Chapitre XXVI : Distance, bissectrice et cercle inscrit

Quatrième – Chapitre XXVI : Distance, Bissectrices et cercle inscrit - Page
1 10
sur
Chapitre XXVI : Distance, bissectrice et cercle inscrit
a.
b.
c.
d.
e.
4ème : [Pas dans le socle commun] savoir où est situé le point d’une droite le plus
proche d’un point donné.
Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=2742
Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=2744
Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=2746
Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=2745
Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=2748
4ème : [Abordable en 6ème] connaître et utiliser la définition de la bissectrice.
Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=156
Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=157
4ème : [Pas dans le socle commun] savoir construire la bissectrice d’un angle.
Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=158
4ème : [Pas dans le socle commun] savoir et utiliser la propriété d’équidistance des
points de la bissectrice.
Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=2748
4ème : [Pas dans le socle commun] savoir construire le cercle inscrit dans un triangle.
Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=2750
Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=2751
Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=2752
Exercice n°1 (Source Sésamath)
Trouve le plus court chemin
he
uc
A
ga
1. Conjecture
e
r iv
it e
a. De la rive gauche d'un fleuve, Alexia crie à Hamid qui est
dro
e
assis de l'autre côté du fleuve qu'elle ne sait pas nager. Trop
r iv
éloigné d'elle, Hamid l'entend très mal. Reproduis le schéma
H
ci-contre en plaçant Hamid (représenté par le point H) sur
la rive droite au plus près d'Alexia, à l’aide d’instrument
de géométrie.
b. Explique précisément comment tu as placé le point H sur ton schéma.
2. Démonstration et définition
a. Sur le schéma précédent où H est placé comme indiqué à la question 1., place sur la
rive droite un point L distinct de H. Quelle est la nature du triangle AHL ?
b. Que peux-tu en déduire concernant les longueurs des segments [AH] et [AL] ?
Justifie.
c. Recopie et complète les phrases suivantes :
« La distance d'un point A à une droite (d) est la longueur du segment [AH] où H est le
pied de la ... relative à ... passant par ... . C'est la plus courte des distances entre ... et
... . ».
Quatrième – Chapitre XXVI : Distance, Bissectrices et cercle inscrit - Page
♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥
2 10
sur
Cours n°1♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥
Cours à compléter, à montrer au professeur puis, s’il est validé, à recopier
intégralement dans le cahier de cours, sans rien oublier
Chapitre XXVI : Distance d’un point à une droite, bissectrice et cercle
inscrit
I)
Distance d’un point à une droite
Définition n°1 :
La distance d’un point A à une droite (d) est la distance …………………… qui
sépare ce point A des points de la droite (d).
Propriété n°1 :
La distance d’un point A à une droite (d) est la distance AH, où H est le point
d’intersection de (d) avec la p………………………………………. à (d) passant
par ………
Exemple n°1
A
AH est la distance de A à
(d).
Placez H sur la figure
(d)
♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥ Fin du
Cours n°1♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥
Apprentissage du cours
Copier les savoirs, de mémoire, 6 fois, sur une feuille de brouillon, en « accordéon ».
COLLER LES ACCORDEONS SUR LE CAHIER D’EXERCICES OU DE COURS.
Recopier le cours dans son cahier de cours (A LA MAISON ! )
Quatrième – Chapitre XXVI : Distance, Bissectrices et cercle inscrit - Page
3 10
sur
Contrôle du savoir faire
Refaites les exemples du savoir faire sur votre cahier d’exercices, sans regarder le cahier de cours, puis
contrôlez que vous avez juste.
A
Exemple n°1
AH est la distance de A à
(d).
Placez H sur la figure
(d)
Exercice n°2 (Source : Sésamath)
S
1 3 ,5 cm
N
T
10 cm
E
6 cm
La distance du point E à la droite (NR) est
comprise entre ... et ... .
8
cm
cm
e.
L
6
Observe, recopie et complète :
a. La distance du point S à la droite (LT) est ... .
b. La distance du point T à la droite ... est 6 cm.
c. Le point ... est situé à 10,5 cm de la droite ... .
d. Le point ... est situé à ... de la droite (RF).
1 0 ,5 cm
R
F
(m )
Exercice n°3 (Source : Sésamath)
a.
b.
Sur ton cahier, trace deux droites (m) et (d)
ainsi qu'un point P, comme sur le dessin.
Jean, debout sur la digue, veut aller se baigner
mais il doit d'abord passer par le parasol (au
point P) pour prévenir ses parents. Représente
sur ton schéma le trajet que Jean doit emprunter
afin de marcher le moins longtemps sur le sable
rendu brûlant par les rayons du Soleil.
P
(d )
Exercice n°4 (Source : Sésamath)
1.
2.
3.
Trace un segment [MN] de longueur 7 cm.
Place trois points S, T et U situés à 5 cm de la droite (MN) et tels que les triangles MNS, MNT et MNU
soient respectivement rectangle, quelconque et isocèle.
Calcule l'aire de chacun de ces triangles.
Exercice n°5 (Source : Sésamath)
Un point M étant donné, construis trois droites (d1), (d2) et (d3) telles que M soit situé à
4 cm de chacune d'entre elles.
K
4,
Exercice n°6 (Source : Sésamath)
Calcule la distance du point H à la droite (KC) sachant que l'aire du triangle CHK vaut
7,2 cm².
H
8
cm
C
Quatrième – Chapitre XXVI : Distance, Bissectrices et cercle inscrit - Page
4 10
sur
En cas de « trou de mémoire », on peut rechercher la définition de bissectrice sur internet.
♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥
Cours n°2♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥
Cours à compléter, à montrer au professeur puis, s’il est validé, à recopier
intégralement dans le cahier de cours, sans rien oublier
II)
Bissectrice d’un angle
Définition n°2 :
La bissectrice (b) d’un angle d
α est l’axe de …………………… de cet angle.
Propriété n°2 :
La bissectrice (b) d’un angle d
α est la droite qui partage cet angle en
………………… ……………………….. ……… …………………….
……………………….
Démonstration :
On sait que : (OB) est la …………..... de
a
AOC .
A
Donc, d’après la définition, (OB) est ………..
……………. …… …………………….. l’angle
B
a
AOC .
Donc a
AOB est le …………………. de l’angle
C
O
a
BOC .
Données :
On considère que (OB) est la bissectrice de l’angle a
AOC .
Exemple n°2
O
Or le ………………… d’un angle est un angle
de …………………. ………………………..
Donc a
AOB =………….
Construisez la bissectrice (b) de l’angle
B
A
a
AOB :
1. Tracez un cercle de centre O. Il
coupe les côtés de l’angle en deux
points.
2. Tracez deux autres cercles, de centre
chacun de ces points, de même rayon.
Ils se recoupent en deux points.
3. Tracez la droite qui joint un de ces
deux points à O.
propriété n°3 :
Tout point de la bissectrice est à é………….. d…………………. des
c……………….. de l’angle.
♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥ Fin du
Cours n°2♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥
Apprentissage du cours
Copier les savoirs, de mémoire, 6 fois, sur une feuille de brouillon, en « accordéon ».
COLLER LES ACCORDEONS SUR LE CAHIER D’EXERCICES OU DE COURS.
Recopier le cours dans son cahier de cours (A LA MAISON ! )
Quatrième – Chapitre XXVI : Distance, Bissectrices et cercle inscrit - Page
5 10
sur
Contrôle du savoir faire
Refaites les exemples du savoir faire sur votre cahier d’exercices, sans regarder le cahier de cours, puis
contrôlez que vous avez juste.
Exemple n°3
O
Construisez la bissectrice (b) de l’angle
B
a
AOB :
A
Exercice n°7
Découpe et remets dans l’ordre cette démonstration :
t. Donc BC
= DC.
D
u. Or la bissectrice d’un angle est l’axe de symétrie de cet angle.
t. On sait que (CA) est la bissectrice de a
DAB .
a. Donc [BC] est le symétrique de [DC]
r. On sait que (BC) et (AB) sont perpendiculaires.
s. Or le symétrique d’un segment est un segment de même longueur.
u. Donc, BC est la distance de C à la droite (AB).
é. De même, DC est la distance de C à la droite (AD).
o. Or la distance d’un point A à une droite (d) est la longueur du segment
joignant A à H, H étant le pied de la perpendiculaire à (d) passant par A.
!. Donc C est à égale distance des droites (AB) et (AD).
On a démontré que tout point de la bissectrice est à égale distance des côtés
de l’angle qu’elle sépare.
A
C
B
Quatrième – Chapitre XXVI : Distance, Bissectrices et cercle inscrit - Page
6 10
sur
Exercice n°8
Pour chacune des six figures ci-dessous, indique si la demi-droite [Oy) est la bissectrice de l'anglea
tOz
. Justifie tes réponses quand c’est le cas en citant la propriété ou définition.
fig .1
O
t
t
t
fig .2
fig .3
y
y
Oz
Oz
t
fig .5
y
z
y
O
z
Exercice n°9
B
A
Sur la figure ci-contre, [AC) est la bissectrice de a
DAB , et BC
vaut 4,2 cm.
Combien vaut DC ? Justifiez votre réponse en le démontrant.
C
D
Exercice n°10
@o p tio n s;
Sur la figure ci-contre, la droite (AR) est la bissectrice de l'anglea
EAF .
Démontre que le triangle FER est isocèle en R.
A
@fig u r e ;
A = p o in t( - 7 .2 ,6 .8 7 ) { (0 .2 3 ,0 .8 )} ;
B = p o in t(-7 .0 3 ,0 .7 7 ){ i} ;
F
R
E
Exercice n°11
2.
Sur ton cahier, trace un grand triangle DEF puis les bissectrices des angles a
FDE et a
EFD
qui se coupent en O.
Démontre que O est équidistant des trois côtés du triangle DEF.
3.
Comment tracer la bissectrice de a
FED en n'utilisant que ta règle non graduée ? Justifie.
1.
S
Exercice n°12
Observe le dessin à main levée ci-contre.
Démontre que le point U est équidistant des droites (RS) et (RT).
Exercice n°13
U
1.
2.
Détermine, en justifiant, la mesure de l'angle a
IMR
Que représente le point I pour le triangle MUR ? Justifie.
3.
Déduis-en les mesures des angles a
MUI eta
IUR .
4.
Combien vaut a
MIU ? Justifie.
R
T
U
70°
I
°
25
M
30
°
30°
R
Quatrième – Chapitre XXVI : Distance, Bissectrices et cercle inscrit - Page
♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥
7 10
sur
Cours n°3♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥
Cours à compléter, à montrer au professeur puis, s’il est validé, à recopier
intégralement dans le cahier de cours, sans rien oublier
définition n°3 :
On appelle cercle inscrit d’un triangle le cercle dont le centre est à l’intersection
des bissectrices, et tel que les trois côtés sont des tangentes à ce cercle.
B
Exemple n°4
Construisez le cercle inscrit au triangle cicontre.
A
C
♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥Fin du
cours n°3♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥
Apprentissage du cours
Copier les savoirs, de mémoire, 6 fois, sur une feuille de brouillon, en « accordéon ».
COLLER LES ACCORDEONS SUR LE CAHIER D’EXERCICES.
Recopier le cours dans son cahier de cours (A LA MAISON ! )
Contrôle du savoir faire
Refaites les exemples du savoir faire sur votre cahier d’exercices, sans regarder le cahier de cours, puis
contrôlez que vous avez juste.
B
Exemple n°4
Construisez le cercle inscrit au triangle cicontre.
A
C
Quatrième – Chapitre XXVI : Distance, Bissectrices et cercle inscrit - Page
8 10
sur
Exercice n°14
Dans chaque cas, construis le triangle ABC puis son cercle inscrit.
a.
AC = 8 cm, a
BAC = 60° et a
ACB = 50°.
AC = 10 cm, AB = 8 cm et a
BAC = 45°.
c. ABC est isocèle en A tel que AB = 9 cm et BC = 6 cm.
d. ABC est un triangle équilatéral de côté 7,5 cm.
Exercice n°15
b.
Trace un triangle dont le cercle inscrit a un rayon de 2,7 cm. Explique ta méthode.
Exercice n°16
1. Trace un triangle ABC rectangle en A tel que AB
= 8 cm eta
ABC = 30°.
2. Trace les bissectrices des angles a
ABC et a
ACB .
3. On appelle I le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC. Calcule, dans cet ordre, les angles
a
ABC , a
ICA , a
CAI et a
AIC .
Exercice n°17
Dans la figure ci-dessous, ABC est un triangle isocèle en A et K est le milieu de [BC].
a. Rappelle la définition d'une médiane dans un triangle. La
A
droite (AK) est-elle une médiane de ABC ? Justifie.
b. Rappelle la définition de la médiatrice d'un segment. La
droite (AK) est-elle la médiatrice du segment [BC] ? Justifie.
c. Rappelle la définition d'une hauteur dans un triangle. La
droite (AK) est-elle une hauteur de ABC ? Justifie.
d. La droite (AK) est-elle la bissectrice issue de A dans le
B
C
triangle ABC ? Justifie.
K
e.
Dans un triangle isocèle, que dire de la droite passant par le sommet principal et par le milieu
de la base ?
P
Exercice n°18
Reproduis une figure analogue à la figure ci-contre puis construis
le point C tel que P soit le centre du cercle inscrit au triangle
ABC.
A
B
Quatrième – Chapitre XXVI : Distance, Bissectrices et cercle inscrit - Page
9 10
sur
Résultats et indications
Ex.1 :1.a. Mesurer… b. fais une phrase avec sujet, verbe et complément.2.a. isocèle, équilatéral, rectangle ? b.
Il y en a une forcément plus grande que l’autre. Ex.2 : a. Choisi entre 8 et 10. b.Choisi entre (SL) et (ST). c.
Choisi entre R et F…d. E… e.10,5 et…Ex.3 : des perpendiculaires à (d) et (m) passant par ….Ex.4 :1. et 2. :
3.Aire d’un triangle :
base×hauteur
M
N
Ex.5 : et un cercle
2
de rayon 4 cm, de centre M ?
Ex.6 : 3. Ex.7 Début : on sait que
(CA) est… - Or…… - Donc …
Fin : donc C est à égale distance…
Quand l’ordre est correct, cela fait
une phrase.,Ex.8 : Oui, oui, non,
oui. Ex.9 : Utiliser la propriété 3.
Ex.10 : R est sur la bissectrice de
EAF, donc à égale distance de …
Ex.11 : 3. En traçant [EO) : O est
S
T
U
sur la bissectrice de …., donc à
égale distance des côtés … O est sur la bissectrice de …., donc à égale distance des côtés. Donc O est à égale
distance…. Donc O est sur la bissectrice de ….Ex.12 : RU est une …Ex.13 :1. Somme des angles dans MRU.2.
8c
m
a
UMI = a
IMR et a
MRI =a
IRU , donc I est le point d’intersection des…, 3. a
MUI =35° 4. a
MIU =120° Ex.14 :
C
B
10 c m
45°
A
A
B
C
C
B
A
C
Quatrième – Chapitre XXVI : Distance, Bissectrices
et cercle inscrit - Page
10 10
sur
Ex.15 :Tracer …le cercle d’abord !Ex.16 :
I
A
B
Ex.17 : a. Oui b. Oui (car le triangle est …) c. Oui (car le triangle …) d. Oui
commence par tracer la perpendiculaire à (AB) passant par P, puis le cercle de centre P…
C
P
A
B
Ex.18 :