Généralités sur les espaces fibrés

Séminaire Henri Cartan
H. C ARTAN
Généralités sur les espaces fibrés
Séminaire Henri Cartan, tome 2 (1949-1950), exp. no 8 bis, p. 1-6.
<http://www.numdam.org/item?id=SHC_1949-1950__2__A9_0>
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8 bis-01
1949/500
Séminaire Ho CARTAN,
GÉNÉRALITÉS SUR
(Appendice,
Il
de
s’agit
compléter,
sur
FIBRES
LES ESPACES
CARTAN)
par H. CARTAN
certains
exposés antérieurs
les 3
points,
(6, 7, 8).
’
1.-
Espace fibré à groupe structural.
On
a
défini cette notion
groupe structural
G
est
un
(6, pages 9 et suivantes) dans le cas
groupe topologique (qui opère à gauche
où le
dans la
F ). Nous allons donner une définition valable pour le cas où G est
un groupe d’homéomorphismes de
F, sur lequel on ne considère aucune topologie (il n’y aura donc pas d’espace fibre principal correspondant à un espace
fibre de groupe structural G ).
fibre
’
La
définition est essentiellement celle donnée page 9
i
homéomorphesà
de
F,
en se
on
étant donné
définit
donnant
sur
(images réciproques
base
B ),
1)
quent
une
des
2) si
parcourt G
et
E,
un
B,
de base
G
groupe
structure d’espace fibre
B , l’ensemble
non vide ;
se compose des
H
G
à groupe structural
fibres de
E
de
E
sur sa
.
x E
est
de fibres
d’homéomorphismes
d’homéomorphismes de F sur les
points de B, pour la ~projection~ p
point
p" (x)
sur
fibre
H
de manière quei
Pour tout
F
E
ensemble
un
espace
topologique F,
espace
un
un
(exposé 6).
H~
des éléments de
applications composées
H
h
o
qui applig , où
g
.
(Les éléments
de
G
sont écrits
comme
opérant
à
gauche
sur
F ).
muni d’un groupe
et H
structural G , G étant le groupe de tous les homéomorphismes de F ~
étant l’ensemble de tous les homéomorphismes de F sur les fibres de E
Remarque :
tout espace fibre
peut être considéré
comme
o
d’espaces fibres à groupe structural. Soient E et E’
respectivement, de même fibre F ,
deux espaces fibres, de bases B et B’
les ensembles d’applicade même groupe structural G, et soient H et H’
tions de
F
(dans
E
et
E’
respectivement)
définissant les structures de
E
et
de
6~
E’ . Un
page
1) qui
E
de
homomorphisme
9
satisfasse
en
outre
appartient à H’
définissant l’ homomorphisme
h ~ H , f
que
dans
En
h
o
particuliery si
E’
Soit
un
espace
en
sera un
question)
o
B-isomorphisme. Elle est
définition générale d’un isomorphisme de structures.
B =
d’ailleurs conforme à la
homomorphisme (au sens
à la condition suivante ~g chaque fois
(on désigne par f l’application de E
E’
dans
la notion de
on a
o
fibré de base
homéomorphes à F,
F )o On sait que toute
de
de fibres
B’ ~
(groupe d’homéomorphismes de
application continue ~ d’un espace B dans B’ définit un espace fibré de
base B , de fibres homéomorphes à F , appelé image réciproque de l’espace
groupe structural
G
E’ . Sur cet espace
structural
dans
E
E 9
définition,
G ~ par
tels que
E’ ). Ainsi~
définit
on
f
o
structure d’espace fibré à groupe
homéomorphismes
est l’ensemble des
H
F
de
(on désigne par
d’image réciproque
l’application de E dans
d’une structure d’espace fibré
est
de
h ~ H’
la notion
on a
une
f
à groupe structural.
En
particulier,
si
B
un
structure induite ; l’image réciproque que
le "sous-espace de E’ situé au-dessus de
2.-
B’ ,
la notion de
on a
l’on obtient ainsi
la
partie
B
souvent
s’appelle
".
B’
de la base
Espace triviale espace localement trivial.
désignant l’espace-produit
E
Hx
l’ensemble des applications
court le groupe
B
sur
x
F,
une
espace est dit
B ,
de fibres
existe
un
de
sur
E
existe
un
tions" de
B
y ~
d’homécmorphismes
G
x
F , soit,
pour
(x ~ goy)
de
F ).
de
La
chaque point x
F danK E ~9 (g
réunion
H
B ,
~
par-
H x définit,
des
d’espace fibré à groupe structural G Un tel
D’une manière générale, un espace fibré E 9 de base
structure
o
trivial.
homéomorphes
à
de groupe structural
F,
G9
est
trivial
s’il
B-isomorphisme (au sens des espaces fibres à groupe structural G )
l’espace trivial B x F précédemment défini. Autrement dit, s’il
homéomorphisme
ces
l’espace E )
f
de
B
x
F
E , compatible
sur
H x (relatif à la
y ..~... - f(x , g.y) de
2 espaces, et tel que l’ensemble
se
compose des
les
avec
applications
"proj ec-
structure de
F
dans
(g parcourant G)
o
De la notion
ment
trivial :
voisinage
E
.
d’espace triviale
on
déduit aussitôt celle d’espace
est localement trivial si
au-dessus
E
duquel
E
chaque point de
B
désignant
tel
est trivial U
0
un
localepossède un
voisinage
les
U
de
isomorphismes
Remarque :i
F
x
des "cartes locales".
(au
6p
de
sens
homéomorphismes
comme
a
groupe de
F .
de
Etant donné deux cartes locales au-dessus du même sous-espace
comment s’effectue le
(x, y)
=
( x ~ y) -,°,~ ( x 9 ( g ( x ) ) 1 y ) p
g(x).y et (x , y) --~
B
continues de
de
dans
B
(x , y)
G
x
F
dans
F.
groupe structural
est
g(x).y
~.~(U p
G)
=
automorphisme
applications
B
x
continuité,
alors
de
U
dans
U
de
G y telles
soient des fonctions continues
le
avec
o
B 9
que
U
sur
x
F .
définie par
g’ g"
g =
g’(x)
g(x)
.~..,.~,
F J compatible
x
tout sous-espace
envisager? pour
applications g
et
gn(x)
(produit d’éléments
structure de
une
L’automorphisme
applications
l’application
de
où
.
des
La loi de composition
sur
si
o
~~~(U 9 G)
g(x)
Réciproquement,
un
fibré,
(x , g(x).y) ,
sont donc des
G
On est ainsi conduit à
l’ensemble
B,
G .
Les deux
satisfait à cette double condition de
(x , g(x),y)
.~..~.
.~-.=~
le groupe
est
2014~
de
est la base d’un tel espace
o
(x , y)
U
de cartes ? Tout revient à étudier les auto-
changement
morphismes d’un espace fibré trivial Si B
B x F a la forme
tout automorphisme de E
x -~~
g(x) est une application de B dans
réciproque
4),
page
priori, peut toujours être considéré
quand on prend comme groupe structural le
espace localement trivial
tous les
s’appellent
espace fibré localement trivial
un
groupe structural donné
sans
p ~~ ( U )
sur
et
ce
du groupe
groupe est
G)
isomorphe
définit
au
groupe
automorphismes de U x F ("automorphismes" pour la structure d’espace
fibre à groupe structural G ) .
des
’
théorème
3 . - Un
On
a vu
prolonger
fondamental.
dans
l’exposé 1
un
théorème important (théorème 1) qui permet de
les
homotopies d’applications continues. Ici, au lieu d’applications
continues d’un espace B dans un espace topologique? considérons les applications de B dans un groupe G d’homéomorphismes de F 9 qui appartiennent à
l’ensemble ~~’~ (B 9 G) qu’on a défini ci-dessus. Relativement à ces applications 9
on a un théorème de prolongement~ analogue au théorème 1 de l’exposé 1 :1
Lemme : Soient
un
voisinage
B
ouvert de
un
espace
A
dans
normal, A un sous-espace, fermé de B ~ A’
B. En désignant par I le segment [0 , 1 ~ 9
application u E ~~3(C’ 9 G) ~ il
G) qui prolonge la restriction de
plus haut, un groupe d’homéomorphismes d’un
6
v
comme
La démonstration de
continue définie
le
et
t ~
de
il
I,
de fibre
une
structure
ral
G . La
par
( x 9 t)
E’
=
de
projection
0
E
une
fonction
aux
espaces fibrés à
l’exposé 8 (page 5)
1 de l’exposé 8) sera
qui va être exposé maintenant.
4 de
o
l’énoncer, précisons commenta E étant un espace fibré (de base
F ) à groupe structural G 9 on définit sur le produit E x I
de fibre F ) à groupe structud’espace fibré (de base B
Avant de
dans
du théorème fondamental
conséquence
B ,
(G désigne,
C.
soit À (x)
précédent va permettre de généraliser
groupe structural (au sens entendu ici) le théorème
Le théorème de"relèvement des homotopies" (théorème
une
application
espace
Le lemme
alors
à
u
lemme est immédiates
ce
une
B, à valeurs dans I 9 égale à 1 sur A et à 0 dans
At ; u étant définie comme fonction des variables
suffit de prendre
sur
complémentaire
x ~ B
existe
toute
Alors,pour
.~...~
x
il
I~
se
h ;: ~ H
dans
E
x
I
sur sa
base
B
x
I
t) ; quant
à l’ensemble
H’
compose des
applications
un point fixe
y
et
t
est
Théorème fondamental.- Soit
E’
un
espace
du
est évidemment définie
d’homéomorphismes de
(h(y) , t) de F
segment 1 = [0 , 1 ]
fibré
o
de
fibre F 9 de groupe
B x I (où B
structural G ~ supposons que la bas e de E’
est un espace localementcompact et paracompact, et I le segment
et que E’ soit localement trivial. Alors E’ est (B x
produit E x I p où E est un espace fibré localement triviale de
G 9 de base B .
Démonstration
de
B
déjà
x
{0~ .
On
abrégée :ô
va
soit
montrer que
E
E’
le sous-espace de
est
(B
x
F
E’
I)-isomorphe
fibre
F 9
situé au-dessus
à
E x 1 . Or
o
on
isomorphisme canonique de E sur E x -~O! ~ il reste à montrer que
cet isomorphisme se prolonge en un isomorphisme de E’ tout entier sur E xI.
Le problème de prolongement d’isomorphisme que l’on a ainsi à résoudre est
analogue au problème de prolongement de section que l’on a résolu pour démontrer le théorème du relèvement des homotopies (exposé 8~ théorème 1)0 La démonstration procède de même~ sauf qu’à la fin de la démonstration, au lieu de se
a
un
référer
théorème de prolongement d’applications continues (théorème 1 de
l)~ on se réfère ici au lemme ci-dessus du présent exposé.
au
l’exposé
40-
e
Le théorème du relèvement des
homotopies
De plus°
du théorème fondamental ci-dessuso
Théorème 2.groupe structural
applications
deux
E’
Soit
un
fibré,
espace
G 3 supposons
E’
est évidemment
localement trivial Soient
continues d’un espace
0
B
fibres (localement triviaux) de base
structural
G 9 images réciproques de E’ par.
sont homotopes, alors les espaces
l’isomorphie des espaces fibrés à
B est supposé localement compact
1 et f2
de
sens
de dire que
En
B
de
nue
et 03C62
effet,
I
x
dans
l’espace fibré
sont homotopes,
0)
telle
B’ ~
et soient
dans
conséquence
F ~9
de
~1
et
~
E~
et
E~
de fibre
de base
les espaces
(au
une
B’ ,
B 9 de
fibre
r1 et f2
E1 et E2
F 9 de groupe
respectivementG Si
sont B-isomorphes
On
et
oublié
paracompact.
une
application conti-
et
~(x ~ 1 ) ~ ’r’ (x) .
soit 03C6
=
a
y 1 (x)
o
I 9 image réciproque de E’ pour l’application 03C6 . D’après le théorème fondamentale E est isomorphe à un produit
E x I 9 d’où il résulte aussitôt que
El et E2 sont isomorphes à E ~ et
Soit
E
de base
B
x
o
ceci démontre le théorème,
5.-
différentiables.
Théorie des
On suppose que
différentiables (1,et
tion"
p
de
chacune des
E
sur
k fois
B
est
de l’ensemble
applications
fibré à groupe structural G
différentiables de F ) . On
0
différentiables ;
que
des
(paracompactes) k fois
continûment différentiables), et que la "pro j eck fois continûment différentiable, ainsi que
sont des variétés
F
E , B ,
que des
(G étant
ne
H
qui définit la structure d’espace
un
groupe
considérera que
isomorphismes qui
sont
d’homéomorphismes
des homomorphismes
k
k
k
fois
fois
fois différentiables ainsi
l’isomorphisme réciproque. Ceci conduit à introduire l’ensemble
applications g de B dans G 9 telles que les applications
soient des
tre alors
applications
un
k
fois différentiables de
lemme tout à fait
Ce lemme conduit de même à
un
analogue
au
lemme du
théorème analogue
au
B
x
F
dans
G)
F . On démon-
paragraphe 3(ci-dessus)o
théorème fondamental
8 bis-06
(paragraphe 3)~
mais où il
s’agit d’isomorphismes pour les structures k fois
différentiables. Ce théorème, à son tour, comporte des conséquences analogues,
telles que, par exemple, le relèvement différentiable des homotopies diffé rentiables.
N.Bo- Noter que le théorème 2 entraîne le théorème de FELDBAU %
si
de
.
B ~ localement compact et paracompact, est contractile 3 tout espace fibré
base B 9 localement triviale est trivial (au sens des espaces fibrés à
groupe structural).
De
même,
si
B
est
une
variété différentiable et diffé-
contractile, tout espace fibré différentiable, de base B 9
localement triviale est trivial (au sens des espaces fibrés différentiables,
rentiablement
éventuellement à groupe structural).