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Chapitre 3 Devoir Maison
Au début des années 1930, un mathématicien de l'université de Hambourg, Lothar Collatz (1910-
1990), proposa de construire une suite de nombres naturels de la façon suivante:
On se donne un entier
u0≠0
puis on définie la suite
(
un
)
n∈ℕ
de manière récurrente:
{
si unest pair , un+1=un
2
si unest impair un+1=3un+1
Cette suite s'appelle la suite de Syracuse du nombre
u0
.
1) Calculer les 8 premiers termes de la suite de Syracuse du nombre 3.
2) Que se passe t-il si un terme de la suite de Syracuse d'un nombre
u0
quelconque est égal à 1 ?
3) Soit k un nombre entier, écrire et programmer sous Algobox, un algorithme permettant de calculer et d'afficher les k
premiers termes de la suite de Syracuse d'un nombre
u0
en utilisant la structure: « Pour .... de .... à ..... . » (L'utilisateur
devra pouvoir choisir k et
u0
) On appelle un tel algorithme un algorithme de Collatz.
I On pourra utiliser la commande u%2==0 qui permet de tester si un entier est pair.
Vous imprimerez une copie d’écran de votre algorithme pour le joindre à votre copie !
5) Tester l'algorithme pour
u0=3
et
k=8
Vous écrirez sur votre copie les valeurs affichées par votre algorithme.
6) Tester l'algorithme pour
u0=1
et
k=10
Vous écrirez sur votre copie les valeurs affichées par votre algorithme.
7) Faire tourner cet algorithme pour différentes valeurs de
u0
et de k. Inutile d’écrire quoi que ce soit sur votre copie.
8) Émettre une conjecture. (En mathématiques, une conjecture est une assertion pour laquelle on ne connaît pas encore
de démonstration, mais que l'on soupçonne d'être vraie, en l'absence de contre-exemple.)
Le coin des curieux :
Cette conjecture est appelée conjecture de Syracuse ou problème de Syracuse depuis que Helmut Hasse, un ami de
Collatz, la présenta à l'université de Syracuse (près de New York) dans les années 50. Cette conjecture mobilisa tant les
mathématiciens durant les années 1960, en pleine guerre froide, qu'une plaisanterie courut selon laquelle ce problème
faisait partie d'un complot soviétique visant à ralentir la recherche américaine.
A l'heure actuelle, la conjecture de Syracuse n'a toujours pas été ni invalidée ni démontrée. Le plus grand nombre testé
est :
1,25×262
.
Les recherches actuelles tendent à nous faire penser qu'il est « presque » impossible que la conjecture soit fausse.
Cependant, il est arrivé dans l'histoire que les mathématiciens aient une telle intuition très forte en faveur d'une
conjecture et qu'elle soit en fait fausse. Le mystère reste donc entier !
Question bonus pour les plus motivés :
9) Améliorer l'algorithme de façon à afficher l'indice du premier terme égal à 1(appelé durée du vol) , puis la valeur du
terme le plus grand rencontré dans la suite de Syracuse. (Appelé altitude maximale du vol)
Tester l’algorithme en prenant
u0=45
.
Vous imprimerez une copie d’écran de votre algorithme pour le joindre à votre copie en prenant garde que les résultats
avec
u0=45
apparaissent !
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