Recherche du plus grand diviseur commun avec un tableur

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Recherche du plus grand diviseur commun avec un tableur comparaison des méthodes
I- A partir de la liste des diviseurs :
Ouvre le répertoire maths puis le fichier pgcd. Enregistre ce fichier dans ton répertoire privé sous
le nom pgcd.
Affiche à l’écran la feuille de classeur intitulé recherche de diviseurs puis trouve le pgcd de 156
et de 78 puis celui de 96 et 102 puis celui de 165 et 182.
II- A l’aide de l’algorithme des différences :
propriété (admise) :
si a et b sont deux nombres entiers positifs avec a>b alors pgcd(a ;b) = pgcd(b ;a-b).
Il s’agit d’utiliser cette propriété pour comprendre l’algorithme des différences.
a) Affiche à l’écran la feuille de classeur intitulée algorithme des différences. A l’aide de cet
algorithme et de la propriété énoncée ci-dessus, complète :
pgcd(636 ; 371) = pgcd ( ; ) = pgcd ( ; ) = pgcd ( ; )
= pgcd ( ; ) = pgcd ( ; ) = pgcd ( ; )
= pgcd ( ; ) = pgcd ( ; )
En déduire le pgcd de 636 et de 371 : …………………………….
b) En t’aidant du modèle de a) et en détaillant ou non ton raisonnement, trouve le pgcd(877 ;531)
c) Où peut-on stopper l’algorithme et lire directement la valeur du pgcd ?……………………..
……………………………………………………………………………………………………..
a et b sont deux entiers donnés
oui
non
a et b sont égaux au
PGCD cherché
Calculer la différence a - b
Remplacer le plus grand nombre a par la
différence
Ranger a et b tels que a>b sont-ils
a et b sont-ils égaux ?
Recherche du PGCD de deux entiers
par l’algorithme de soustractions
successives

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III- A l’aide de l’algorithme d’Euclide.
propriété (admise) :
si a et b sont deux nombres entiers positifs, non nuls avec a>b on a pgcd(a ;b) = pgcd(b ; r) où r
est le reste de la division euclidienne de a par b.
Il s’agit d’utiliser cette propriété pour comprendre l’algorithme
a) Affiche à l’écran la feuille de classeur intitulée algorithme d’Euclide. A l’aide de cet
algorithme et de la propriété énoncée ci-dessus, complète :
pgcd(875 ; 93) = pgcd ( ; ) = pgcd ( ; ) = pgcd ( ; )
= pgcd ( ; )
En déduire le pgcd de 875 et de 93 :……………………….
b) En t’aidant du modèle de a) et en détaillant ou non ton raisonnement, trouve le pgcd(878 ;542)
IV- Comparaison des différentes méthodes d’obtention du pgcd :
Teste les 3 méthodes avec les nombres de ton choix et rédige une conclusion sur l’efficacité de
ces méthodes. Tu peux utiliser la feuille comparaison des algorithmes.
Quelle méthode préférerais-tu utiliser sur papier avec deux nombres :
- inférieurs à 100 ? ………………………………………………………………
- supérieurs à 100 ?…………………………………………………………………
a et b sont deux entiers donnés (a > b)
Calculer le reste r de la
division euclidienne de a par
b
r = 0 ?
oui
non
b est le
PGCD
cherché
remplacer
a par b
et
b par r
Recherche du PGCD de deux entiers par l’algorithme d’Euclide

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V- Programmation :
1 Ouvre un nouveau classeur puis enregistre le sous le nom programmepgcd.
Réalise un tableau avec la valeur d’un nombre entier dans une première colonne, la valeur d’un
autre entier dans une deuxième colonne puis la valeur du PGCD dans une troisième colonne.
Pour cela tu utiliseras la fonction = PGCD(cellule ;cellule).
Pour savoir si ta programmation est correcte, entre les nombres utilisés dans les paragraphes
précédents et observe le pgcd trouvé.
2 Objectif à partir du schéma suivant programmer le l’algorithme des différences
a et b entiers
naturels avec
a > b .
Calcul de la
différence
a - b
La
différence
est nulle.
oui
Le PGCD
est égal à
b .
a prend la valeur
de MAX(
b ; a - b ).
b prend la valeur
de MIN(
b ; a - b ).
non
Tu vas utiliser une feuille de calcul pour programmer cet algorithme.
 Complète le tableau en prenant exemple sur la copie d'écran ci-dessus
La cellule A5 doit accueillir le nombre le plus grand entre a et b et la cellule B5
le nombre le plus petit entre a et b.
 Utilise l'aide du logiciel pour trouver quelles sont les fonctions qui permettent de calculer
le maximum ou le minimum de deux nombres. Complète alors ces cellules en utilisant
les fonctions trouvées.
 À toi de remplir la formule pour la cellule C5. L’écrire ci dessous
 Complète maintenant les cellules A6, B6 et C6. Ecrire les formules ci dessous
 Tu peux alors sélectionner les cellules A6, B6 et C6, et les recopier vers le bas en
utilisant la poignée de recopie située en bas à droite de la cellule C6.
 En utilisant ta feuille de calculs, détermine les PGCD des couples de nombres suivants :
3 608 et 2 870 ; 939 et 591 ; 518 et 184 ; 254 et 77.

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3 Objectif à partir du schéma ci-dessous programmer l’algorithme d’Euclide
Travail préliminaire.
Nommer une nouvelle feuille Euclide. On considère deux nombres placés dans les cellules B1 et D1.
1) Ecrire la formule permettant de déterminer la plus grande des deux valeurs. Elle sera placée en cellule B3.
2) Ecrire la formule permettant de déterminer la plus petite des deux valeurs. Elle sera placée en cellule D3.
3) Donner la formule permettant de déterminer le quotient entier de deux valeurs situées dans les cellules B3 et
D3.
4) Donner la formule permettant de déterminer le reste entier de la division euclidienne des deux valeurs situées
dans les cellules B3 et D3. Elle sera écrite en H3.
Application au tableur.
Les deux nombres dont on cherche le PGCD sont placés dans les cellules B1 et D1.
Ecrire une succession de divisions euclidiennes (jusqu'à la ligne 70) permettant de déterminer le PGCD des
deux nombres selon l'algorithme d'Euclide.
La présentation devant être claire, le dividende s'écrira dans la colonne B, le signe d'égalité en colonne C, le
diviseur dans la colonne D, le signe de multiplication en colonne E, le quotient en colonne F, le signe d'addition
en colonne G, et le reste en colonne H
Application numérique
Quel est le PGCD de 65478 et 32145.? .....................................................................................................
Combien a-t-il fallu d'étapes ? ..................................................................................................................
Quel est le PGCD de 329 et 1456 ? ...........................................................................................................
Combien a-t-il fallu d'étapes ? ..................................................................................................................
Que remarquez-vous ? Quel est le souci de rédaction qui se présente ? pour les plus rapides comment y remédier
observez pour cela le classeur pgcd utilisé au début de ce tp..
tb td ti d é ( >b)
Calculer le reste r de la
division euclidienne de a
r
=
0
?
oui
non
b est le
PGCD
remplacer
a par b
et
b
Recherche du
PGCD
de deux entiers par l
’
algorithme d
’
Euclide