DM n°3

Collège Bayard Denain
3ème2&3
02/10/2015
Devoir maison de mathématiques n°3 (pour le 09/10/2015)
Exercice 1 Le problème de Syracuse
Au début des années 1930, un mathématicien de l’université de
Hambourg , Lothar Collatz, proposa de faire des suites de nombres de
la manière suivante que l’on appelle « algorithme de Collatz » :
Choisir un nombre entier.
• Si le nombre est pair, on le divise par 2 et on obtient un
nouveau nombre.
• Si le nombre est impair, on le multiplie par 3, on ajoute 1 au
résultat et on obtient un nouveau nombre.
On recommence la procédure avec le nouveau nombre obtenu.
Exemple :
On applique l’algorithme de Collatz au nombre 7 : 7 est impair alors on le multiplie par 3 et on
ajoute 1 au résultat. On obtient 3 x 7 + 1 = 22. On recommence avec le nombre 22 : 22 est pair
alors on le divise par 2. On obtient 11. On recommence avec le nombre 11 : 11 est impair alors
on le multiplie par 3 et on ajoute 1 au résultat. On obtient 34. Et on continue avec le nombre
34 … etc.
Voici le début de la suite de nombre que l’on obtient avec le nombre 7 au départ :
7 ;
22
;
11
;
34
;
17
;
52
…
1. a. Continuer la suite obtenue en appliquant l’algorithme de Collatz au nombre 7.
b. Est-ce que la suite s’arrête ?
2. Ecrire les suites obtenues avec les nombres de départ 1, 2, 3, 4, 5 et 6 .
3. Quelle observation peut-on faire ? Quelle conjecture peut-on faire ?
En réalité, quand Collatz a proposé cet algorithme, il a émit la conjecture suivante :
On finit toujours par obtenir 1 dans la suite obtenue avec l’algorithme de Collatz avec
n’importe quel nombre au départ..
Evidemment, il n’avait pas démontré cette conjecture et ne savait pas si elle était vraie.
Cette conjecture est appelée conjecture de Syracuse ou problème de Syracuse depuis que
Helmut Hasse, un ami de Collatz, la présenta à l’université de Syracuse (près de New York)
dans les années 50.
4. Voici le premières étapes de l’algorithme de Collatz appliqué à 27 :
Est-ce un contre-exemple ?
5. (recherche) A ce jour, la conjecture de Collatz est-elle démontrée ?
Exercice 2 La décoration d'une pièce
Une pièce rectangulaire de longueur de 3,5m et de largeur de 3m doit être
rénovée entièrement.
1) Les plinthes sont très abimées et d'un goût très ancien… Il faut les
changer.
La largeur totale de la porte est 80 centimètres.
a) Quelle est la longueur de plinthes nécessaire pour entourer la pièce ?
b) Une plinthe mesure 2,05 m de longueur, 10 cm de hauteur et 10 mm d'épaisseur et coûte
3,35 € l'unité. Quel est le prix total des plinthes nécessaires ?
2) Maintenant, tapissons la pièce …
La pièce a une hauteur de 2,45 m. Un rouleau de papier peint mesure 10 m de longueur.
Un peu de vocabulaire : Une bande de papier peint qui va être appliquée sur le mur s'appelle un
lé .
Pour permettre les découpes en toute quiétude, on ajoute systématiquement 10 cm à la hauteur
du mur pour déterminer la longueur d'un lé (5 cm en haut et en bas).
a) Vérifier qu'on peut découper 4 lés dans un rouleau de papier. (Ne pas oublier qu'on ne
tapisse pas les plinthes !)
b) La largeur d'un rouleau de papier peint (donc aussi celle d'un lé) est de 53 cm.
Combien faut-il de lés pour tapisser la pièce ? (On compte des lés entiers pour la porte et la
fenêtre.)
c) Com bien faut-il acheter de rouleaux ?
d) Un rouleau de papier vaut 12 €. Quel sera le prix total pour le papier peint ?
3) On veut mettre de la moquette dans la pièce. La moquette est vendue par largeur de 4 mètres
au prix de 18€ le m².
Combien va coûter la moquette pour la pièce ?
4) En comptant le pot de peinture à plafond à 23€ et les deux pots de peinture à 11 € l'unité
pour peindre les plinthes, la fenêtre et la porte, à combien est revenue la décoration de la pièce ?