PGCD et algorithme d`Euclide

1 - Définition du PGCD
2 - Recherche du PGCD par soustractions successives
3 - Recherche du PGCD par l'algorithme d'Euclide
Application: Déterminer le PGCD par l'algorithme d'Euclide.
Exemple: On reprend les nombres 936 et 624.
Le dernier reste non nul est le PGCD donc PGCD
(
936, 624
)
= 312.
Remarque: Si n est un diviseur de m alors dès la 1ère division, on obtient m = n × q + 0; PGCD (m, n) = n.
936 624
312 1
PGCD et algorithme d'Euclide
www.mathmaurer.com – Cours – 3ème
624 312
0 1
Propriété 1: Si m et n sont premiers entre eux alors PGCD (m, n) = 1.
Réciproquement, si PGCD (m, n) = 1 alors m et n sont premiers entre eux.
Définition 1: On appelle PGCD le plus grand diviseur commun de deux nombres entiers positifs.
Propriété 2: Si a et b sont deux entiers positifs tels que a > b alors PGCD (a, b) = PGCD (a – b, b).
Propriété 3: Si m n q r avec r n alors PGCD(m,n) PGCD(n,r)  
Le plus grand diviseur de 8 et 12 est 4 donc PGCD (8, 12) = 4.
Application: Déterminer le PGCD par soustractions successives.
Exemple: Déterminer le PGCD de 936 et 624.
936 > 624 donc PGCD (936, 624) = PGCD (936 – 624, 624) = PGCD (312, 624)
624 > 312 donc PGCD (624, 312) = PGCD (624 – 312, 312) = PGCD (312, 312)
De manière évidente, PGCD (312, 312) = 312
Donc PGCD (936, 624) = 312.
Vérificatio
n
: 936 = 312 ´ 3 et 624 = 312 ´2
936 = 624 ´ 1 + 312
624 = 312 ´ 2 + 0

4 - Utilisation du PGCD
Définition 2: On dit qu'une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont
premiers entre eux.
La fraction 14
15
est irréductible. En effet, PGCD (15, 14) = 1.
Remarque: Rendre une fraction irréductible est très utile lorsqu'on fait des additions ou des soustractions de
fractions.
En effet, cela permet d'éviter d'avoir des dénominateurs qui deviennent très grands et donc très
difficiles à manipuler dans les calculs.
Application: 1 - Rendre une fraction irréductible.
Exemple: Simplifier la fraction 624
936 jusqu'à la rendre irréductible.
On calcule : PGCD (624, 936) = 312 donc 624 2 312
936
3 312
2
3
Application: 2 - Méthode de calcul améliorée pour les additions et les soustractions de fractions.
Exemple: Calculer 57
52 78
On calcule : PGCD (52, 78) = 26
En effectuant les divisions euclidiennes de 52 et 78 par PGCD (52, 78), on obtient:
52 = 2 × 26 et 78 = 3 × 26 d'où 57 5 7
52 78 2 26 3 26
Le plus petit dénominateur commun de ces deux fractions est donc 2 × 3 × 26. On obtient:
5 7 5 7 5 3 7 2 15 14 15 14 29
52 78 2 26 3 26 2 26 3 3 26 2 156 156 156 156