Corrigé de l`examen final.

Examen 2017 Alg`ebre Corrig´e
Exercice 1
1) Tout d’abord Unn’est pas vide. D’apr`es l’une des caract´erisations des sous-groupes, il est n´ecessaire
et suffisant de v´erifier que pour tout (a, b)∈Un×Unon a ab−1∈Un. Les ´el´ements aet bs’´ecrivent
a=e2iπk/n et b=e2iπ`/n avec ket `entiers compris entre 0 et n−1. Cela donne
ab−1=e2iπ(k−`)/n.
Or l’entier (k−`) est compris entre −(n−1) et n−1. On distingue deux sous-cas :
•si 0 ≤(k−`)≤n−1 alors c’est fini, on a bien un ´el´ement de Un.
•si −(n−1) ≤k−`≤ −1, alors on remarque que ab−1s’´ecrit e2iπ(k−`)/n =e2iπ(n+k−`)/n avec
n+k−`∈ {0, . . . , n −1}.
2) La d´efinition mˆeme de Unmontre que chacun de ses ´el´ements s’´ecrit e2iπ/nkavec k∈N. Donc Unest
un groupe engendr´e par e2iπ/n, et donc est cyclique.
3) Supposons Ud⊂Un. En particulier, e2iπ/d appartient `a Un. En ´elevant `a la puissance n, on trouve
e2iπn/d = 1. Il s’agit d’en d´eduire que n
dest entier. On peut y arriver en examinant parties r´eelle et
imaginaire de e2iπn/d, mais le moyen le plus efficace est clairement d’utiliser une formule d’Euler :
0 = e2iπn/d −1 = eiπn/d eiπn/d −e−iπn/d=eiπn/d2isin(πn/d)
Comme une exponentielle ne s’annule jamais, on voit que πn/d est un z´ero de sin, donc appartient `a πZ.
Supposons maintenant la r´eciproque, c’est-`a-dire que ddivise net ´ecrivons n=dm. On voit imm´ediatement
que tout ´el´ement de Ud, c’est-`a-dire de la forme e2iπk/d, avec k∈ {0,1, . . . , d −1}, s’´ecrit aussi e2iπmk/n
avec
mk ∈ {0, m, . . . , md −m}⊂{0,1, . . . , n −1}.
Donc Ud⊂Un. Autre argument plus rapide : soit z∈Ud, si bien que zd= 1. En ´elevant `a la puissance
m, on a 1 = zdm =zn, donc z∈Un.
Exercice 2
La formule P(x) = 0 s’´ecrit, apr`es multiplication par q3:
p3+ap2q+bpq2+cq3= 0
Ou encore p(p2+ap +bq2) = −cq3. Autrement dit, pdivise −cq3. Or pet qsont premiers entre eux. Cela
prouve que pdivise c.
De mˆeme, on a la formule p3=−q(ap2+bpq +cq2). Ainsi, qdivise p3. Comme pet qsont premiers
entre eux, on a forc´ement q=±1.
1

Exercice 3
1) En d´eveloppant par rapport `a la deuxi`eme colonne, on obtient
χA= det(A−XI) = 
−1−X0 1
4−2−X−2
−4 0 3 −X
= (−2−X)
−1−X1
−4 3 −X
=−(2 + X)[(−1−X)(3 −X) + 4] = −(2 + X)(X2−2X+ 1) = −(X+ 2)(X−1)2
2) D’apr`es la question pr´ec´edente, les valeurs propres de Asont −2,1,1.
3) Cherchons le sous-espace propre associ´e `a −2. On notera que comme −2 est une racine simple de χA, on
sait par avance que 1 ≤dim(ker(A+ 2I)) ≤1, c’est-`a-dire dim(ker(A+ 2I)) = 1. Or la matrice A+ 2I
a sa deuxi`eme colonne nulle. Cela signifie pr´ecis´ement que (0,1,0) est dans le noyau de ker(A+ 2I).
D’apr`es ce qui pr´ec`ede ker(A+ 2I) est la droite vectorielle engendr´ee par (0,1,0).
On aurait pu retrouver ce r´esultat en consid´erant (x, y, z) un vecteur propre associ´e `a −2, si bien que
l’on a 
−x+z=−2x
4x−2y−2z=−2y
−4x+ 3z=−2z
x+z= 0
4x−2z= 0
−4x+ 5z= 0
Or ce syst`eme donne x=z= 0. Autrement dit, seule la coordonn´ee ypeut varier et donc (x, y, z) est
bien colin´eaire `a (0,1,0).
Cherchons le sous-espace propre associ´e `a 1. Soit (x, y, z) un vecteur propre associ´e `a 1, si bien que
−x+z=x
4x−2y−2z=y
−4x+ 3z=z
−2x+z= 0
4x−3y−2z= 0
−4x−2z= 0 −2x+z= 0
4x−3y−2z= 0 −2x+z= 0 y= 0
L’ensemble des solutions est l’intersection de deux plans vectoriels ind´ependants, c’est-`a-dire une droite
vectorielle. Pour trouver cette droite, il suffit d’en trouver un ´el´ement non nul. Posons x= 1, et donc
z= 2 et enfin y= 0. Enfin, ker(A−I) = Vect(1,0,2).
4) Comme la dimension du sous-espace propre associ´e `a 1 est <`a la multiplicit´e de (X−1) dans le polynˆome
caract´eristique, on peut conclure que An’est pas diagonalisable.
5) Le polynˆome minimal mAde Aest un polynˆome unitaire (i.e. son coefficient de plus haut degr´e est 1)
qui annule Amais tel qu’aucun de ses diviseurs stricts n’annule A. D’apr`es le cours, un tel polynˆome
existe et est unique. Une autre d´efinition serait de dire que mAest le polynˆome unitaire qui engendre
l’id´eal principal {P∈C[X], P (A)=0}de C[X].
6) D’apr`es le th´eor`eme de Cayley-Hamilton, on sait que χAannule A. Cherchons donc mAparmi les
diviseurs de χAc’est-`a-dire :
1, X + 2, X −1,(X+ 2)(X−1),(X−1)2,(X−1)2(X+ 2)
Le polynˆome 1 ne convient pas puisque 1(A) = In6= 0 (ici 1(A) d´esigne le polynˆome constant 1 ´evalu´e
en A). Ensuite, les polynˆomes X+ 2, X−1 et (X+ 2)(X−1) ne conviennent pas, car d’apr`es le cours,
An’est pas diagonalisable et donc mAn’est pas scind´e `a racines simples. D’apr`es le cours, toutes les
valeurs propres de Asont racines de mA. Cela ´elimine donc (X−1)2qui ne s’annule pas en −2. Le seul
polynˆome restant est donc mA= (X−1)2(X+ 2).
Exercice 4
1) La r`egle de Sarrus donne
det(M) = a3+bc2+b2c−3abc
2

2) On reconnaˆıt deux d´eterminants triangulaires inf´erieurs et sup´erieurs. Leurs valeurs sont ´egales au
produit de leurs ´el´ements diagonaux. Ainsi, det(M(−b)) = (a−b)3et det(M(−c)) = (a−c)3.
3) Rempla¸cant la ligne L2 par L2-L1, et L3 par L3-L1, on ne change pas la valeur du d´eterminant et
l’on a
det(M(t)) = 
a+t b +t b +t
c−a a −b0
c−a c −b a −b
En d´eveloppant par rapport `a la premi`ere ligne, il apparaˆıt que det(M(t)) est un polynˆome de degr´e
≤1 en t.
4) A l’aide des questions pr´ec´edentes, on a le syst`eme
(a−b)3=A−bB
(a−c)3=A−cB
Comme b6=c, cela donne par soustraction
(a−b)3−(a−c)3= (c−b)B
(a−b)3−(a−c)3
c−b=B
Ensuite, on trouve A:
c(a−b)3−b(a−c)3= (c−b)A
c(a−b)3−b(a−c)3
c−b=A
5) Evidemment det(M) = det(M(0)) = Adont la formule, en fonction de (a, b, c), est donn´ee ci-dessus.
Exercice 5
1) Une matrice Atrigonalisable sur Rest une matrice semblable `a une matrice triangulaire sup´erieure
`a coefficients r´eels, c’est-`a-dire qui s’´ecrit A=PTP−1avec P∈GLn(R) et T∈Mn(R) triangulaire
sup´erieure.
2) Avec l’´ecriture pr´ec´edente, on a A2+A+I=PTP−1PTP−1+PTP−1+I=P(T2+T+I)P−1.
Comme Test triangulaire sup´erieure, il en est de mˆeme de T2+T+I. Les ´el´ements diagonaux sont
alors λ2
k+λk+ 1.
3) On a
x2+x+ 1 −3
4=x2+x+1 4= (x+1 2)2≥0
Le cas d’´egalit´e se produit seulement si x=−1
2.
4) La trace est la somme des valeurs propres. Donc
tr(A2+A+I) =
n
X
k=1
λ2
k+λk+ 1 ≥
n
X
k=1
3
4≥3n 4.
5) La matrice A=−1
2Inconvient trivialement.
3