Corrigé Séance 8 : Variables aléatoires continues

Math-F-105 S´ eance 8
Corrig´e S´eance 8 : Variables al´eatoires continues
Exercice 8.1
Consid´erons la figure suivante
1
2
3
1
4
1
2
3
4
11
12
On remarque que cette fonction est continue partout sauf aux points {1,2,3}o`u elle est continue `a droite
mais pas `a gauche. Rappelons la notation
f(a−) = lim
x→a,x<a f(x).
1. De fa¸con g´en´erale, P(X=i) = P(X≤i)−P(X < i) = F(i)−F(i−) pour i=1, 2 et 3. Ceci nous
donne donc
P(X= 1) = 1
2−1 4=1 4, P (X= 2) = 11 12 −3 4=1 6, P (X= 3) = 1 −11 12 =1 12.
On remarque que les trois points 1, 2 et 3 poss`edent des probabilit´es positives ; on en d´eduit donc
que la loi d´ecrite par la fonction de r´epartition F(·) n’est pas une loi absolument continue, car
sinon tout point aurait `a lui-mˆeme une probabilit´e nulle. Or, on n’a visiblement pas non plus une
loi discr`ete (pourquoi ?) ; il s’ensuit que la loi donn´ee par F(·) est une loi mixte, c’est-`a-dire une loi
continue presque partout, sauf en un nombre fini de points qu’on appelle alors “atomes”.
2. Pour calculer cette quantit´e il suffit de remarquer que
P1
2< X < 3 2=PX < 3 2−PX≤1 2=F3 2
−−F1
2=5 8−1 8=1 2.
De mani`ere g´en´erale, on vous demande de prouver (exercice facile) que pour toute variable al´eatoire X
de fonction de r´epartition FX(·) et pour tout a≤b, on a
P(a≤X≤b) = FX(b)−FX(a−).
Exercice 8.2
Notons dla distance entre le point d’impact de la fl´echette et le centre de la cible, et Xla variable
al´eatoire repr´esentant le gain du joueur. Il est clair que Xprend ses valeurs dans {0} ∪ [20,50]. Comme
`a l’exercice pr´ec´edent, Xsuit donc une loi mixte, qui est continue partout sauf en son unique atome (≡
point ayant une probabilit´e non nulle) qui est 0. On obtient comme fonction de r´epartition :
FX(x) =
0x < 0
1−p0≤x < 20
1−p+p302−(50−x)2
30220 ≤x < 50
1 50 ≤x.
Titulaire: F.T. Bruss Assistant: G. Van Bever

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L’esp´erance est donn´ee par (pour rappel, on int`egre xfX(x), o`u fX(x) est la fonction de densit´e de X,
c’est-`a-dire la d´eriv´ee de FX(x))
E(X) = 0 ×(1 −p) + Z50
20
xp(100 −2x)
900 dx =p 900(50x2−2 3x3)
50
20
= 30p,
et la variance par
Var(X) = E(X2)−((E(X))2= 950p−900p2= 50p(19 −18p).
Exercice 8.3
La densit´e de probabilit´e d’une loi uniforme doit ˆetre nulle en dehors de l’intervalle [a, b] et constante sur
cet intervalle ; elle s’´ecrit donc f(x) = c1{x∈[a,b]}. Pour trouver la constante c, il suffit de remarquer que
l’int´egrale de toute densit´e de probabilit´e doit valoir 1. En effet, l’int´egrale de la fonction de densit´e n’est
rien d’autre que la limx→∞ FX(x) = P[X < ∞] = 1. D`es lors, il est clair que c=1
b−a, ce qui donne donc
f(x) = 1
b−a1{x∈[a,b]}.
La fonction de r´epartition en un point xs’obtient simplement en int´egrant la densit´e de probabilit´e entre
−∞ et x. Il s’ensuit que
F(x) = 
0x<a
x−a
b−aa≤x<b
1b≤x.
Des calculs faciles livrent
E(X) = b+a
2,Var(X) = (b−a)2 12 ,
et
M(t) = etb −eta
t(b−a).
Exercice 8.4
Cet exercice peut se r´esoudre de deux mani`eres, l’une compliqu´ee et l’autre intuitive. La mani`ere com-
pliqu´ee sera esquiss´ee lors des s´eances, nous n’expliquerons ici que la version simple. Pour ce faire,
consid´erons l’illustration graphique suivante.
A
B
C
!"#$
100km
!"#$
25km
Etant donn´e que l’endroit de panne du bus est distribu´e uniform´ement sur l’intervalle [0,100], on remarque
que notre bus subira une panne dans chacune des sous-r´egions color´ees du graphe ci-dessus avec la mˆeme
probabilit´e, i.e. 1/4. De par la d´efinition du probl`eme, on sait ´egalement que lorsqu’il tombera en panne
dans la r´egion verte, il ira se faire secourir en A, lorsqu’il tombera en panne dans la r´egion rouge il se fera
aider en Bet lorsqu’il aura un probl`eme dans la r´egion bleue, ses sauveteurs se trouveront en C. Chacun
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de ces rectangles est de largeur 25, et la distance moyenne qu’il faudra parcourir pour atteindre le point
de ravitaillement depuis chacun de ces intervalles est de 0+25
2. Ainsi donc la distance moyenne parcourue
par le bus dans cette configuration est donn´ee par
E(X) = 12.51
4+ 12.51 4+ 12.51 4+ 12.51 4= 12.5.
Maintenant consid´erons la seconde configuration propos´ee dans l’´enonc´e.
A
B
C
!"#$
100km
!"#$
12.5km
Par un raisonnement similaire `a celui que nous avons (brillamment) d´ecrit ci-dessus, nous obtenons
E(X)=6×(6.251
8)+2×(18.751 8)=9.375.
Ainsi on voit que la seconde configuration est meilleure que la premi`ere. Toutefois, il est encore possible
de l’am´eliorer. A vous de trouver comment...
Exercice 8.5
1. La constante cs’obtient par le calcul suivant.
Z1
−1
c(1 −x2)dx = 1
⇔c(x−x3
3)
1
−1= 1
⇔c=3
4.
2. La fonction de r´epartition s’obtient en int´egrant la densit´e sur (−∞, x) :
F(x) = 
0 si x < −1
3
4(x−x3 3) + 1 2si −1≤x < 1
1 si 1 ≤x.
Exercice 8.6
a) Grˆace `a la fonction g´en´eratrice des moments MX(t), on obtient l’esp´erance et la variance de X, et `a
partir de ces valeurs-l`a on d´eduit l’esp´erance et la variance de Y. Ainsi, l’esp´erance de Xcorrespond
au premier moment de Xqui s’obtient en d´erivant MX(t) par rapport `a tet en posant t= 0. Ceci
livre que
E(X) = M0
X(0) = 0.
Pour ce qui est de la variance, on a
Var(X) = E(X2)−(E(X))2=M00
X(0) −0=1.
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Grˆace `a la lin´earit´e de l’esp´erance, il s’ensuit directement que
E(Y) = E(σX +µ) = σE(X) + µ=µ.
De mˆeme les propri´et´es de la variance nous donnent
Var(Y) = Var(σX +µ) = σ2Var(X) = σ2.
Finalement, en revenant `a la caract´erisation de Yen termes de X, la fonction g´en´eratrice de Y
s’obtient ais´ement sans devoir avoir recours `a des calculs d’int´egrales compliqu´es :
MY(t) = E(etY ) = E(etσX+tµ) = etµE(etσX ) = etµMX(σt) = etµ+t2σ2
2.
Un bon exercice (pas forc´ement simple) est de retrouver ces r´esultats en appliquant les d´efinitions de
ces quantit´es et en int´egrant directement la densit´e d’une loi normale de param`etres µet σ.
b) Comme ´enonc´e dans le rappel, si deux variables al´eatoires ont la mˆeme fonction g´en´eratrice des
moments, alors elles suivent la mˆeme distribution. Il suffit donc de montrer que
MaZ1+bZ2(t) = et(aµ1+bµ2)+ t2(a2σ2
1+b2σ2 2)
2.
Pour ce faire, remarquons tout d’abord que si Z1et Z2sont ind´ependants, il en va ´evidemment de
mˆeme pour eaZ1et ebZ2(pourquoi ?). Il s’ensuit que
MaZ1+bZ2(t) = E(etaZ1+tbZ2)
=E(etaZ1etbZ2)
=E(etaZ1)E(etbZ2)
=et(aµ1+bµ2)e
t2(a2σ2
1+b2σ2 2)
2,
ce qui ´etablit le r´esultat.
c) Comme Y=σX +µ, on a
Y4=σ4X4+ 4 µ σ3X3+ 6 µ2σ2X2+ 4 µ3σX +µ4.
D`es lors,
E(Y4) = σ4E(X4)+4µ σ3E(X3)+6µ2σ2E(X2)+4µ3σE(X) + µ4.
A l’aide de la fonction g´en´eratrice des moments, on retrouve facilement que E(Xi) = 0 pour tout i
impair. Par ailleurs, E(X2) = 1 et E(X4) = 3. Il en d´ecoule que
E(Y4)=3σ4+ 6 µ2σ2+µ4.
Exercice 8.7
a) Cette premi`ere affirmation est correcte car
P
V−µ < a=P(µ−a < V < µ +a)
=P(V < µ +a)−P(V≤µ−a)
=F(µ+a)−F(µ−a)
=F(µ+a)−(1 −F(µ+a))
= 2F(µ+a)−1.
Pourquoi ce r´esultat n’est-il pas valable de mani`ere g´en´erale ?
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b) Cette affirmation est fausse car la loi normale ne poss`ede pas d’atomes.
c) Cette affirmation est correcte ´etant donn´e que si Vest de loi normale de param`etres µet σ, on a que
V−µ
σsuit une loi normale centr´ee r´eduite qui elle est sym´etrique par rapport `a 0.
d) Cette derni`ere ´egalit´e n’est vraie que si µ= 0, c’est-`a-dire seulement dans le cas d’une loi normale
centr´ee.
Exercice 8.8
Consid´erons le graphique suivant dans lequel est illustr´ee la situation o`u un axe (en noir) s’ins`ere dans
un coussinet (en rouge).
X
Y
Soit Xle diam`etre ext´erieur des axes, et Yle diam`etre int´erieur des coussinets. On nous dit que
X∼ N (20,0.052), Y ∼ N (20,0.072),
et que Xet Ysont ind´ependants. Nous cherchons `a calculer P(X−Y > 0).Etant donn´e que la somme
de deux variables al´eatoires ind´ependantes de loi normale est encore une variable al´eatoire de loi normale,
nous cherchons donc
P(Z > 0) o`u Z∼ N (0,0.052+ 0.072),
On obtient alors
P(Z > 0) = 1/2
vu que Zest de loi normale centr´ee (et donc de loi sym´etrique autour de 0). Il y a donc une chance sur
deux que le m´ecanisme ait un probl`eme, et ce n’est pas en variant les variances que nous parviendrons `a
am´eliorer cette situation (pourquoi ?). C’est la raison pour laquelle dans la deuxi`eme partie de l’exercice,
on nous propose de changer les moyennes des variables al´eatoires initiales. Prenons donc
X∼ N (19.95,0.052),et Y∼ N (20.05,0.072),
et calculons
P(X > Y ) = P(Z > 0) o`u Z∼ N (−0.1,0.0862).
Comme pr´ec´edemment, cette derni`ere quantit´e s’obtient grˆace aux identit´es
P(Z > 0) = PZ+ 0.1
0.086 >0.1 0.086= 1 −0.877 = 0.123.
Petite question : que se passe-t-il si on change d’unit´es (par exemple on calcule la mˆeme probabilit´e avec
le diam`etre exprim´e en cm au lieu de mm) ?
Exercice 8.9
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