Diaporama sur les suites numériques en T ES.

Généralités sur les suites
Suites géométriques
Somme des termes d’une suite géométrique
Limite de la suite (qn )
Suite arithmético-géométrique
[ Les suites numériques \
Lycée du golfe de Saint Tropez
Année 2016/2017
Terminale ES
Les suites
Généralités sur les suites
Suites géométriques
Somme des termes d’une suite géométrique
Limite de la suite (qn )
Suite arithmético-géométrique
1
Généralités sur les suites
Définition - Vocabulaire - Notations
Deux façons de définir une suite
Calculatrice et suites
Algorithme au bac
Sens de variation d’une suite
Représentations graphiques des suites
2
Suites géométriques
Définition
Expression de un en fonction de n
Sens de variation
3
Somme des termes d’une suite géométrique
4
Limite de la suite (qn )
Notion de limite
Limite de la suite (qn )
Compléments sur les limites de suite
5
Suite arithmético-géométrique
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Les suites
Généralités sur les suites
Suites géométriques
Somme des termes d’une suite géométrique
Limite de la suite (qn )
Suite arithmético-géométrique
Définition - Vocabulaire - Notations
Deux façons de définir une suite
Calculatrice et suites
Algorithme au bac
Sens de variation d’une suite
Représentations graphiques des suites
I) Généralités sur les suites
a) Vocabulaire
Définition
Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres réels, finie ou infinie..
Remarque
La plupart du temps, les suites seront définies sur N ou N∗ .
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Limite de la suite (qn )
Suite arithmético-géométrique
Définition - Vocabulaire - Notations
Deux façons de définir une suite
Calculatrice et suites
Algorithme au bac
Sens de variation d’une suite
Représentations graphiques des suites
I) Généralités sur les suites
a) Vocabulaire
Définition
Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres réels, finie ou infinie..
Remarque
La plupart du temps, les suites seront définies sur N ou N∗ .
Notations
On note un est le terme d’indice n de la suite.
On note (un ) la suite u0 , u1 , u2 , . . . , un , un+1 , . . .
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Limite de la suite (qn )
Suite arithmético-géométrique
Définition - Vocabulaire - Notations
Deux façons de définir une suite
Calculatrice et suites
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Sens de variation d’une suite
Représentations graphiques des suites
b) Deux façons de définir une suite
Définition explicite
On donne une formule permettant de calculer un connaissant l’entier n.
Exemple
On considère les suites (un ) et (vn ) définies pour tout entier naturel n, par un = 2n
et vn = n2 − 2n
1
Calculer u0 , u1 , u2 , u3 et u10 .
2
Calculer v0 , v1 , v2 , v3 et v10 .
3
Exprimer vn+1 en fonction de n.
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Suite arithmético-géométrique
Définition - Vocabulaire - Notations
Deux façons de définir une suite
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Sens de variation d’une suite
Représentations graphiques des suites
b) Deux façons de définir une suite
Définition explicite
On donne une formule permettant de calculer un connaissant l’entier n.
Exemple
On considère les suites (un ) et (vn ) définies pour tout entier naturel n, par un = 2n
et vn = n2 − 2n
1
Calculer u0 , u1 , u2 , u3 et u10 .
2
Calculer v0 , v1 , v2 , v3 et v10 .
3
Exprimer vn+1 en fonction de n.
Faire les exercices 22, 23 et 24 page 34
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Représentations graphiques des suites
b) Deux façons de définir une suite
Définition par récurrence
On donne le premier terme et une formule qui permet de calculer chaque terme en
fonction du précédent.
Exemple
(un ) est la suite définie par u0 = 2 et pour tout entier naturel n, un+1 = 3un + 2.
Calculer u1 , u2 , u3 et u6
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Représentations graphiques des suites
b) Deux façons de définir une suite
Définition par récurrence
On donne le premier terme et une formule qui permet de calculer chaque terme en
fonction du précédent.
Exemple
(un ) est la suite définie par u0 = 2 et pour tout entier naturel n, un+1 = 3un + 2.
Calculer u1 , u2 , u3 et u6
(vn ) est la suite définie par v0 = 2 et pour tout entier naturel n, vn+1 = 2vn + 3n − 4.
Calculer v1 , v2 et v6
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Représentations graphiques des suites
b) Deux façons de définir une suite
Définition par récurrence
On donne le premier terme et une formule qui permet de calculer chaque terme en
fonction du précédent.
Exemple
(un ) est la suite définie par u0 = 2 et pour tout entier naturel n, un+1 = 3un + 2.
Calculer u1 , u2 , u3 et u6
(vn ) est la suite définie par v0 = 2 et pour tout entier naturel n, vn+1 = 2vn + 3n − 4.
Calculer v1 , v2 et v6
Faire les exercices 25, 26 et 27 page 34
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Représentations graphiques des suites
c) Calculatrice et suites I
c) Pour TI82, TI83 et TI84
La calculatrice permet de déterminer les termes d’une suite ou de visualiser sa
représentation graphique
On considère la suite (un ) définie pour tout entier naturel n par u0 = 2 et
un+1 = 2un + 2
On appuie sur la touche Mode pour se mettre en mode suite:
On va dans l’éditeur avec la touche f(x)=
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Représentations graphiques des suites
c) Calculatrice et suites II
c) Pour TI82, TI83 et TI84
On définit notre suite:
nMin correspond à l’indice le plus petit: ici il vaut 0;
On écrit la formule : un = 3un−1 + 2;
la difficulté vient du fait que la calculatrice demande un en fonction de un−1
alors que l’énoncé donne un+1 en fonction de un
Attention: le «n» est obtenu avec la touche X,θ, n) et le «u» avec 2nd 7
On donne la valeur du premier terme :
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u(nMin) correspond à u0 .
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Représentations graphiques des suites
c) Calculatrice et suites III
c) Pour TI82, TI83 et TI84
On va dans la table :
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Sens de variation d’une suite
Représentations graphiques des suites
Pour CASIO Graph 35 ou plus: I
On appuie sur la touche Menu et on choisit le mode RECUR:
On obtient:
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Suite arithmético-géométrique
Pour CASIO Graph 35 ou plus: II
On fait apparaitre le menu en sélectionnant
an+1 = 3an + 2.
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et on tape la formule
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Représentations graphiques des suites
Pour CASIO Graph 35 ou plus: III
Fait apparaitre la page d’initialisation en sélectionnant
valeur de a0
On sort avec la touche EXIT puis on sélectionne TABL
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et on remplit la
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Représentations graphiques des suites
Pour CASIO Graph 35 ou plus: IV
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d) Algorithme au bac
On considère l’algorithme suivant :
Variables :
Entrée :
Traitement :
Sortie:
k et p sont des entiers naturels
u est un réel
Demander la valeur de p
Affecter à u la valeur 5
Pour k variant de 1 à p
Affecter à u la valeur 0, 5u + 0, 5(k − 1) − 1, 5
Fin de pour
Afficher u
Faire fonctionner cet algorithme pour p = 2 en indiquant les valeurs des variables à
chaque étape.
Quel nombre obtient-on en sortie ?
Antilles Guyane Juin 2015
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Correction
Dans la phase d’initialisation:
p prend la valeur
u prend la valeur
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Correction
Dans la phase d’initialisation:
p prend la valeur 2
u prend la valeur 5
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Correction
Dans la phase d’initialisation:
p prend la valeur 2
u prend la valeur 5
Dans le premier passage dans la boucle:
k prend la valeur
u prend la valeur
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Correction
Dans la phase d’initialisation:
p prend la valeur 2
u prend la valeur 5
Dans le premier passage dans la boucle:
k prend la valeur 1
u prend la valeur 0, 5 × 5 + 0, 5(1 − 1) − 1, 5 =1
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Correction
Dans la phase d’initialisation:
p prend la valeur 2
u prend la valeur 5
Dans le premier passage dans la boucle:
k prend la valeur 1
u prend la valeur 0, 5 × 5 + 0, 5(1 − 1) − 1, 5 =1
Dans le deuxième passage dans la boucle:
k prend la valeur
u prend la valeur
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Représentations graphiques des suites
Correction
Dans la phase d’initialisation:
p prend la valeur 2
u prend la valeur 5
Dans le premier passage dans la boucle:
k prend la valeur 1
u prend la valeur 0, 5 × 5 + 0, 5(1 − 1) − 1, 5 =1
Dans le deuxième passage dans la boucle:
k prend la valeur 2
u prend la valeur 0, 5 × 1 + 0, 5(2 − 1) − 1, 5 = −0,5
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Représentations graphiques des suites
Correction
Dans la phase d’initialisation:
p prend la valeur 2
u prend la valeur 5
Dans le premier passage dans la boucle:
k prend la valeur 1
u prend la valeur 0, 5 × 5 + 0, 5(1 − 1) − 1, 5 =1
Dans le deuxième passage dans la boucle:
k prend la valeur 2
u prend la valeur 0, 5 × 1 + 0, 5(2 − 1) − 1, 5 = −0,5
L’algorithme affiche le nombre −0,5
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Algorithme au bac
Une association confectionne et porte, chaque jour, à domicile des repas à des personnes dépendantes.
En 2015, 600 personnes étaient abonnées à ce service.
Pour étudier son développement, cette association a fait une enquête selon laquelle l’évolution peut
être modélisée de la façon suivante :
•
Chaque année, 10 % des abonnements ne sont pas renouvelés .
•
Chaque année, on compte 120 nouveaux abonnements à ce service.
Pour suivre l’évolution du nombre d’abonnés, un gestionnaire réalise l’algorithme suivant :
Variables :
Traitement :
Sortie :
n et U sont des nombres
Affecter à U la valeur 600
Affecter à n la valeur 0
Tant que U < 800 faire
U prend la valeur U × 0, 9 + 120
n prend la valeur n + 1
Fin Tant que
Afficher n
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Variables :
Traitement :
Sortie :
1
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Sens de variation d’une suite
Représentations graphiques des suites
n et U sont des nombres
Affecter à U la valeur 600
Affecter à n la valeur 0
Tant que U < 800 faire
U prend la valeur U × 0, 9 + 120
n prend la valeur n + 1
Fin Tant que
Afficher n
Recopier puis compléter, en le prolongeant avec autant de colonnes que nécessaire, le tableau
ci-dessous (arrondir les valeurs calculées à l’unité).
valeur de U
valeur de n
test U < 800
...
...
...
600
0
vrai
2
Déterminer la valeur affichée en fin d’exécution de l’algorithme.
3
Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
Antilles Guyane septembre 2016
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e) Sens de variation d’une suite
Définition
Une suite est croissante si :
pour tout entier naturel n,
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un É un+1
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e) Sens de variation d’une suite
Définition
Une suite est croissante si :
pour tout entier naturel n,
un É un+1
Une suite est décroissante si :
pour tout entier naturel n,
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un Ê un+1
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e) Sens de variation d’une suite
Définition
Une suite est croissante si :
pour tout entier naturel n,
un É un+1
Une suite est décroissante si :
pour tout entier naturel n,
un Ê un+1
Exemple:
On considère la suite (un ) définie pour tout entier naturel n par un = 4n − 5.
Montrer que la suite (un ) est croissante.
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e) Sens de variation d’une suite
Définition
Une suite est croissante si :
pour tout entier naturel n,
un É un+1
Une suite est décroissante si :
pour tout entier naturel n,
un Ê un+1
Exemple:
On considère la suite (un ) définie pour tout entier naturel n par un = 4n − 5.
Montrer que la suite (un ) est croissante.
Faire les exercices 31, 32, 33 et 34 page 34
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f ) Représentations graphiques des suites
Définition
La représentation graphique est l’ensemble des points de coordonnées (n ; un )
avec n ∈ N, c’est un nuage de points.
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Exemple
On considère la suite (vn ) définie pour tout entier n par vn =
n+1
n+2
1
0, 5
0
1
2
3
4
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5
6
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8
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Exemple
On considère la suite (vn ) définie pour tout entier n par vn =
n+1
n+2
1
0, 5
b
0
1
2
3
4
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Exemple
On considère la suite (vn ) définie pour tout entier n par vn =
n+1
n+2
1
b
0, 5
b
0
1
2
3
4
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Exemple
On considère la suite (vn ) définie pour tout entier n par vn =
n+1
n+2
1
b
b
0, 5
b
0
1
2
3
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Exemple
On considère la suite (vn ) définie pour tout entier n par vn =
n+1
n+2
1
b
b
b
0, 5
b
0
1
2
3
4
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Représentations graphiques des suites
Exemple
On considère la suite (vn ) définie pour tout entier n par vn =
n+1
n+2
1
b
b
b
b
0, 5
b
0
1
2
3
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Exemple
On considère la suite (vn ) définie pour tout entier n par vn =
n+1
n+2
1
b
b
b
b
b
0, 5
b
0
1
2
3
4
Terminale ES
5
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Les suites
7
8
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Limite de la suite (qn )
Suite arithmético-géométrique
Définition - Vocabulaire - Notations
Deux façons de définir une suite
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Représentations graphiques des suites
Exemple
On considère la suite (vn ) définie pour tout entier n par vn =
1
b
b
b
n+1
n+2
b
b
b
b
b
5
6
7
8
9
b
0, 5
b
0
1
2
3
4
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Limite de la suite (qn )
Suite arithmético-géométrique
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Deux façons de définir une suite
Calculatrice et suites
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Sens de variation d’une suite
Représentations graphiques des suites
Exemple
On considère la suite (vn ) définie pour tout entier n par vn =
1
b
b
b
n+1
n+2
b
b
b
b
b
5
6
7
8
9
b
0, 5
b
0
1
2
3
4
La courbe bleu est la courbe représentative de la fonction x 7−→
Les points rouges sont les points d’abscisses entières
Terminale ES
Les suites
x+1
x+2
Généralités sur les suites
Suites géométriques
Somme des termes d’une suite géométrique
Limite de la suite (qn )
Suite arithmético-géométrique
Définition
Expression de un en fonction de n
Sens de variation
II) Suites géométriques
a) Reconnaitre une suite géométriques
Définition
Une suite u est dite géométrique s’il existe un réel q tel que :
pour tout entier naturel n,
un+1 = un × q.
q s’appelle la raison de la suite.
Exemple:
On considère la suite (un ) définie pour tout entier naturel n, par un =
Montrer que la suite (un ) est géométrique. Préciser sa raison.
Terminale ES
Les suites
2n
.
3
Généralités sur les suites
Suites géométriques
Somme des termes d’une suite géométrique
Limite de la suite (qn )
Suite arithmético-géométrique
Définition
Expression de un en fonction de n
Sens de variation
b)Expression de un en fonction de n
Calcul de un lorsqu’on connait u0 ou up et la raison q
(un ) est une suite géométrique de raison q 6= 0 et de premier terme u0
un = u0 × qn .
alors, pour tout entier naturel n,
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Généralités sur les suites
Suites géométriques
Somme des termes d’une suite géométrique
Limite de la suite (qn )
Suite arithmético-géométrique
Définition
Expression de un en fonction de n
Sens de variation
b)Expression de un en fonction de n
Calcul de un lorsqu’on connait u0 ou up et la raison q
(un ) est une suite géométrique de raison q 6= 0 et de premier terme u0
un = u0 × qn .
alors, pour tout entier naturel n,
et pour tous entiers naturels n et p
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un = up × qn−p
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Généralités sur les suites
Suites géométriques
Somme des termes d’une suite géométrique
Limite de la suite (qn )
Suite arithmético-géométrique
Définition
Expression de un en fonction de n
Sens de variation
c)Sens de variation d’une suite géométrique
Suite (qn )
Lorsque 0 < q < 1 alors la suite (qn ) est strictement décroissante;
Lorsque q > 1 alors la suite (qn ) est strictement croissante.
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Généralités sur les suites
Suites géométriques
Somme des termes d’une suite géométrique
Limite de la suite (qn )
Suite arithmético-géométrique
Définition
Expression de un en fonction de n
Sens de variation
c)Sens de variation d’une suite géométrique
Suite (qn )
Lorsque 0 < q < 1 alors la suite (qn ) est strictement décroissante;
Lorsque q > 1 alors la suite (qn ) est strictement croissante.
Suite géométrique
(un ) étant une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q.
Lorsque 0 < q < 1 et u0 > 0 alors la suite (un ) est strictement décroissante;
Terminale ES
Les suites
Généralités sur les suites
Suites géométriques
Somme des termes d’une suite géométrique
Limite de la suite (qn )
Suite arithmético-géométrique
Définition
Expression de un en fonction de n
Sens de variation
c)Sens de variation d’une suite géométrique
Suite (qn )
Lorsque 0 < q < 1 alors la suite (qn ) est strictement décroissante;
Lorsque q > 1 alors la suite (qn ) est strictement croissante.
Suite géométrique
(un ) étant une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q.
Lorsque 0 < q < 1 et u0 > 0 alors la suite (un ) est strictement décroissante;
Lorsque 0 < q < 1 et u0 < 0 alors la suite (un ) est strictement croissante;
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Suites géométriques
Somme des termes d’une suite géométrique
Limite de la suite (qn )
Suite arithmético-géométrique
Définition
Expression de un en fonction de n
Sens de variation
c)Sens de variation d’une suite géométrique
Suite (qn )
Lorsque 0 < q < 1 alors la suite (qn ) est strictement décroissante;
Lorsque q > 1 alors la suite (qn ) est strictement croissante.
Suite géométrique
(un ) étant une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q.
Lorsque 0 < q < 1 et u0 > 0 alors la suite (un ) est strictement décroissante;
Lorsque 0 < q < 1 et u0 < 0 alors la suite (un ) est strictement croissante;
Lorsque q > 1 et u0 > 0 alors la suite (un ) est strictement croissante;
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Suites géométriques
Somme des termes d’une suite géométrique
Limite de la suite (qn )
Suite arithmético-géométrique
Définition
Expression de un en fonction de n
Sens de variation
c)Sens de variation d’une suite géométrique
Suite (qn )
Lorsque 0 < q < 1 alors la suite (qn ) est strictement décroissante;
Lorsque q > 1 alors la suite (qn ) est strictement croissante.
Suite géométrique
(un ) étant une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q.
Lorsque 0 < q < 1 et u0 > 0 alors la suite (un ) est strictement décroissante;
Lorsque 0 < q < 1 et u0 < 0 alors la suite (un ) est strictement croissante;
Lorsque q > 1 et u0 > 0 alors la suite (un ) est strictement croissante;
Lorsque q > 1 et u0 < 0 alors la suite (un ) est strictement décroissante.
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Généralités sur les suites
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Somme des termes d’une suite géométrique
Limite de la suite (qn )
Suite arithmético-géométrique
III)Somme des termes d’une suite géométrique
Calcul de 1 + q + q2 + · · · + qn
Si q 6= 1
alors
1 + q + q2 + ........... + qn =
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1 − qn+1
1−q
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Somme des termes d’une suite géométrique
Limite de la suite (qn )
Suite arithmético-géométrique
III)Somme des termes d’une suite géométrique
Calcul de 1 + q + q2 + · · · + qn
Si q 6= 1
alors
1 + q + q2 + ........... + qn =
1 − qn+1
1−q
Somme des termes d’une suite géométrique
(un ) est une suite géométrique de raison q 6= 1 et de premier terme u0
1 − qn+1
alors
u0 + u1 + ................ + un = u0
1−q
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Suites géométriques
Somme des termes d’une suite géométrique
Limite de la suite (qn )
Suite arithmético-géométrique
Notion de limite
Limite de la suite (qn )
Compléments sur les limites de suite
IV) Limite de la suite (qn )
a) Notion de limite
Etudier la limite d’une suite (un ), c’est étudier le comportement des nombres un
lorsque n devient de plus en plus grand.
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Somme des termes d’une suite géométrique
Limite de la suite (qn )
Suite arithmético-géométrique
Notion de limite
Limite de la suite (qn )
Compléments sur les limites de suite
IV) Limite de la suite (qn )
a) Notion de limite
Etudier la limite d’une suite (un ), c’est étudier le comportement des nombres un
lorsque n devient de plus en plus grand.
Exemple 1:
n+1
On considère la suite (un ) définie par un =
n+2
A l’aide de la calculatrice, remplir le tableau suivant:
n
0
1
2
5
10
20
50
100
un
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Limite de la suite (qn )
Suite arithmético-géométrique
Notion de limite
Limite de la suite (qn )
Compléments sur les limites de suite
IV) Limite de la suite (qn )
a) Notion de limite
Etudier la limite d’une suite (un ), c’est étudier le comportement des nombres un
lorsque n devient de plus en plus grand.
Exemple 1:
n+1
On considère la suite (un ) définie par un =
n+2
A l’aide de la calculatrice, remplir le tableau suivant:
n
0
1
2
5
10
20
50
100
un
0,5
0,666
0,75
0,857
0,916
0,954
0,981
0,990
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Somme des termes d’une suite géométrique
Limite de la suite (qn )
Suite arithmético-géométrique
Notion de limite
Limite de la suite (qn )
Compléments sur les limites de suite
IV) Limite de la suite (qn )
a) Notion de limite
Etudier la limite d’une suite (un ), c’est étudier le comportement des nombres un
lorsque n devient de plus en plus grand.
Exemple 1:
n+1
On considère la suite (un ) définie par un =
n+2
A l’aide de la calculatrice, remplir le tableau suivant:
n
0
1
2
5
10
20
50
100
un
0,5
0,666
0,75
0,857
0,916
0,954
0,981
0,990
Il est clair que les nombres un seront très proches de 1 lorsque n prendra de très
grandes valeurs.
On dit que la suite (un ) converge vers 1, ou encore que la limite de la suite est 1 et
l’on écrit lim un = 1.
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Limite de la suite (qn )
Suite arithmético-géométrique
Notion de limite
Limite de la suite (qn )
Compléments sur les limites de suite
a) Notion de limite
Exemple 2:
On considère la suite (vn ) définie par vn = 2n
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Limite de la suite (qn )
Suite arithmético-géométrique
Notion de limite
Limite de la suite (qn )
Compléments sur les limites de suite
a) Notion de limite
Exemple 2:
On considère la suite (vn ) définie par vn = 2n
A l’aide de la calculatrice, remplir le tableau suivant:
n
0
2
4
6
vn
Terminale ES
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8
10
20
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Limite de la suite (qn )
Suite arithmético-géométrique
Notion de limite
Limite de la suite (qn )
Compléments sur les limites de suite
a) Notion de limite
Exemple 2:
On considère la suite (vn ) définie par vn = 2n
n
0
2
4
6
vn
1
4
16
64
Terminale ES
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8
256
10
1024
20
1048576
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Limite de la suite (qn )
Suite arithmético-géométrique
Notion de limite
Limite de la suite (qn )
Compléments sur les limites de suite
a) Notion de limite
Exemple 2:
On considère la suite (vn ) définie par vn = 2n
n
0
2
4
6
vn
1
4
16
64
8
256
10
1024
20
1048576
Il est clair que les nombres vn seront aussi grand que l’on veut lorsque n prendra de
très grandes valeurs.
On dit que la suite (vn ) tend vers +∞ et l’on écrit lim vn = +∞.
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Somme des termes d’une suite géométrique
Limite de la suite (qn )
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Notion de limite
Limite de la suite (qn )
Compléments sur les limites de suite
b) Limite de la suite (qn )
Propriété
Si 0 < q < 1
alors
lim qn = 0
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Limite de la suite (qn )
Suite arithmético-géométrique
Notion de limite
Limite de la suite (qn )
Compléments sur les limites de suite
b) Limite de la suite (qn )
Propriété
Si 0 < q < 1
Si 1 < q
alors
alors
lim qn = 0
lim qn = +∞
Remarque:
Si q = 1 alors pour tout entier n on a qn = 1
on a donc lim qn = 1
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Limite de la suite (qn )
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Notion de limite
Limite de la suite (qn )
Compléments sur les limites de suite
b) Limite de la suite (qn )
Propriété
Si 0 < q < 1
Si 1 < q
alors
alors
lim qn = 0
lim qn = +∞
Faire les exercices 3 et 4 page 27 puis 83, 84,90 et 92 page 39
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Limite de la suite (qn )
Suite arithmético-géométrique
Notion de limite
Limite de la suite (qn )
Compléments sur les limites de suite
c) Compléments sur les limites de suite
Propriété
On considère la suite géométrique (un ) de premier terme u0 et de raison q.
Si 0 < q < 1
alors
lim un = 0
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Limite de la suite (qn )
Suite arithmético-géométrique
Notion de limite
Limite de la suite (qn )
Compléments sur les limites de suite
c) Compléments sur les limites de suite
Propriété
On considère la suite géométrique (un ) de premier terme u0 et de raison q.
Si 0 < q < 1
alors
Si 1 < q et
u0 > 0
lim un = 0
alors
lim un = +∞
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Limite de la suite (qn )
Suite arithmético-géométrique
Notion de limite
Limite de la suite (qn )
Compléments sur les limites de suite
c) Compléments sur les limites de suite
Propriété
On considère la suite géométrique (un ) de premier terme u0 et de raison q.
Si 0 < q < 1
alors
lim un = 0
Si 1 < q et
u0 > 0
alors
lim un = +∞
Si 1 < q et
u0 < 0
alors
lim un = −∞
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Limite de la suite (qn )
Suite arithmético-géométrique
Notion de limite
Limite de la suite (qn )
Compléments sur les limites de suite
c) Compléments sur les limites de suite
Propriété
On considère la suite géométrique (un ) de premier terme u0 et de raison q.
Si 0 < q < 1
alors
lim un = 0
Si 1 < q et
u0 > 0
alors
lim un = +∞
Si 1 < q et
u0 < 0
alors
lim un = −∞
Propriété
On considère les suites (un ) et (vn ) telles que vn = a un + b.
Si (un ) a pour limite ℓ alors (vn ) a pour limite a × ℓ + b.
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Limite de la suite (qn )
Suite arithmético-géométrique
V) Suite arithmético-géométrique
Définition
Une suite (un ) est arithmético-géométrique s’il existe deux nombres a et b tels que
pour tout entier n, on a :
un+1 = a un + b.
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Limite de la suite (qn )
Suite arithmético-géométrique
Exemple
En janvier 2016, un investisseur dépose 5000 € sur un compte rémunéré à 3% par
an. Chaque année suivante, il dépose 300 € de plus. On note (un ) la somme
épargnée après n années.
On a alors :
un+1 = 1, 03un + 300 et u0 = 5000
La suite (un ) est arithmético-géométrique.
1
À l’aide de la calculatrice, calculer la somme totale épargnée en 2026.
2
Prouver que la suite (vn ) définie pour tout entier n par vn = un + 10000 est
géométrique et donner sa raison et son premier terme.
3
Exprimer vn en fonction de n.
4
En déduire l’expression de un en fonction de n. Retrouver alors le résultat de la
question 1 par calcul.
5
Calculer la limite de (un ).
6
À l’aide de la table de la calculatrice, déterminer à partir de quelle année la
somme épargnée dépassera 15 000 €.
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