Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B 1 Définition: La cinématique est une branche de la mécanique qui étudie les mouvements des corps dans l’espace en fonction du temps indépendamment des causes qui les provoquent. Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B 2 NOTION DE REPÈRE Point matériel Un point matériel est un objet infiniment petit devant les distances caractéristiques du mouvement pour être considéré comme ponctuel. D D 3 Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B NOTION DE REPÈRE z y terre soleil x Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B 4 NOTION DE REPÈRE Pour repérer la position d’un point matériel dans l’espace, on se donne un repère d’espace, c’est-à-dire: - un point O origine des coordonnées - trois axes de coordonnées orientés et munis d’une unité de mesure (par exemple le mètre) Pour des raisons de commodité, on choisit un repère orthonormé O, i , j , k direct Un point M de l’espace est repéré par ses coordonnées x, y et z tel que: OM xi yj zk Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B 5 NOTION DE MOUVEMENT Un objet est mouvement par rapport à un autre si sa position change au cours du temps Un point M est dit fixe par rapport au repère R(O, x, y, z) si ses coordonnées ne changent pas. Le point M est en mouvement si au moins une de ses coordonnées change dans le temps. La notion de mouvement est relative. En effet un point peut être en mouvement par rapport à un repère R Et au repos par rapport à un second repère R’ 6 Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B NOTION DE MOUVEMENT On distingue essentiellement trois type de mouvements : Translation Rotation Vibration Ou une combinaison de deux de ces mouvements Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B 7 NOTION DE TRAJECTOIRE Définition : C’est le lieu géométrique des positions successives occupées par le point matériel au cours du temps Exemple : un mobile est repéré par les coordonnées suivantes : X (t) = A cos wt Y (t) = A sin wt En supprimant le temps, on obtient : x 2 y 2 A2 La trajectoire est donc un cercle de centre O et de rayon A L’équation de la trajectoire est une relation qui lie les coordonnées du point entre elles Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B 8 MOUVEMENT RECTILIGNE La trajectoire d’un mouvement rectiligne est une droite. Vecteur position C’est le vecteur OM x (t )i qui désigne la distance qui sépare le mobile M du point O pris comme origine. M1 M3 M2 i O OM1 OM2 OM3 x x(t) est appelée équation horaire du mouvement Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B 9 Notion de diagramme des espaces Si on reporte les positions successives du mobile en fonction du temps, on obtient une courbe appelée : Diagramme des espaces x(m) + + + + t(s) + Remarque: Il ne faut pas confondre trajectoire et diagramme des espaces Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B 10 Vecteur déplacement (m): M1 M2 i OM2 O OM1 x OM Le vecteur déplacement est la distance parcourue entre deux instants M1M 2 OM OM 2 OM1 ( x2 x1 )i Vecteur vitesse (m/s): Vecteur vitesse moyenne: Si t t 2 t1 est le temps mis entre M 1 et M 2 , la vitesse moyenne est : vm M1M 2 OM 2 OM1 OM ou encore t t t2 t1 vm Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B x2 x1 x i i t2 t1 t 11 Vecteur vitesse instantanée: Si on diminue l’intervalle de temps, on obtient la vitesse instantanée : OM d OM v vi lim ou t 0 t dt Le terme v dx dt possède deux significations : 1- Si on a l’expression de x(t), alors Exemple: x dx v vi lim i i t 0 t dt dx désigne la dérivée de x(t): dt x(t ) 3x3 2 x 2 5 dx v(t ) 9x2 4x dt Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B 12 2- Si on a le graphe de x(t), alors la courbe x(t) dx désigne la pente de la tangente à dt Exemple: Problème !!! x(m) + A dx AC v tan dt BC + + + C B t(s) t Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B 13 + On va donc calculer la vitesse instantanée à partir de la vitesse moyenne Il y a deux cas ou la vitesse moyenne est confondue avec la vitesse moyenne 1er cas: Mouvement rectiligne uniforme: x2 x(m) x1 t1 t2 t(s) x2 x1 x vm t t2 t1 vm v x2 x1 dx v tan dt t2 t1 Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B 14 2ème cas: mouvement rectiligne quelconque: x(m) v(t + t1 t2 ) vm 2 vm1 vm 2 v t2 vm 3 v t1 + vm2 vm3 + + t1 t3 vm 4 v + vm4 + vm1 v + V(t) + t(s) t5 t7 t t8 t6 t4 t2 Conclusion : La vitesse instantanée à l’instant t est assimilée à la vitesse moyenne 15 entre deux instants t1 et t2 tel que t est milieu de t1 et t2 avec t Vecteur accélération (m/s2): Vecteur accélération moyenne: M1 i O M2 v1 v2 x OM2 OM1 v2 v1 v am t t2 t1 am et v Sont dans le même sens et direction v2 v1 v1 Vecteur accélération instantanée: v dv t 0 t dt a ai lim Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B 16 Comme pour la vitesse le terme a 1- Si a l’expression de v(t), alors Exemple: dv possède deux significations : dt dv désigne la dérivée de v(t): dt x(t ) 3x3 2 x 2 5 dx v(t ) 9x2 4x dt dv d 2 x a(t ) 2 18 x 4 dt dt Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B 17 2- Si a le graphe de v(t), alors courbe v(t) v(m/s) B dv désigne la pente de la tangente à la dt A C t(s) t En procédant de la même façon que pour la vitesse on en déduit que: Conclusion : L’accélération instantanée à l’instant t est assimilée à l’accélération moyenne entre deux instants t1 et t2 tel que t est milieu de t1 et t2 avec Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B t 18 Mouvement rectiligne uniforme : v cons tan te et a 0 Mouvement rectiligne uniformément accéléré : a cons tan te et a.v 0 Mouvement rectiligne uniformément retardé ou décéléré : a cons tan te et a.v 0 19 Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B Exemple : Soit une voiture se déplaçant sur une route rectiligne repérée par les positions M1, M2, M3 et M4 aux instants t1= 0s, t2=2s , t3 = 4s et t4= 5s respectivement tel que : OM1 12i , OM 2 10i , OM 3 2i et OM 4 2i M1 M3 M2 OM1 i OM2 M4 x OM4 O OM3 1- Calculer les vecteurs déplacements : M1M 2 , M 2 M3 et M3M 4 M1M 2 OM 2 OM1 ( x2 x1 )i (10 (12))i 2i M 2 M3 OM3 OM 2 ( x3 x2 )i (2 (10))i 12i M3M 4 OM 4 OM3 ( x4 x3 )i (2 (2))i 4i 2- Déterminer les vecteurs vitesses moyennes entre M1 et M2 et entre M3 et M4 MM (x x ) 4 MM (x x ) 2 i 4i vm 1 2 2 1 i i i (m / s) vm 2 3 4 4 3 i t ( t t ) (5 4) t (t2 t1 ) (2 0) 4 3 20 Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B (m / s ) 3- Déterminer le vecteur accélération moyenne entre 2 et 6 s, v(2s) = 4m/s et v(6s) = 2 m/s M1 M3 v (2s) v (6s) i OM3 O OM1 v v2 (6s) v1 (2s) v2 (6s) (v1 (2 s)) am v x v (6s) v (2s) am v (v2 (6 s) v1 (2 s )) (2 4) i 0.5i t (t2 t1 ) (6 2) Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B (m / s 2 ) 21 Calcul Intégral: Jusqu’à présent on a vu comment passer de la position x(t) à la vitesse v(t) puis à l’accélération a(t) Nous maintenant étudier le problème inverse pour passer de l’accélération à la vitesse puis à la position Passage de la vitesse à la position: 1er Cas: Mouvement uniforme v(m/s) Dans ce cas: v vm x x2 x1 t t 2 t1 Et donc: t1 t2 x2 x1 v(t 2 t1 ) x2 v(t 2 t1 ) x1 t(s) x v(t 2 t1 ) correspond à l’aire sous la courbe v(t) Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B 22 2ème Cas général : On partage l’intervalle entre t1 et t2 en plusieurs petits dt v(m/s) v=cte v dx dx vdt = aire sous la courbe v(t) sur l’intervalle dt dt En faisant la somme des petits intervalles entre t1 et t2 : x x x12 dx t12 vdt alors: x t1 dt t2 t x2 t12 vdt x1 t t(s) x est donc l’aire sous la courbe v(t) entre t1 et t2. Remarque : Il ne faut pas confondre entre position et distance parcourue -La position est l’aire sous v(t) en valeur algébrique -La distance parcourue est l’aire sous v(t) en valeur absolue 23 Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B Exemple: v(m/s) 1-position du mobile à t = 40 s 2-distance parcourue entre 0 et 40 s t=0 s, x = 0 m 10 20 40 -10 t(s) 1- position du mobile: x 0 dx 0 vdt 10(20 0) 10(40 20) 0m x(40s) 0m x 40 2- distance parcourue par le mobile: D x1 x2 10(20 0) 10(40 20) 40m 24 Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B Passage de l’accélération à la vitesse: a(m / s 2 ) On partage en plusieurs intervalle dt a a=cte dv dv adt dt v t1 dt v v12 dv t12 adt v t t2 t(s) v est donc l’aire sous la courbe a(t) entre t1 et t2. Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B 25 Étude de quelques mouvements particuliers Mouvement rectiligne uniforme: a(m / s 2 ) v aire sous a(t ) 0 v v0 a t (s) a 0 v(t ) adt cons tan te v0 v( m / s ) v v0 cons tan te v0 t (s) v x(m) x aire sous v(t ) v0t x v0t x0 x0 t (s) dv v(t ) adt dt dx dx vdt dx vdt v dt dt x(t ) x0 v0t x(t ) v0t x0 x(t ) est une droite 26 Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B Mouvement rectiligne uniformément varié: a=cte, t = 0s, v0 et x0 a(m / s 2 ) t (s) dv dv adt dt t t v v(t ) v0 0 at a 0 t v aire sous a(t ) at v at v0 v at v0 a cons tan te a t v( m / s ) a v(t ) est une droite v0 x aire sous v(t ) A1 A2 A2 A1 t (s) t x(m) x0 A1 v0t 1 1 1 A2 (v v0 )t ((at v0 ) v0 )t at 2 2 2 2 1 x x x0 at 2 v0t 2 t (s) dx dx vdt dt t t x x(t ) x0 0 vdt 0 (at v0 )dt v x(t ) 1 2 at v0t x0 2 Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B 27 Relation entre a, v et x: a dv dv adt dt On multiplie chaque membre par v vdv avdt vdv adx On intègre de chaque côté v x x v0 x0 x0 vdv adx a dx 1 2 2 (v v0 ) a( x x0 ) 2 v 2 v02 2a ( x x0 ) Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B 28 Exemples d’étude de mouvement Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B 29 Mouvement dans l’espace ou curviligne : Position d’un point : On peut définir la position d’un point dans l’espace de deux manières - A : En repérant le point par rapport à un repère orthonormé z r1 k r2 y x i j r3 r4 Le vecteur position s’écrit : OM (t ) r (t ) Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B 30 - B : En considérant un point sur la trajectoire pris comme origine M 0 M1 On parle d’abscisse curviligne notée : s (t ) M 0 M 1 La loi décrivant s(t) en fonction du temps est appelée équation horaire Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B 31 Vecteur déplacement : z k i j y x C’est la distance pour aller du point M1 au point M2. M1M 2 OM (t ) r (t ) Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B 32 Vecteur vitesse d’un point : Vecteur vitesse moyenne : vm z k i x j y vm M 1M 2 OM (t ) r (t ) t t t Le vecteur vitesse moyenne est parallèle au vecteur déplacement Vecteur vitesse instantanée : Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B OM (t ) r (t ) dr lim t 0 t 0 t t dt v lim 33 Construction géométrique de v et v m : On calcule la vitesse instantanée à partir de la vitesse moyenne vm1 vm 2 vm3 vm1 M 2 M 10 v t vm 2 M 3M 9 v t ' vm 3 M 4M8 v t " vm 4 M 5M 7 v t ''' vm4 v Conclusion: la vitesse instantanée à l’instant t est assimilée à la vitesse moyenne 34 entre deux instants t1 et t2, tel que t est milieu de [t1 , t2] et t petit. Vecteur accélération : Accélération moyenne : Elle caractérise la variation du vecteur vitesse am v v1 v 2 t t2 t1 am a le même sens et direction que v Accélération instantanée : v dv a ai lim t 0 t dt On peut confondre l’accélération instantanée et l’accélération moyenne au milieu de l’intervalle de temps si v est très petit. Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B 35 Construction géométrique de a et am : On cherche l’accélération à t7 =0.6 s (correspond au point 7) avec t= 0.1 s v6 vm 5 7 v8 vm 7 9 v v8 v6 a7 t t v v8 v6 v8 (v6 ) a7 v6 v8 v 7 vm 5 9 vm 7 v6 36 Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B Étude de v et a dans différents systèmes de coordonnées : Coordonnées cartésiennes : Vecteur position : OM xi yj zk x(t), y(t) et z(t) sont les équations paramétriques du mouvement Vecteur vitesse : Vitesse moyenne: vm OM r x y z i j k vmx i vmy j vmz k t t t t t Vitesse instantanée: vm d OM dr dx dy dz i j k vx i v y j vz k 37 dt dt dt dt dt Vecteur accélération : Accélération moyenne : v y vx vz v am i j k amx i amy j amz k t t t t Accélération instantanée : dv y dvx dvz dv a i j k ax i a y j az k dt dt dt dt Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B 38 Coordonnées curvilignes ou intrinsèques : uT Abscisse curviligne: OM s(t ) uN Vitesse : On définit deux vecteurs unitaires: uT : porté par la tangente à la trajectoire en M est orienté dans le sens positif: u N : porté par la perpendiculaire à la trajectoire et dirigée vers l’intérieur ds Donc : v uT v uT uT v dt Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B uN 39 Accélération : uT aN aT uN a d (vuT ) duT dv dv a uT v dt dt dt dt Or: duT d u N dt dt dv d uT v u N aT uT aN u N dt dt d dv et a N v Avec: aT dt dt Donc: a Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B 40 uT ds ds rd uN r ds d r dt dt d 1 ds v dt r dt r d Et donc: aN d v2 v dt r Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B 41 Coordonnées polaires : y Position: M On repère le point M par la distance OM=r et l’angle j u O OM r (t ) ur i r (t ) OM (t ) x r(t) et (t) sont les équations paramétriques en coordonnées polaires On prend deux vecteurs nouveaux unitaires u r et u OM r (t )ur Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B 42 Vitesse: Nous dérivons le vecteur position v d ( r (t )ur ) dur y d OM dr (t ) v v ur r dt dt dt dt vr M dur d Et comme : u dt dt j OM r (t ) ur Alors : v dr (t ) u r d u u r x dt dt O i On décompose la vitesse suivant les deux axes : v vr ur v u Par identification on a : vr dr dt et v r Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B d dt 43 Accélération: dv a dt On dérive le vecteur vitesse a d( dr (t ) d ur r u ) dt dt dt d 2r dr dur dr d d 2 d du a u u r u r r dt 2 dt dt dt dt dt 2 dt dt Or on sait que : du dur d d u et ur dt dt dt dt a ar ur a u Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B 44 d 2r dr d dr d d 2 d d a u u u r u r ur r 2 2 dt dt dt dt dt dt dt dt 2 d 2r dr d d 2 d a r ur 2 r u 2 dt 2 dt dt dt dt On décompose l’accélération suivant les deux axes: a ar ur a u Par identification on a: d 2r d ar r dt 2 dt 2 dr d d 2 a 2 r dt dt dt 2 Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B 45 Exemple: En coordonnées polaires le mouvement d’un mobile est décrit par les équations t2 r (t ) 2 OM (t ) t 4 Dessiner les vecteurs position, vitesse et accélération à t = 1s dr t dt d 4 dt d 2r 1 dt 2 2 d 0 dt 2 Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B 46 Vecteur position: Echelle: 1 cm 0.2 m 1 cm 0.4 m/s 1 cm 0.7 m/s2 1 r ( t ) 0.5 m 2 À t = 1s OM (1s ) (t ) 4 Vecteur vitesse: dr v t r dt v 2 v r d t dt 8 vr (1s ) 1 m / s v (1) 0.39 m / s 8 a (1s ) v (1s ) Vecteur accélération: y a (1s ) 2 d 2r d r ar dt 2 dt dr d d 2 a 2 r dt dt dt 2 2t 2 a 1 2 a 0.69 m / s r r 32 2 t a a 1.57 m / s 2 Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B v (1s ) u j O vr (1s ) M ar (1s ) ur OM r (t ) 4 i x 47 Coordonnées cylindriques : P’ est la projection de P dans le plan xoy Vecteur position: OM u zk Vecteur vitesse: y x v P' v d ( u zk ) d OM dt dt d d dz u u k dt dt dt v v u v u vz k Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B 48 Vecteur accélération: a dv d d d dz u u k dt dt dt dt dt 2 d 2 d d d 2 d a 2 u 2 2 dt dt dt dt dt d 2z u 2 k dt a a u a u az k Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B 49 Coordonnées sphériques : Vecteur position: x r sin cos OM y r sin sin z r cos Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B 50 Changement de repère ou mouvement relatif: x' x k' k i j j' i' x x' x Vecteur position: Dans R: x' OM OO ' O ' M OM xi yj zk Dans R’: 51 O ' M x ' i ' y ' j ' z ' k ' Vecteur vitesse: La vitesse dans R est dite absolue et notée va = vM/R La vitesse dans R’ est dite relative et notée vr = vM/R’ Vitesse absolue: va d OM dx dy dz i j k dt dt dt dt Vitesse relative : vr dx ' dy ' dz ' i ' j ' k' dt dt dt Calcul de la vitesse : v d OM d OO ' d O ' M dt dt dt Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B 52 v v d OO ' d O ' M d OO ' d ( x ' i ' y ' j ' z ' k ') dt dt dt dt d OO ' dx ' di ' dy ' dj ' dz ' dk ' i ' x ' j ' y ' k ' z ' dt dt dt dt dt dt dt dy ' dz ' d OO ' di ' dj ' dk ' dx ' v i ' j ' k ' x' y' z' dt dt dt dt dt dt dt va vr ve vM / R vM / R ' vR / R ' Vitesse d’entrainement: d OO ' di ' dj ' dk ' ve x' y' z' dt dt dt dt Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B 53 Cas particuliers: * Si R’ décrit un mouvement de translation donc les dérivées des vecteurs unitaires sont nulles: di ' dj ' dk ' 0 dt dt dt ve d OO ' dt *Si R et R’ se déplacent à la même vitesse : va vr Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B 54 Vecteur accélération: a dva dv dv r e dt dt dt En dérivant on obtient : aa ar ae ac aM / R aM / R ' aR '/ R ac Accélération absolue: d 2 OM d 2x d2y d 2z aa i j 2 k dt 2 dt 2 dt 2 dt Accélération relative: d 2x ' d2y' d 2z ' ar i ' j ' k' dt 2 dt 2 dt 2 Accélération entrainement: d 2 OO ' d 2i ' d2 j ' d 2k ' ae x' 2 y' z' 2 2 dt dt dt dt 2 Accélération Coriolis: dx ' di ' dy ' dj ' dz ' dk ' ac 2 dt dt dt dt dt dt Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B 55 Cas particuliers: * Si R’ décrit un mouvement de translation donc les dérivées des vecteurs unitaires sont nulles: d 2 OO ' ae dt 2 et ac 0 •Si en plus le mouvement de R’ est uniforme alors : ae 0 et ac 0 aa ar Chafa Azzedine - Faculté de Physique– U.S.T.H.B 56