Chapitre Opérations avec des nombres décimaux

Chapitre
Opérations avec des nombres décimaux
➢ Division d’un nombre décimal par un entier.
➢ Multiplier un nombre par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; ...etc.
➢ Multiplier un nombre décimal par un nombre décimal.
➢ Choisir les opérations qui conviennent au traitement de la situation étudiée.
➢ Savoir effectuer ces opérations sous diverses formes de calcul : mental, à la
main ou instrumenté.
➢ Connaître la signification du vocabulaire associé : somme, différence, produit,
terme, facteur, dividende, diviseur, quotient, reste.
➢ Établir un ordre de grandeur d’une somme, d’une différence, d’un produit.
Remarques :
Notions étudiées en CM2 :
➢ Additions de décimaux .
➢ Multiplication d’un nombre décimal par 10, 100, 1 000 ...etc .
➢ Division d’un nombre décimal par 10, 100, 1 000 ...etc.
➢ Tables d’addition et de multiplication et les résultats qui en dérivent.
Chapitre
Opérations avec des nombres décimaux
1) Ordres de grandeur pour une addition :
a) Méthode:
Pour obtenir un ordre de grandeur d’une somme :
➢ on remplace chacun des termes de la somme par un autre nombre à la fois proche et facile à
utiliser en calcul mental ;
➢ on effectue l’addition avec ces nombres ;
➢ on obtient un résultat proche du résultat exact.
Ce nombre est un ordre de grandeur de la somme.
Exemple :
Si on veut avoir un ordre de grandeur de la somme 32,14 + 397 + 204,3 ;
on peut calculer 30 + 400 + 200 = 630.
On dira que le nombre est un ordre de grandeur de la somme.
b) Remarques :
➢ On procède de la même manière pour trouver un ordre de grandeur d’une différence.
➢ Plusieurs ordres de grandeur sont possibles pour un même résultat.
Exemple :
Pour calculer un ordre de grandeur de 234,7 − 123,83 ; on peut calculer mentalement :
235 − 124 = 111 (on arrondit les termes de la soustraction à l’unité)
230 − 120 = 110 (on arrondit les termes de la soustraction à la dizaine)
200 − 100 = 100 (on arrondit les termes de la soustraction à la centaine)
111 ; 110 et 100 sont des ordres de grandeur différents de 234,7 − 123,83 .
110,87 est le résultat exact, calculé en posant l’opération.
2 3 4, 7
- 1 2 3, 8 3
1 1 0, 8 7
c) Utilisations :
On peut rechercher un ordre de grandeur du résultat d’une opération pour :
➢ prévoir un résultat : on peut avoir rapidement une idée approximative d’un résultat sans
effectuer le calcul exact ;
➢ vérifier le résultat d’une opération, même effectuée à la calculatrice.
Exemple :
Jean a écrit :
« 234,87 + 78,7 + 987,534 = 2 367,654 »
Un ordre de grandeur de cette somme est : 230 + 80 +1 000 = 1 310 .
Le résultat proposé par Jean est trop éloigné de l’ordre de grandeur ;
comme le calcul de l’ordre de grandeur est juste ;
on peut en déduire rapidement que Jean s’est trompé dans son calcul.
2) Multiplications de nombres décimaux :
a) Multiplier par 10 ,100, 1 000, ...etc: (rappels CM2)
Pour multiplier par
On décale la virgule de
Exemples
10
1 rang vers la droite
0,54 ×10 =5,4
100
2 rangs vers la droite
125 ×100 =12 500
1 000
3 rangs vers la droite
45,75× 1 000 =45 750
10 000
4 rangs vers la droite
0,02 ×10 000 =200
Remarques:
Pour tout nombre décimal a :
0 × a = a ×0 = 0 et 1× a = a × 1= a
Exemples :
236 358× 0 =0
2,689× 1= 2,689
b) Multiplier un entier par un nombre inférieur à 1 :
Pour multiplier par
On décale la virgule de
Exemples
0,1
1 rang vers la gauche
32× 0,1= 3,2
0,01
2 rangs vers la gauche
125 × 0,01=1,25
0,001
3 rangs vers la gauche
2010× 0,001 =2,010
Exemples :
48 ×0,1 = 48×
1 48
= =4,8 (multiplier par 0,1 revient donc à diviser le nombre par 10)
10 10
530 × 0,01= 530 ×
1
530
=
=5,3 (multiplier par 0,01 revient donc à diviser le nombre par 100)
100 100
1
256
=
=0,256
1 000 1 000
(multiplier par 0,001 revient donc à diviser le nombre par 1 000)
256 ×0,001 =256 ×
5 × 0,9 =5 ×9 × 0,1 =5× 9× 0,1 =45 × 0,1= 4,5
c) Remarque importante sur la multiplication :
On n’augmente pas toujours la valeur d’un nombre en le multipliant .
Exemples :
On diminue la valeur d’un nombre positif en le multipliant par un nombre compris entre 0 et 1 .
0,1 × 48 = 4,8 ; quand on multiplie 48 par 0,1 < 1, le produit obtenu 4,8 est inférieur à 48.
0,9 × 5 = 4,5 ; quand on multiplie 5 par 0,9 < 1, le produit obtenu 4,5 est inférieur à 5.
d) Multiplier deux nombres décimaux :
Exemple : Effectue la multiplication de 2,34 par 1,2.
2,
3
4
1,
2
4
6
8
3
4
.
×
+2
2,
8
0
× 100
2
× 10
4
1
2
4
6
8
+2
3
4
2
8
0
×
: 1 000
8
3
8
Méthode:
➢ On pose l'opération comme s'il s'agissait de nombres entiers.
➢ On effectue la multiplication de 234 par 12 sans tenir compte des virgules.
➢ 234 est 100 fois plus grand que 2,34
➢ 12 est 10 fois plus grand que 1,2.
➢ Le produit 2,34 × 1,2 est donc 1 000 fois plus petit que 2 808.
➢ Pour obtenir le résultat, on effectue donc la division 2 808 : 1 000.
Pour diviser par 1 000, on décale la virgule de 3 rangs vers la gauche.
Finalement 2,34 × 1,2 = 2,808.
Exemples :
A=13,5 × 25,2= 340,20
1
3,
5
2
5,
2
2
7
0
6
7
5
7
0
4
0,
×
+2
3
2
0
× 10
1
3
5
2
5
2
2
7
0
6
7
5
+2
7
0
3
4
0
×
× 10
: 100
B = 0,023× 0,5 =0,011 5
0,
0
×
0,
0
1
2
3
0,
5
1
5
× 1 000
× 10
: 10 000
2
×
1
3
5
1
5
2
0
3) Organisation d’un calcul
On peut modifier l’ordre des facteurs d’une multiplication et les regrouper sans que cela change la
valeur du produit.
On peut ainsi simplifier certains calculs.
Exemples :
A= 2,75 ×5 × 2,5 ×2 × 4= 2,75 ×5 × 2 ×2,5 ×4 =2,75 ×10 × 10= 2,75 ×100 = 275 .
On peut permuter les facteurs de la multiplication et
les regrouper astucieusement
B = 2,2 ×0,6 =22 ×0,1×6 × 0,1
B =22 × 6×0,1 ×0,1=132 × 0,01= 1,32
4) Ordres de grandeur pour une multiplication :
Méthode:
Pour obtenir un ordre de grandeur d’un produit :
➢ on remplace chacun des facteurs par un autre nombre à la fois proche et facile à utiliser en calcul
mental ;
➢ on effectue la multiplication avec ces nombres ;
➢ on obtient un résultat proche du produit exact.
Ce nombre est un ordre de grandeur du produit.
Exemples :
Déterminer un ordre de grandeur du produit 21,18 ×60,35
➢ 21,18 est proche de 20 et 60,35 est proche de 60
➢ on peut calculer mentalement: 20× 60 =1 200
➢ un ordre de grandeur de 21,18 ×60,35 est donc 1 200 .
Déterminer un ordre de grandeur du produit 10,8 × 2,3
➢ 10,8 est proche de 11 et 2,3 est proche de 2
➢ on peut calculer mentalement: 11 × 2= 22
➢ un ordre de grandeur de 10,8 × 2,3 est donc 22 .
5) Division d’un nombre décimal par un entier :
Exemple 1 :
Division de 75,8 par 4.
7
-
5,
8
0
4
-
1
3
5
3
2
-
On commence la division, comme pour une
division euclidienne.
Le reste de la division euclidienne est égal à 3.
4
8,
9
5
Dès que l’on atteint la partie décimale du
dividende, on place la virgule au quotient.
3
8
3
6
-
2
0
2
0
On finit ici par obtenir un reste égal à 0 pour la
division décimale.
75,8 : 4= 18,95
0
Exemple 2 :
Calculer une valeur arrondie au millième du quotient de 4,9 par 9.
On effectue la division de 4,9 par 9.
4,
-
9
0
0
0
9
4
5
-
9
0,
4
4
0
3
6
-
4
0
3
6
4
On commence la division, comme pour une division
euclidienne.
Le reste de la division euclidienne est égal à 4.
5
4
4
Dès que l’on atteint la partie décimale du dividende,
on place la virgule au quotient.
Comme on obtient le même reste 4 , la division ne
« s'arrête » pas : le quotient de 4,9 par 9 n'a pas
d'écriture décimale exacte, mais on peut en donner
une valeur décimale approchée :
4,9 : 9 ≈ 0,544 (valeur arrondie au millième).