Mécanique Rationnelle II

FACULTE POLYTECHNIQUE DE MONS
Service de M´ecanique Rationnelle,
Dynamique et Vibrations
Notes de cours `a l’intention
des ´etudiants de 2eBachelier
M´ ecanique Rationnelle II
— Notes de cours —
Prof. Calogero CONTI, Prof. Serge BOUCHER
Septembre 2007

Table des mati`eres
1 Grandeurs cin´etiques 1
1.1 D´efinition des grandeurs cin´etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Le torseur des r´eactions d’inertie ~ R(−ma),~ M(−ma)O. . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Le torseur des quantit´es de mouvement ~ P,~ LO. . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 L’´energie cin´etique T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Th´eor`emes g´en´eraux de la cin´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Relation entre la r´esultante des r´eactions d’inertie et la r´esultante des
quantit´es de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Relation entre le moment des r´eactions d’inertie et le moment cin´etique . 6
1.2.3 Relation entre les r´esultantes des deux torseurs cin´etiques et le mouvement
du centre de gravit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Th´eor`eme de Ko¨enig - Mouvement d’un syst`eme m´ecanique autour de son centre
de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Expression des torseurs cin´etiques relatifs au centre de gravit´e G dans le
mouvement par rapport au rep`ere de Ko¨enig . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1.1 Torseur des quantit´es de mouvement au centre de gravit´e G/Sk8
1.3.1.2 Torseurs des r´eactions d’inertie au centre de gravit´e G/Sk. . . . 9
1.3.2 Th´eor`emes de Ko¨enig (ou th´eor`emes de transport) . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Propri´et´es d’inertie d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1 Tenseur d’inertie en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.2 Matrice d’inertie en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.3 Moments d’inertie par rapport `a une droite et produits d’inertie par rap-
port `a deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.4 Propri´et´es de variance tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.5 Inertie de solides `a masse r´epartie continue . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.6 Signification du moment d’inertie en relation avec la projection du moment
cin´etique sur l’axe de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.7 Rayon de giration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.8 Propri´et´es d’inertie centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
i

TABLE DES MATI` ERES ii
1.4.9 Tenseur d’inertie de solides homog`enes de forme g´eom´etrique simple . . . 16
1.4.9.1 Circonf´erence homog`ene, par rapport `a l’axe Oz passant par son
centre Oou coque cylindrique circulaire homog`ene, par rapport
`a son axe Oz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.9.2 Sph`ere homog`ene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.9.3 Parall´el´epip`ede rectangle, plaque plane et barre par rapport `a
des axes passant par leur centre de gravit´e Oet parall`eles aux
cˆot´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.9.4 Cylindre et disque par rapport `a leur axe Oz, et `a deux axes
perpendiculaires `a celui-ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.10 Transposition des propri´et´es d’inertie en un autre pˆole - Th´eor`eme des
axes parall`eles (ou th´eor`eme de Steiner) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.11 Transposition des propri´et´es d’inertie `a d’autres directions - Variance ten-
sorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5 Exercices `a r´esoudre sur la notion d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.1 Tenseur d’inertie d’un syst`eme disque + cylindre . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.2 Disque en rotation non align´e par rapport `a son axe . . . . . . . . . . . . 24
1.5.3 Axes principaux d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.3.1 Propri´et´es d’un axe principal central . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6 Solide dynamiquement de r´evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.7 Relation entre moments d’inertie m´ecanique et g´eom´etrique . . . . . . . . . . . . 28
1.8 Cas plan de la cin´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.9 M´ethodes de d´etermination du torseur des r´eactions d’inertie et de l’´energie
cin´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.9.1 R´esultante des r´eactions d’inertie ~ R(−m~a)S/s . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.9.2 Moment ~ M(−m~a)Odes r´eactions d’inertie au point O . . . . . . . . . . . . 30
1.9.2.1 D´erivation du moment cin´etique au mˆeme point O. . . . . . . . 31
1.9.2.2 En passant par le centre de gravit´e Get le th´eor`eme de Ko¨enig . 32
1.9.2.3 En passant par un autre point point P mieux adapt´e pour l’ex-
pression du moment des r´eactions d’inertie . . . . . . . . . . . . 33
1.9.3 Energie cin´etique T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.9.3.1 S’il existe un point O tel que sa vitesse instantan´ee soit nulle . . 33
1.9.3.2 M´ethode g´en´erale bas´ee sur le th´eor`eme de Ko¨enig . . . . . . . . 34
1.10 Cin´etique d’un solide en rotation autour d’un axe fixe . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.11 Tests de compr´ehension sur l’inertie et les grandeurs cin´etiques . . . . . . . . . . 37
1.11.1 Tige en rotation autour d’un axe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.11.2 Plaque tournant autour d’un axe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.11.3 Moto roulant sans glisser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Cours de M´ecanique Rationnelle II Prof. C. Conti, Prof. S. Boucher

TABLE DES MATI` ERES iii
1.12 Exercices `a r´esoudre sur les notions de grandeurs cin´etiques . . . . . . . . . . . . 40
1.12.1 Transmission par roues dent´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.12.2 Plaque en rotation - Conditions d’´equilibrage d’un solide en rotation au-
tour d’un axe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.12.3 Rotation autour d’un axe vertical, du bˆati d’une foreuse en fonctionnement
- Manifestation du couple gyroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2 Th´eor`emes g´en´eraux de la dynamique 42
2.1 Principe fondamental de la Dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.1 Principe fondamental en rep`ere galil´een . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.2 Principe fondamental en rep`ere non galil´een . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.1.3 Principe fondamental en rep`ere g´eocentrique . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1.4 Principe fondamental par rapport `a des axes li´es `a la terre . . . . . . . . . 50
2.1.4.1 Direction du vecteur ~g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.1.4.2 Grandeur du vecteur gravit´e ~g et de l’attraction terrestre ~ Hpar
unit´e de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.1.4.3 Diff´erence entre jour solaire et jour sid´eral . . . . . . . . . . . . 53
2.1.5 Exemple : masse ponctuelle glissant sans perte sur une tige horizontale
en rotation. R´esolution en appliquant le principe fondamental de la dyna-
mique - Equilibre des forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2 Principe de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2.1 Application du principe des puissances virtuelles . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2.1.1 Rappels de m´ecanique analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2.1.2 M´ethodologie d’application du principe des puissances virtuelles
- D´emonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2.2 Exemple : masse ponctuelle glissant sans perte sur une tige horizontale en
rotation - R´esolution par application du principe des puissances virtuelles 60
2.3 Conditions initiales - Etat dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.4 Th´eor`emes g´en´eraux de la Dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.4.1 Th´eor`eme de la quantit´e de mouvement et th´eor`eme du centre de masse . 62
2.4.1.1 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.4.2 Th´eor`eme du moment cin´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.4.2.1 Exemple - Equation du mouvement d’un solide en rotation per-
manente autour d’un axe fixe Oz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.4.3 Quelques corollaires et interpr´etation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.4.4 Exercices en application des th´eor`emes g´en´eraux de la dynamique . . . . 66
2.4.4.1 Mouvement d’une barque dont un passager se d´eplace . . . . . . 66
2.4.4.2 Mouvement d’un disque sur lequel se d´eplace un animal . . . . . 66
Cours de M´ecanique Rationnelle II Prof. C. Conti, Prof. S. Boucher

TABLE DES MATI` ERES iv
2.5 Th´eor`eme de l’´energie cin´etique (ou th´eor`eme des forces vives) . . . . . . . . . . 66
2.5.1 Expression du th´eor`eme de l’´energie cin´etique . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.5.2 Application du th´eor`eme de l’´energie cin´etique dans le cas d’un syst`eme
conservatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.5.2.1 Cas de liaisons sans perte et ind´ependantes du temps . . . . . . 69
2.5.2.2 Cas de forces appliqu´ees d´erivant d’une ´energie potentielle
ind´ependante du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.5.2.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.5.2.4 Formulation pour un syst`eme conservatif . . . . . . . . . . . . . 72
2.5.2.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.5.3 Exercice en application du th´eor`eme de l’´energie cin´etique . . . . . . . . . 74
2.5.3.1 Mouvement d’un motocycliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.5.4 Comparaison avec le premier principe de la Thermodynamique . . . . . . 74
2.6 Cas plan de la dynamique du solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.7 Invariance des th´eor`emes g´en´eraux et g´en´eralisation du th´eor`eme du moment
cin´etique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.8 Tests de compr´ehension sur les th´eor`emes g´en´eraux de la dynamique . . . . . . . 78
2.9 Exercices sur les th´eor`emes g´en´eraux de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.9.1 Poulie roulant sur un plan horizontal grˆace `a deux ergots . . . . . . . . . 81
2.9.2 Mouvement d’un syst`eme roue et tige glissant avec frottement . . . . . . 82
2.9.3 Mouvements d’un carrousel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.9.4 Appontage d’un avion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3 Vibrations des Syst`emes M´ecaniques `a un degr´e de libert´e 85
3.1 Mouvement libre d’un syst`eme `a 1 degr´e de libert´e . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.1.1 Equation diff´erentielle du mouvement libre d’un syst`eme `a 1 degr´e de libert´e 85
3.1.1.1 Mouvement horizontal d’une masse glissant sans perte soumise
`a des forces ´elastiques et d’amortissement . . . . . . . . . . . . . 85
3.1.1.2 Mouvement vertical d’une masse ponctuelle soumise `a des forces
´elastiques et d’amortissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.1.2 Rappels sur la r´esolution d’une ´equation diff´erentielle homog`ene `a coeffi-
cients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.1.3 Lois du mouvement libre d’un syst`eme lin´eaire vibrant amorti `a 1 degr´e
de libert´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.1.3.1 Cas d’un syst`eme non amorti ξ= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.1.3.2 Cas g´en´eral d’un syst`eme amorti ξ > 0 . . . . . . . . . . . . . . 90
3.1.3.3 Analyse d´etaill´ee de l’´evolution correspondant `a une loi du mou-
vement pseudo-p´eriodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
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