Chapitre Opérations avec des nombres décimaux

Chapitre
Opérations avec des nombres décimaux
➢Division d’un nombre décimal par un entier.
➢Multiplier un nombre par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; ...etc.
➢Multiplier un nombre décimal par un nombre décimal.
➢Choisir les opérations qui conviennent au traitement de la situation étudiée.
➢Savoir effectuer ces opérations sous diverses formes de calcul : mental, à la
main ou instrumenté.
➢Connaître la signification du vocabulaire associé : somme, différence, produit,
terme, facteur, dividende, diviseur, quotient, reste.
➢Établir un ordre de grandeur d’une somme, d’une différence, d’un produit.
Remarques :
Notions étudiées en CM2 :
➢Additions de décimaux .
➢Multiplication d’un nombre décimal par 10, 100, 1 000 ...etc .
➢Division d’un nombre décimal par 10, 100, 1 000 ...etc.
➢Tables d’addition et de multiplication et les résultats qui en dérivent.

Chapitre Opérations avec des nombres décimaux
1) Ordres de grandeur pour une addition :
a) Méthode:
Pour obtenir un ordre de grandeur d’une somme :
➢on remplace chacun des termes de la somme par un autre nombre à la fois proche et facile à
utiliser en calcul mental ;
➢on effectue l’addition avec ces nombres ;
➢on obtient un résultat proche du résultat exact.
Ce nombre est un ordre de grandeur de la somme.
Exemple :
Si on veut avoir un ordre de grandeur de la somme 32,14 + 397 + 204,3 ;
on peut calculer 30 + 400 + 200 = 630.
On dira que le nombre est un ordre de grandeur de la somme.
b) Remarques :
➢On procède de la même manière pour trouver un ordre de grandeur d’une différence.
➢Plusieurs ordres de grandeur sont possibles pour un même résultat.
Exemple :
Pour calculer un ordre de grandeur de
83,1237,234 −
; on peut calculer mentalement :
111124235 =−
(on arrondit les termes de la soustraction à l’unité)
110120230 =−
(on arrondit les termes de la soustraction à la dizaine)
100100200 =−
(on arrondit les termes de la soustraction à la centaine)
100110;111 et
sont des ordres de grandeur différents de
83,1237,234 −
.
87,110
est le résultat exact, calculé en posant l’opération.
c) Utilisations :
On peut rechercher un ordre de grandeur du résultat d’une opération pour :
➢prévoir un résultat : on peut avoir rapidement une idée approximative d’un résultat sans
effectuer le calcul exact ;
➢vérifier le résultat d’une opération, même effectuée à la calculatrice.
Exemple :
Jean a écrit :
« 234,87 + 78,7 + 987,534 = 2 367,654 »
Un ordre de grandeur de cette somme est : 230 + 80 +1 000 = 1 310 .
Le résultat proposé par Jean est trop éloigné de l’ordre de grandeur ;
comme le calcul de l’ordre de grandeur est juste ;
on peut en déduire rapidement que Jean s’est trompé dans son calcul.
74,32
383,21-
780,11

2) Multiplications de nombres décimaux :
a) Multiplier par 10 ,100, 1 000, ...etc: (rappels CM2)
Pour multiplier par On décale la virgule de Exemples
10 1 rang vers la droite
0,54 ×10 =5,4
100 2 rangs vers la droite
125×100=12 500
1 000 3 rangs vers la droite
45,75×1 000=45 750
10 000 4 rangs vers la droite
0,02×10 000=200
Remarques:
Pour tout nombre décimal a :
0×a=a×0=0et 1×a=a×1=a
Exemples :
236 358×0=0
2,689×1=2,689
b) Multiplier un entier par un nombre inférieur à 1 :
Pour multiplier par On décale la virgule de Exemples
0,1 1 rang vers la gauche
32×0,1=3,2
0,01 2 rangs vers la gauche
125×0,01=1,25
0,001 3 rangs vers la gauche
2010×0,001=2,010
Exemples :
48×0,1 =48×1
10 =48 10 =4,8
(multiplier par 0,1 revient donc à diviser le nombre par 10)
530×0,01=530×1
100 =530 100 =5,3
(multiplier par 0,01 revient donc à diviser le nombre par 100)
256×0,001=256×1
1 000 =256 1 000 =0,256
(multiplier par 0,001 revient donc à diviser le nombre par 1 000)
5×0,9=5×9×0,1 =5×9× 0,1=45×0,1=4,5
c) Remarque importante sur la multiplication :
On n’augmente pas toujours la valeur d’un nombre en le multipliant .
Exemples :
On diminue la valeur d’un nombre positif en le multipliant par un nombre compris entre 0 et 1 .
8,4481,0 =×
; quand on multiplie 48 par 0,1
<
1, le produit obtenu 4,8 est inférieur à 48.
5,459,0 =×
; quand on multiplie 5 par 0,9
<
1, le produit obtenu 4,5 est inférieur à 5.

432,
×21,
864
.432
8082,
+
× 100
× 10
: 1 000
432
×21
864
432
8082
× 10
× 10
: 100
++
× 10
× 1 000
: 10 000
3200,
×50,
51100,
32
×5
511
B=0,023×0,5 =0,011 5
d) Multiplier deux nombres décimaux :
Exemple : Effectue la multiplication de 2,34 par 1,2.
Méthode:
➢On pose l'opération comme s'il s'agissait de nombres entiers.
➢On effectue la multiplication de 234 par 12 sans tenir compte des virgules.
➢234 est 100 fois plus grand que 2,34
➢12 est 10 fois plus grand que 1,2.
➢Le produit 2,34 × 1,2 est donc 1 000 fois plus petit que 2 808.
➢Pour obtenir le résultat, on effectue donc la division 2 808 : 1 000.
Pour diviser par 1 000, on décale la virgule de 3 rangs vers la gauche.
Finalement 2,34 × 1,2 = 2,808.
Exemples :
A=13,5×25,2=340,20
+
53,1
×25,2
072
576
072
020,43
531
×252
072
576
072
02043

21,18×60,35
On peut permuter les facteurs de la multiplication et
les regrouper astucieusement
20×60=1 200
11×2=22
10,8×2,3
3) Organisation d’un calcul
On peut modifier l’ordre des facteurs d’une multiplication et les regrouper sans que cela change la
valeur du produit.
On peut ainsi simplifier certains calculs.
Exemples :
A=2,75×5×2,5 ×2×4=2,75×5×2 ×2,5 ×4 =2,75×10×10=2,75×100 =275
.
B=2,2×0,6 =22×0,1×6×0,1
B=22 ×6×0,1×0,1=132×0,01=1,32
4) Ordres de grandeur pour une multiplication :
Méthode:
Pour obtenir un ordre de grandeur d’un produit :
➢on remplace chacun des facteurs par un autre nombre à la fois proche et facile à utiliser en calcul
mental ;
➢on effectue la multiplication avec ces nombres ;
➢on obtient un résultat proche du produit exact.
Ce nombre est un ordre de grandeur du produit.
Exemples :
Déterminer un ordre de grandeur du produit
➢21,18 est proche de 20 et 60,35 est proche de 60
➢on peut calculer mentalement:
➢un ordre de grandeur de
21,18×60,35
est donc 1 200 .
Déterminer un ordre de grandeur du produit
➢10,8 est proche de 11 et 2,3 est proche de 2
➢on peut calculer mentalement:
➢un ordre de grandeur de
10,8×2,3
est donc 22 .