Chapitre XXVI : Distance, bissectrice et cercle inscrit

Quatrième – Chapitre XXVI : Distance, Bissectrices et cercle inscrit - Page 1 sur 10
Chapitre XXVI : Distance, bissectrice et cercle inscrit
a. 4
ème
: [Pas dans le socle commun] savoir où est situé le point d’une droite le plus
proche d’un point donné.
Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=2742
Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=2744
Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=2746
Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=2745
Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=2748
b. 4
ème
: [Abordable en 6
ème
] connaître et utiliser la définition de la bissectrice.
Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=156
Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=157
c. 4
ème
: [Pas dans le socle commun] savoir construire la bissectrice d’un angle.
Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=158
d. 4
ème
: [Pas dans le socle commun] savoir et utiliser la propriété d’équidistance des
points de la bissectrice.
Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=2748
e. 4
ème
: [Pas dans le socle commun] savoir construire le cercle inscrit dans un triangle.
Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=2750
Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=2751
Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=2752
Exercice n°1 (Source Sésamath)
Trouve le plus court chemin
1. Conjecture a. De la rive gauche d'un fleuve, Alexia crie à Hamid qui est
assis de l'autre côté du fleuve qu'elle ne sait pas nager. Trop
éloigné d'elle, Hamid l'entend très mal. Reproduis le schéma
ci-contre en plaçant Hamid (représenté par le point H ) sur
la rive droite au plus près d'Alexia, à l’aide d’instrument
de géométrie.
b. Explique précisément comment tu as placé le point H sur ton schéma.
2. Démonstration et définition
a. Sur le schéma précédent où H est placé comme indiqué à la question 1., place sur la
rive droite un point L distinct de H . Quelle est la nature du triangle AHL ?
b. Que peux-tu en déduire concernant les longueurs des segments [AH] et [AL] ?
Justifie.
c. Recopie et complète les phrases suivantes :
« La distance d'un point A à une droite (d) est la longueur du segment [AH] où H est le
pied de la ... relative à ... passant par ... . C'est la plus courte des distances entre ... et
... . ».
A
H
rive gauche
rive droite

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♥ Cours n°1 ♥
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Cours à compléter , à montrer au professeur puis, s’il est validé, à recopier
intégralement dans le cahier de cours, sans rien oublier
Chapitre XXVI : Distance d’un point à une droite, bissectrice et cercle
inscrit
I) Distance d’un point à une droite
Définition n°1 :
La distance d’un point A à une droite (d) est la distance …………………… qui
sépare ce point A des points de la droite (d).
Propriété n°1 :
La distance d’un point A à une droite (d) est la distance AH, où H est le point
d’intersection de (d) avec la p………………………………………. à (d) passant
par ………
Exemple n°1
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♥ Fin du Cours n°1 ♥
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Apprentissage du cours
Copier les savoirs, de mémoire, 6 fois, sur une feuille de brouillon, en « accordéon ».
COLLER LES ACCORDEONS SUR LE CAHIER D’EXERCICES OU DE COURS.
Recopier le cours dans son cahier de cours (A LA MAISON ! )
AH est la distance de A à
(
d
)
.
Placez H sur la figure
(d)
A

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Contrôle du savoir faire
Refaites les exemples du savoir faire sur votre cahier d’exercices, sans regarder le cahier de cours, puis
contrôlez que vous avez juste.
Exemple n°1
Exercice n°2 (Source : Sésamath)
Observe, recopie et complète :
a. La distance du point S à la droite (LT) est ... .
b. La distance du point T à la droite ... est 6 cm.
c. Le point ... est situé à 10,5 cm de la droite ... .
d. Le point ... est situé à ... de la droite (RF).
e. La distance du point E à la droite (NR) est
comprise entre ... et ... .
Exercice n°3 (Source : Sésamath)
a. Sur ton cahier, trace deux droites (m) et (d)
ainsi qu'un point P, comme sur le dessin.
b. Jean, debout sur la digue, veut aller se baigner
mais il doit d'abord passer par le parasol (au
point P) pour prévenir ses parents. Représente
sur ton schéma le trajet que Jean doit emprunter
afin de marcher le moins longtemps sur le sable
rendu brûlant par les rayons du Soleil.
Exercice n°4 (Source : Sésamath)
1. Trace un segment [MN] de longueur 7 cm.
2. Place trois points S, T et U situés à 5 cm de la droite (MN) et tels que les triangles MNS, MNT et MNU
soient respectivement rectangle, quelconque et isocèle.
3. Calcule l'aire de chacun de ces triangles.
Exercice n°5 (Source : Sésamath)
Un point M étant donné, construis trois droites (d
1
), (d
2
) et (d
3
) telles que M soit situé à
4 cm de chacune d'entre elles.
Exercice n°6 (Source : Sésamath)
Calcule la distance du point H à la droite (KC) sachant que l'aire du triangle CHK vaut
7,2 cm².
6 cm
L
T
S
8 cm
10 cm
6 cm
F
R
E
N
10,5 cm
13,5 cm
(m)
(d)
P
C
K
H
4,8 cm
(d)
AH est la distance de A à
(
d
)
.
Placez H sur la figure
A

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En cas de « trou de mémoire », on peut rechercher la définition de bissectrice sur internet.
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♥ Cours n°2 ♥
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Cours à compléter , à montrer au professeur puis, s’il est validé, à recopier
intégralement dans le cahier de cours, sans rien oublier
II) Bissectrice d’un angle
Définition n°2 :
La bissectrice (b) d’un angle d αest l’axe de …………………… de cet angle.
Propriété n°2 :
La bissectrice (b) d’un angle d αest la droite qui partage cet angle en
………………… ……………………….. ……… …………………….
……………………….
Démonstration :
Données :
On considère que (OB) est la bissectrice de l’angle
a
AOC .
Exemple n°2
propriété n°3 :
Tout point de la bissectrice est à é………….. d…………………. des
c……………….. de l’angle.
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♥ Fin du Cours n°2 ♥
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Apprentissage du cours
Copier les savoirs, de mémoire, 6 fois, sur une feuille de brouillon, en « accordéon ».
COLLER LES ACCORDEONS SUR LE CAHIER D’EXERCICES OU DE COURS.
Recopier le cours dans son cahier de cours (A LA MAISON ! )
On sait que : (OB) est la …………..... de
a
AOC .
Donc, d’après la définition, (OB) est ………..
……………. …… …………………….. l’angle
a
AOC .
Donc
a
AOB est le …………………. de l’angle
a
BOC .
Or le ………………… d’un angle est un angle
de …………………. ………………………..
Donc
a
AOB =………….
Construisez la bissectrice (b) de l’angle
a
AOB :
1. Tracez un cercle de centre O . Il
coupe les côtés de l’angle en deux
points.
2. Tracez deux autres cercles, de centre
chacun de ces points, de même rayon.
Ils se recoupent en deux points.
3. Tracez la droite qui joint un de ces
deux points à O .
O
A
B
C
B
O
A

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Contrôle du savoir faire
Refaites les exemples du savoir faire sur votre cahier d’exercices, sans regarder le cahier de cours, puis
contrôlez que vous avez juste.
Exemple n°3
Exercice n°7
Découpe et remets dans l’ordre cette démonstration :
t. On sait que (CA) est la bissectrice de
a
DAB .
u. Or la bissectrice d’un angle est l’axe de symétrie de cet angle.
a. Donc [BC] est le symétrique de [DC]
s. Or le symétrique d’un segment est un segment de même longueur.
t. Donc BC = DC .
r. On sait que ( BC) et (AB) sont perpendiculaires.
o. Or la distance d’un point A à une droite (d) est la longueur du segment
joignant A à H, H étant le pied de la perpendiculaire à (d) passant par A .
u. Donc, BC est la distance de C à la droite (AB) .
é. De même, DC est la distance de C à la droite (AD) .
!. Donc C est à égale distance des droites (AB) et (AD ).
On a démontré que tout point de la bissectrice est à égale distance des côtés
de l’angle qu’elle sépare.
A B
C
D
Construisez la bissectrice (b) de l’angle
a
AOB :
B
O
A