a et v - USTHB

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1
Définition:
La cinématique est une branche de la
mécanique qui étudie les mouvements
des corps dans l’espace en fonction du
temps indépendamment des causes qui
les provoquent.
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NOTION DE REPÈRE
Point matériel
Un point matériel est un objet infiniment petit devant les
distances caractéristiques du mouvement pour être
considéré comme ponctuel.
D
D
3
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NOTION DE REPÈRE
z
y
terre
soleil
x
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NOTION DE REPÈRE
Pour repérer la position d’un point matériel dans l’espace, on se
donne un repère d’espace, c’est-à-dire:
- un point O origine des coordonnées
- trois axes de coordonnées orientés et munis d’une unité de
mesure (par exemple le mètre)
Pour des raisons de commodité, on choisit un
repère orthonormé O, i , j , k direct


Un point M de l’espace est repéré par ses
coordonnées x, y et z tel que:
OM  xi  yj  zk
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NOTION DE MOUVEMENT
Un objet est mouvement par rapport à un autre si sa position
change au cours du temps
Un point M est dit fixe par rapport au repère R(O, x, y, z) si ses
coordonnées ne changent pas.
Le point M est en mouvement si au moins une de ses coordonnées
change dans le temps.
La notion de mouvement est relative.
En effet un point peut être en mouvement par rapport à un repère R
Et au repos par rapport à un second repère R’
6
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NOTION DE MOUVEMENT
On distingue essentiellement trois type de mouvements :
Translation
Rotation
Vibration
Ou une combinaison de deux de ces mouvements
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7
NOTION DE TRAJECTOIRE
Définition :
C’est le lieu géométrique des positions successives occupées
par le point matériel au cours du temps
Exemple :
un mobile est repéré par les coordonnées suivantes :
X (t) = A cos wt
Y (t) = A sin wt
En supprimant le temps, on obtient :
x 2  y 2  A2
La trajectoire est donc un cercle de centre O et de rayon A
L’équation de la trajectoire est une relation qui lie les coordonnées du
point entre elles
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8
MOUVEMENT RECTILIGNE
La trajectoire d’un mouvement rectiligne est une droite.
Vecteur position
C’est le vecteur OM  x (t )i qui désigne la distance qui sépare le mobile
M du point O pris comme origine.
M1
M3
M2
i
O OM1
OM2
OM3
x
x(t) est appelée équation horaire du mouvement
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Notion de diagramme des espaces
Si on reporte les positions successives du mobile en fonction du temps, on
obtient une courbe appelée : Diagramme des espaces
x(m)
+
+
+
+
t(s)
+
Remarque:
Il ne faut pas confondre trajectoire et diagramme des espaces
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10
Vecteur déplacement (m):
M1
M2
i
OM2
O OM1
x
OM
Le vecteur déplacement est la distance parcourue entre deux instants
M1M 2  OM  OM 2  OM1  ( x2  x1 )i
Vecteur vitesse (m/s):
Vecteur vitesse moyenne:
Si t  t 2  t1 est le temps mis entre M 1 et M 2 , la vitesse moyenne est :
vm 
M1M 2
OM 2  OM1
OM


ou encore
t
t
t2  t1
vm 
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x2  x1
x
i 
i
t2  t1
t
11
Vecteur vitesse instantanée:
Si on diminue l’intervalle de temps, on obtient la vitesse instantanée :
OM
d OM
v  vi  lim

ou
t  0
t
dt
Le terme v 
dx
dt
possède deux significations :
1- Si on a l’expression de x(t), alors
Exemple:
x
dx
v  vi  lim
i 
i
t  0 t
dt
dx
désigne la dérivée de x(t):
dt
x(t )  3x3  2 x 2  5
dx
v(t ) 
 9x2  4x
dt
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12
2- Si on a le graphe de x(t), alors
la courbe x(t)
dx
désigne la pente de la tangente à
dt
Exemple:
Problème !!!
x(m)
+
A
dx
AC
v
 tan  
dt
BC
+
+ 
+
C
B
t(s)
t
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13
+
On va donc calculer la vitesse instantanée à partir de la vitesse moyenne
Il y a deux cas ou la vitesse moyenne est confondue avec la vitesse moyenne
1er cas: Mouvement rectiligne uniforme:
x2
x(m)
x1
t1
t2
t(s)
x2  x1
x
vm 

t
t2  t1
 vm  v
x2  x1
dx
v
 tan  
dt
t2  t1
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14
2ème cas: mouvement rectiligne quelconque:
x(m)
v(t 
+
t1  t2
)  vm
2
vm1
vm 2  v
t2
vm 3  v
t1
+
vm2
vm3
+
+
t1
t3
vm 4  v
+
vm4
+
vm1  v
+
V(t)
+
t(s)
t5
t7
t
t8
t6
t4 t2
Conclusion :
La vitesse instantanée à l’instant t est assimilée à la vitesse moyenne
15
entre deux instants t1 et t2 tel que t est milieu de t1 et t2 avec t 
Vecteur accélération (m/s2):
Vecteur accélération moyenne:
M1
i
O
M2
v1
v2
x
OM2
OM1
v2  v1
v
am 

t
t2  t1
am et v Sont dans le même sens et direction
v2
v1
v1
Vecteur accélération instantanée:
v
dv

t 0 t
dt
a  ai  lim
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Comme pour la vitesse le terme a 
1- Si a l’expression de v(t), alors
Exemple:
dv
possède deux significations :
dt
dv
désigne la dérivée de v(t):
dt
x(t )  3x3  2 x 2  5
dx
v(t ) 
 9x2  4x
dt
dv d 2 x
a(t ) 
 2  18 x  4
dt dt
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2- Si a le graphe de v(t), alors
courbe v(t)
v(m/s)
B
dv
désigne la pente de la tangente à la
dt
A
C
t(s)
t
En procédant de la même façon que pour la vitesse on en déduit que:
Conclusion :
L’accélération instantanée à l’instant t est assimilée à l’accélération
moyenne entre deux instants t1 et t2 tel que t est milieu de t1 et t2 avec
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t 
18
Mouvement rectiligne uniforme :
v  cons tan te et
a 0
Mouvement rectiligne uniformément accéléré :
a  cons tan te et a.v 0
Mouvement rectiligne uniformément retardé ou décéléré :
a  cons tan te et a.v 0
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Exemple :
Soit une voiture se déplaçant sur une route rectiligne repérée par les
positions M1, M2, M3 et M4 aux instants t1= 0s, t2=2s , t3 = 4s et t4= 5s
respectivement tel que : OM1  12i , OM 2  10i , OM 3  2i et OM 4  2i
M1
M3
M2
OM1
i
OM2
M4
x
OM4 O OM3
1- Calculer les vecteurs déplacements : M1M 2 , M 2 M3 et M3M 4
M1M 2  OM 2  OM1  ( x2  x1 )i  (10  (12))i  2i
M 2 M3  OM3  OM 2  ( x3  x2 )i  (2  (10))i  12i
M3M 4  OM 4  OM3  ( x4  x3 )i  (2  (2))i  4i
2- Déterminer les vecteurs vitesses moyennes entre M1 et M2 et
entre M3 et M4
MM
(x  x )
4
MM
(x  x )
2
i  4i
vm  1 2  2 1 i 
i  i (m / s) vm 2  3 4  4 3 i 

t
(
t

t
)
(5

4)
t
(t2  t1 )
(2  0)
4
3
20
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(m / s )
3- Déterminer le vecteur accélération moyenne entre 2 et 6 s, v(2s) =
4m/s et v(6s) = 2 m/s
M1
M3
v (2s)
v (6s)
i
OM3
O OM1
v  v2 (6s)  v1 (2s)  v2 (6s)  (v1 (2 s))
am
v
x
v (6s)
v (2s)
am 
v (v2 (6 s)  v1 (2 s )) (2  4)


i  0.5i
t
(t2  t1 )
(6  2)
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(m / s 2 )
21
Calcul Intégral:
Jusqu’à présent on a vu comment passer de la position x(t) à la vitesse v(t)
puis à l’accélération a(t)
Nous maintenant étudier le problème inverse pour passer de l’accélération à
la vitesse puis à la position
Passage de la vitesse à la position:
1er Cas: Mouvement uniforme
v(m/s)
Dans ce cas:
v  vm 
x x2  x1

t
t 2 t1
Et donc:
t1
t2
x2  x1  v(t 2 t1 )
x2  v(t 2 t1 )  x1
t(s)
x  v(t 2 t1 ) correspond à l’aire sous la courbe v(t)
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22
2ème Cas général :
On partage l’intervalle entre t1 et t2 en plusieurs petits dt
v(m/s)
v=cte
v
dx
 dx  vdt = aire sous la courbe v(t) sur l’intervalle dt
dt
En faisant la somme des petits intervalles entre t1 et t2 :
x
x  x12 dx  t12 vdt alors:
x
t1
dt
t2
t
x2  t12 vdt  x1
t
t(s)
x est donc l’aire sous la courbe v(t) entre t1 et t2.
Remarque : Il ne faut pas confondre entre position et distance parcourue
-La position est l’aire sous v(t) en valeur algébrique
-La distance parcourue est l’aire sous v(t) en valeur absolue
23
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Exemple:
v(m/s)
1-position du mobile à t = 40 s
2-distance parcourue entre 0 et 40 s
t=0 s, x = 0 m
10
20
40
-10
t(s)
1- position du mobile:
x  0 dx  0 vdt  10(20  0) 10(40  20)  0m  x(40s)  0m
x
40
2- distance parcourue par le mobile:
D  x1  x2  10(20  0)  10(40  20)  40m
24
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Passage de l’accélération à la vitesse:
a(m / s 2 )
On partage en plusieurs intervalle dt
a
a=cte
dv
 dv  adt
dt
v
t1
dt
v  v12 dv  t12 adt
v
t
t2 t(s)
v est donc l’aire sous la courbe a(t) entre t1 et t2.
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25
Étude de quelques mouvements particuliers
Mouvement rectiligne uniforme:
a(m / s 2 )
v  aire sous a(t )  0  v  v0
a
t (s)
a  0  v(t )   adt cons tan te  v0
v( m / s )
v  v0  cons tan te
v0
t (s)
v
x(m)
x  aire sous v(t )  v0t  x  v0t  x0
x0
t (s)
dv
 v(t )   adt
dt
dx
 dx  vdt   dx   vdt  v  dt
dt
x(t )  x0  v0t  x(t )  v0t  x0
x(t ) est une droite
26
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Mouvement rectiligne uniformément varié:
a=cte, t = 0s, v0 et x0
a(m / s 2 )
t (s)
dv
 dv  adt
dt
t
t
 v  v(t )  v0  0 at  a 0 t
v  aire sous a(t )  at  v  at  v0
 v  at  v0
a  cons tan te
a
t
v( m / s )
a
v(t ) est une droite
v0
x  aire sous v(t )  A1  A2
A2
A1
t (s)
t
x(m)
x0
A1  v0t
1
1
1
A2  (v  v0 )t  ((at  v0 )  v0 )t  at 2
2
2
2
1
x  x  x0  at 2  v0t
2
t (s)
dx
 dx  vdt
dt
t
t
 x  x(t )  x0  0 vdt  0 (at  v0 )dt
v
x(t ) 
1 2
at  v0t  x0
2
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27
Relation entre a, v et x:
a
dv
 dv  adt
dt
On multiplie chaque membre par v
vdv  avdt  vdv  adx
On intègre de chaque côté
v
x
x
v0
x0
x0
 vdv   adx  a  dx
1 2 2
(v  v0 )  a( x  x0 )
2
v 2  v02  2a ( x  x0 )
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28
Exemples d’étude de mouvement
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29
Mouvement dans l’espace ou curviligne :
Position d’un point :
On peut définir la position d’un point dans l’espace de deux manières
- A : En repérant le point par rapport à un repère orthonormé
z
r1
k
r2
y
x
i
j
r3
r4
Le vecteur position s’écrit : OM (t )  r (t )
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30
- B : En considérant un point sur la trajectoire pris comme origine
M 0 M1
On parle d’abscisse curviligne notée :
s (t )  M 0 M 1
La loi décrivant s(t) en fonction du temps est appelée équation horaire
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31
Vecteur déplacement :
z
k
i
j
y
x
C’est la distance pour aller du point M1 au point M2.
M1M 2  OM (t )  r (t )
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32
Vecteur vitesse d’un point :
Vecteur vitesse moyenne :
vm
z
k
i
x
j
y
vm 
M 1M 2 OM (t ) r (t )


t
t
t
Le vecteur vitesse moyenne est parallèle au vecteur déplacement
Vecteur vitesse instantanée :
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OM (t )
r (t ) dr
 lim

t  0

t

0
t
t
dt
v  lim
33
Construction géométrique de v et v m :
On calcule la vitesse instantanée à partir de la vitesse moyenne
vm1
vm 2
vm3
vm1 
M 2 M 10
v
t
vm 2 
M 3M 9
v
t '
vm 3 
M 4M8
v
t "
vm 4 
M 5M 7
v
t '''
vm4
v
Conclusion:
la vitesse instantanée à l’instant t est assimilée à la vitesse moyenne 34
entre
deux instants t1 et t2, tel que t est milieu de [t1 , t2] et t petit.
Vecteur accélération :
Accélération moyenne :
Elle caractérise la variation du vecteur vitesse
am 
v  v1
v
 2
t
t2  t1
am a le même sens et direction que v
Accélération instantanée :
v
dv
a  ai  lim

t 0 t
dt
On peut confondre l’accélération instantanée et l’accélération moyenne au
milieu de l’intervalle de temps si v est très petit.
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35
Construction géométrique de a et am :
On cherche l’accélération à t7 =0.6 s (correspond au point 7)
avec t= 0.1 s
v6  vm 5
7
v8  vm 7
9
v v8  v6
a7 

t
t
v  v8  v6  v8  (v6 )
a7
v6
v8
v
7
vm 5
9
vm 7
v6
36
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Étude de v et a dans différents systèmes de coordonnées :
Coordonnées cartésiennes :
Vecteur position :
OM  xi  yj  zk
x(t), y(t) et z(t) sont les équations paramétriques
du mouvement
Vecteur vitesse :
Vitesse moyenne:
vm 
OM
r
x
y
z


i 
j
k  vmx i  vmy j  vmz k
t
t
t
t
t
Vitesse instantanée:
vm 
d OM
dr
dx
dy
dz


i 
j
k  vx i  v y j  vz k
37
dt
dt
dt
dt
dt
Vecteur accélération :
Accélération moyenne :
v y
vx
vz
v
am 

i 
j
k  amx i  amy j  amz k
t
t
t
t
Accélération instantanée :
dv y
dvx
dvz
dv
a 

i 
j
k  ax i  a y j  az k
dt
dt
dt
dt
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38
Coordonnées curvilignes ou intrinsèques :
uT
Abscisse curviligne:
OM  s(t )
uN
Vitesse :
On définit deux vecteurs unitaires:
uT : porté par la tangente à la trajectoire en M est orienté dans le sens positif:
u N : porté par la perpendiculaire à la trajectoire et dirigée vers l’intérieur
ds
Donc : v 
uT  v uT
uT
v
dt
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uN
39
Accélération :
uT
aN
aT
uN
a
d (vuT )
duT
dv
dv
a


uT  v
dt
dt
dt
dt
Or: duT  d u
N
dt
dt
dv
d
uT  v
u N  aT uT  aN u N
dt
dt
d
dv
et a N  v
Avec: aT 
dt
dt
Donc:
a
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40
uT ds
ds  rd 
uN
r
ds
d
r
dt
dt
d
1 ds
v


dt
r dt
r
d
Et donc:
aN
d
v2
v

dt
r
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41
Coordonnées polaires :
y
Position:
M On repère le point M par la distance OM=r et l’angle 
j
u
O
OM  r (t )
ur

i
r (t )
OM  
 (t )
x r(t) et (t) sont les équations paramétriques en
coordonnées polaires
On prend deux vecteurs nouveaux unitaires u r et u
OM  r (t )ur
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42
Vitesse:
Nous dérivons le vecteur position
v
d ( r (t )ur )
dur y
d OM
dr (t )
v
v 


ur  r
dt
dt
dt
dt
vr
M
dur
d
Et comme :

u
dt
dt
j OM  r (t )
ur
Alors : v  dr (t ) u  r d u
u

r

x
dt
dt
O
i
On décompose la vitesse suivant les deux axes :
v  vr ur  v u
Par identification on a :
vr 
dr
dt
et v  r
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d
dt
43
Accélération:
dv
a
dt
On dérive le vecteur vitesse
a
d(
dr (t )
d
ur  r
u )
dt
dt
dt
d 2r
dr dur
dr d
d 2
d du
a
u


u

r
u

r
r


dt 2
dt dt
dt dt
dt 2
dt dt
Or on sait que :
du
dur
d
d

u et

ur
dt
dt
dt
dt
a  ar ur  a u
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44
d 2r
dr d
dr d
d 2
d d
a
u

u

u

r
u

r
ur
r



2
2
dt
dt dt
dt dt
dt
dt dt
2
 d 2r
 dr d
d 2 
 d  
a 
r
ur   2
r
u
 
2  
 dt 2

dt 
 dt  
 dt dt

On décompose l’accélération suivant les deux axes:
a  ar ur  a u
Par identification on a:
d 2r
 d 
ar 

r


dt 2
 dt 
2
dr d
d 2
a  2
r
dt dt
dt 2
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Physique– U.S.T.H.B
45
Exemple:
En coordonnées polaires le mouvement d’un mobile est décrit par les équations

t2
r (t ) 


2
OM  
 (t )   t

4

Dessiner les vecteurs position, vitesse et accélération à t = 1s
 dr
t

 dt

 d  

4
 dt
 d 2r
1

 dt 2
 2
d   0

 dt 2
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46
Vecteur position:
Echelle:
1 cm
0.2 m
1 cm
0.4 m/s
1 cm
0.7 m/s2
1

r
(
t
)

 0.5 m


2
À t = 1s OM (1s )  
 (t )  

4

Vecteur vitesse:
dr

v

t
r


dt
v 
2
v  r d   t


dt
8

vr (1s )  1 m / s



v
(1)

 0.39 m / s


8

a (1s )
v (1s )
Vecteur accélération:
y a (1s )
2

d 2r
d




r
 ar 



dt 2
 dt 

dr d
d 2

a  2
r

dt dt
dt 2


 2t 2
a  1
2


a

0.69
m
/
s
 r

r
32 


2

t

a 
 a  1.57 m / s


2

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v (1s )
u
j
O
vr (1s )
M ar (1s )
ur
OM  r (t )

4
i
x
47
Coordonnées cylindriques :
P’ est la projection de P dans le plan xoy
Vecteur position:
OM  u  zk
Vecteur vitesse:
y
x
v
P'
v
d (  u   zk )
d OM

dt
dt
d
d
dz
u  
u 
k
dt
dt
dt
v  v u  v u  vz k
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48
Vecteur accélération:
a
dv
d  d
d
dz 

u


u

k



dt
dt  dt
dt
dt 
2
 d 2
 d  d
d 2
 d  
a  2 

  u    2
2
 dt
dt
dt
dt
dt






d 2z
 u  2 k
dt

a  a u  a u  az k
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49
Coordonnées sphériques :
Vecteur position:
 x  r sin  cos 

OM   y  r sin  sin 
 z  r cos 

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50
Changement de repère ou mouvement relatif:
x'
x
k'
k
i
j
j'
i'
x
x'
x
Vecteur position:
Dans R:
x'
OM  OO '  O ' M
OM  xi  yj  zk
Dans R’:
51
O ' M  x ' i ' y ' j ' z ' k '
Vecteur vitesse:
La vitesse dans R est dite absolue et notée va = vM/R
La vitesse dans R’ est dite relative et notée vr = vM/R’
Vitesse absolue:
va 
d OM
dx
dy
dz

i 
j
k
dt
dt
dt
dt
Vitesse relative :
vr 
dx '
dy '
dz '
i '
j '
k'
dt
dt
dt
Calcul de la vitesse :
v
d OM
d OO ' d O ' M


dt
dt
dt
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52
v
v
d OO ' d O ' M
d OO ' d ( x ' i ' y ' j ' z ' k ')



dt
dt
dt
dt
d OO ' dx '
di ' dy '
dj ' dz '
dk '

i ' x '

j ' y '

k ' z '
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dy '
dz '   d OO '
di '
dj '
dk ' 
 dx '
v 
i '
j '
k '   
 x'
 y'
 z'

dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt

 

va  vr  ve  vM / R  vM / R '  vR / R '
Vitesse d’entrainement:
 d OO '
di '
dj '
dk ' 
ve  
 x'
 y'
 z'

dt
dt
dt 
 dt
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53
Cas particuliers:
* Si R’ décrit un mouvement de translation donc les dérivées des vecteurs
unitaires sont nulles:
di ' dj ' dk '


0
dt
dt
dt
ve 
d OO '
dt
*Si R et R’ se déplacent à la même vitesse :
va  vr
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54
Vecteur accélération:
a
dva
dv
dv
 r  e
dt
dt
dt
En dérivant on obtient :
aa  ar  ae  ac  aM / R  aM / R '  aR '/ R  ac
Accélération absolue:
d 2 OM
d 2x
d2y
d 2z
aa 

i 
j 2 k
dt 2
dt 2
dt 2
dt
Accélération relative:
d 2x '
d2y'
d 2z '
ar 
i '
j '
k'
dt 2
dt 2
dt 2
Accélération entrainement:
d 2 OO '
d 2i '
d2 j '
d 2k '
ae 
 x' 2  y'
 z'
2
2
dt
dt
dt
dt 2
Accélération Coriolis:
 dx ' di ' dy ' dj ' dz ' dk ' 
ac  2 



dt
dt
dt
dt
dt
dt


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55
Cas particuliers:
* Si R’ décrit un mouvement de translation donc les dérivées des vecteurs
unitaires sont nulles:
d 2 OO '
ae 
dt 2
et
ac  0
•Si en plus le mouvement de R’ est uniforme alors :
ae  0
et
ac  0  aa  ar
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56