché ?
L’étude sera faite :
MECANIQUE
Mécanique du point – Dynamique et énergie
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g = 9,8 m.s-2.
5) Lors de la première Guerre Mondiale, à la bataille de Falkland, les anglais constatèrent que tous leurs obus
arrivaient une centaine de mètres à gauche de leur cible.
Sachant que les canons avaient été réglés en Angleterre (latitude 50° Nord) pour corriger l’action de la force de
Coriolis et que les Iles Falkland sont situées dans l’hémisphhère Sud (latitude 50), expliquer ce problème de
balistique.
MECANIQUE
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M024 :Le pendule de Foucault
M046 : Etude du principe d'un sismographe
Un pendule simple, de longueur l, est écarté de sa position verticale d’équilibre AB0 ; la masse
oscillante B est abandonnée sans vitesse initiale dans la position B1 de coordonnées (0, y0,z0)
par rapport au repère terrestre B0xyz (B0x tangente au parallèle de latitude λ, dirigée vers l’est,
B0y dans le plan méridien, dirigé vers le nord, B0z verticale ascendante). On tiendra compte de
la rotation uniforme de la terre autour de la ligne des pôles avec une vitesse angulaire :
ω = 7,3.10-5 rad.s-1
On posera a = ω.sinλ et b = g l (on fera l’approximation a << b).
1- Etablir deux équations différentielles qui lient les coordonnées x et y de B et leurs dérivées
temporelles.
2- Montrer que les équations du mouvement de B, pour de petites oscillations, s’écrivent :
x = y0.cos(bt).sin(at)
y = y0.cos(bt).cos(at)
Il est conseillé de poser Z = x + iy (avec i2 = -1).
3- En déduire la durée d’une révolution complète du plan d’oscillation du pendule de Foucault,
en un lieu de latitude 30°.
On se propose d'étudier le principe simplifié d'un sismographe. Un oscillateur mécanique
élémentaire est constitué d'une masse cylindrique M suspendue à l'extrémité d'un ressort à
spires non jointives, de masse négligeable, de longueur à vide l0 et de constante de raideur k.
Cet oscillateur est muni d'un dispositif amortisseur introduisant
une force proportionnelle à la vitesse et opposée à celle-ci. Le
.•
z'
module de cette force vaut h z , h étant un coefficient constant,
O
y01
O1
On définit le paramètre σ, positif, en posant :
M
z
y
M026 : position d’équilibre d’un anneau sur une tige en rotation
z
( ∆)
ω0
A
α
Une tige (∆), dont la partie inférieure est fixée en O, tourne
autour de l’axe vertical Oz tel que (Oz, ∆) = α =constante, avec
une vitesse angulaire ω0 constante.
Un anneau A, de masse m, peut se déplacer sans frottement sur la
tige (∆) dans un champ de pesanteur g dirigé suivant l’axe Oz.
A l’instant t = 0, la masse m est lâchée sans vitesse initiale d’un
point A0 tel que OA0 = r0.
1- Faire le bilan des forces s’exerçant sur A.
O
2- En déduire l’équation différentielle
mouvement de l’anneau A .
en r = OA décrivant le
zz' la verticale descendante et z l'écart du centre de masse de
M par rapport à sa position d'équilibre.
1- Quelle est l'équation différentielle du mouvement de la masse M en faisant référence à la
côte z sur l'axe z'O1z lié au boîtier?
2- On considère le régime permanent forcé; On cherche des solutions de l'équation différentielle
établie ci-dessus sous la forme :
z = Zm.cos(Ωt - ϕ)
a) Quelle relation existe -t-il entre Zm et ym ?
b) Donner l'expression de Ω en fonction de ω0 et de σ, dans le cas où l'on a Zm = ym. Quelle
condition doit respecter σ ?
M126 :Tige en rotation
M038 : position d’équilibre d’un anneau sur une tige en rotation
Une tige AB, homogène, de longueur 2 et de masse m, est mise en
rotation par le guide horizontal (Ox) qui tourne autour de l’axe
vertical (Oz) à la vitesse angulaire constante Q. L’extrémité A glisse
sans frottement sur (Oz) et l’extrémité B sur (Ox) sans frottement.
On pose α = ( AO, AB ) et on note J son moment d’inertie par rapport
1- Etudier l’équilibre relatif de la masse m.
2- Quelle est la nature des petits mouvements autour de cette position d’équilibre (lorsqu’elle
existe) ?
MECANIQUE
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où ω0
est la pulsation de l'oscillateur.
L'ensemble est placé dans une enceinte fermée, animée d'un
mouvement vibratoire; le point O1 est ainsi animé d'un
mouvement vertical imposé et repéré par rapport à un
observateur extérieur à l'enceinte à partir de la position O de
référence :
y01 = ym.cos(Ωt)
3- Intégrer cette équation différentielle et discuter des positions d’équilibre de A.
Reprendre l’exercice M026.
L’anneau A, de masse m, peut se déplacer sans frottement sur la tige (∆) dans un champ de
pesanteur g dirigé suivant l’axe Oz. Il est rappelé par un ressort, de raideur k et de longueur à
vide l0, dont l’autre extrémité est fixée au point O. On supposera l0 > mg/k.
h
= 2σω0 ,
M
à un axe horizontal passant par G et JA = J + m 2 son moment
d’inertie par rapport à un axe horizontal passant par A.
1. Déterminer l’expression de l’énergie potentielle Ep(α) de la tige
dans le référentiel R’ tournant avec l’axe (Ox) autour de l’axe
(Oz).
2. En déduire les positions d’équilibre de la tige dans R’ et discuter
de leurs stabilités.
3. Montrer que la pulsation ω des petites oscillations autour d’une position d’équilibre stable
est donnée par :
MECANIQUE
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vitesse angulaire.
Lois du frottement solide
M106 : Intérêt d'un levier « pied de biche »
Un levier « pied de biche » est coudé à 90° au point O ; afin
d'arracher un clou, on exerce en B une force F perpendiculaire à
OB et d'intensité F = 200 N .
Données : OB = 70 cm ; OA =10 cm ; l'angle entre OB et le
plan d'appui est α = 30 ° .
En déduire la force R normale au plan, exercée par le levier sur
le clou et la réaction R' du sol en O (le poids du levier est
négligé) ; commenter les résultats.
1) On ignore la possibilité de basculement. À quelle condition sur α y a-t-il glissement ?
2) À quelle condition sur α y a-t-il basculement sans glissement ?
3) En déduire la condition sur les dimensions du bloc telle que celui-ci glisse sans avoir
préalablement basculé quelle que soit la nature du contact envisagé. A.N.: µ = 0,5 .
M107 : Équilibre d'une échelle
Une échelle à l'équilibre posée sur un sol et appuyée contre un mur est
assimilée à une tige rigide homogène AB de longueur 2L = 4 m et de
masse m =15 kg . On prendra OB=3 m et g=10N/kg.
Déterminer les réactions du mur et du sol sur l'échelle en supposant qu'il
n'y a pas de frottement en B.
M130 :Comment tirer une nappe sans casser les
couverts ?
Sur un guéridon, recouvert d'une nappe de masse m, repose une
assiette bien remplie de masse M. D'un geste brusque, on tire la
nappe. La question est de savoir si l'assiette reste sur le guéridon.
Le guéridon est modélisé par un disque de centre O et de rayon
R. La nappe a les mêmes dimensions que le guéridon et une
épaisseur négligeable. L'assiette circulaire, de rayon r, est placée
au centre de la table. Un expérimentateur tire le bord de la nappe avec une force horizontale F
= m.α.t. ux , où α est une constante. Le frottement entre la nappe et le guéridon est pris nul, et
celui entre l'assiette et la nappe est noté f.
M113 : Changement de nature d'un mouvement
Une tige de masse m et de longueur 2L est appuyée en O sur un
clou. Son mouvement se fait dans un plan vertical et à l'instant t
= 0, elle est lâchée dans une position horizontale sans vitesse
initiale. Son centre de masse G est distant de a du point O et le
coefficient de frottement de la tige sur le clou est f .
a) Trouver N et T , composantes de la réaction du clou sur la
tige.
b) Trouver l'angle θgl, à partir duquel la tige glisse.
1) On suppose que, tout au long de l’expérience, l'assiette glisse par rapport à la nappe.
Montrer que ce n’est pas réeelement le cas au tout début du mouvement.
Quel est le signe de la vitesse de l'assiette par rapport à la nappe; en projection sur u x ?
ii
On donne le moment d'inertie de la tige par rapport à l'axe ∆ passant par O et perpendiculaire
au plan de la figure : J∆ = m (L2/3 + a2)
On rappelle la loi de Coulomb du frottement de glissement vue en SI :
— s'il y a effectivement glissement, alors la force de frottement de glissement T s'oppose au
glissement, et en norme T =k. N où k est le coefficient de frottement de glissement.
— s'il n'y a pas glissement, il peut y avoir soit équilibre, soit roulement ou pivotement
sans glissement, et alors en norme, T ≤ k. N .
ii
2) Calculer l'accélération du centre de masse de l'assiette x a et de celui de la nappe x n , dans le
référentiel de la pièce.
En déduire xa(t) et xn(t).
3) Jusqu'à quel temps τ a-t-on le contact entre la nappe et l'assiette ?
4) Lors d'un mouvement vif, on a au moins α = 2500 m.s-3. Essayer de justifier cet ordre de
grandeur.
Sachant que M = 400 g, m = 50 g, R = 25 cm, r = 5 cm, g = 9,8 m.s-2 et f = 0,2, où est
l'assiette quand le contact nappe-assiette cesse ? Conclusion.
Les expérimentations et leurs conséquences sont laissées sous votre entière responsabilité …
M128 : Bloc sur un plan incliné
Un bloc de masse M, de longueur (égale à sa largeur) et de hauteur h repose, comme
représenté ci-après, sur un plan initialement horizontal. On note µ le coefficient de frottement
entre le bloc et le plan, la nature du contact se caractérisant par µ ∈ [0,1] .
Un opérateur augmente progressivement la valeur de l'angle α que fait le plan avec l'horizontal.
On modélise le basculement éventuel du bloc par un pivotement sans glissement autour de la
génératrice de contact passant par I. On note alors J1 le moment d'inertie du bloc par rapport
à cet axe et ω = −ω.e z , son vecteur rotation instantanée autour de cet axe où ω > 0 est sa
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