CH VII Calculs dans le triangle quelconque NII

CH VII Calculs dans le triangle quelconque N II Page 1 / 4
CH VII Calculs dans le triangle quelconque
I) Relation des sinus :
1) Découverte de la relation :
On considère le triangle quelconque ABC, on appelle b le côté AC, c le côté AB et a le
côté CB ( a est le côté opposé au sommet A, b au sommet B et c au sommet C).
A
B
C
H
a
b
c
Dans le triangle CHA rectangle en H, on peut calculer :
sin
A
ˆ
=
AC
CH
donc sin
A
ˆ
=
b
CH
, on peut écrire alors CH = b sin
A
ˆ
Dans le triangle CHB rectangle en H, on peut également calculer :
sin
B
ˆ
=
BC
CH
donc sin
B
ˆ
=
a
CH
, de la même manière on peut écrire CH = a sin
B
ˆ
Des résultats précédents, on peut affirmer :
a sin
B
ˆ
= b sin
A
ˆ
et donc
A
ˆ
sin
a
=
B
ˆ
sin
b
2) Relation des sinus :
Dans tout triangle ABC,
A
ˆ
sin
a
=
B
ˆ
sin
b
=
C
ˆ
sin
c
, cette relation est appelée relation des
sinus.
Dans un triangle quelconque ABC, les mesures des côtés sont proportionnelles aux sinus
des angles opposés.
3) Exercice :
Dans un triangle, on donne :
B
ˆ
= 29° ;
C
ˆ
= 67° et c = 10
a) Calculer
A
ˆ

CH VII Calculs dans le triangle quelconque N II Page 2 / 4
b) Calculer b (valeur arrondie au dixième).
II) Relation des cosinus.
1) Découverte de la relation :
A
B
C
H
a
b
c
Dans le triangle AHC rectangle en H
cos
A
ˆ
=
AC
AH
, donc cos
A
ˆ
=
b
AH
d’où AH = b cos
A
ˆ
BH = BA – AH = c – b cos
A
ˆ
Appliquons le théorème de pythagore au triangle AHC rectangle en H
AC2 = AH2 + HC2 soit b2 = b2cos2
A
ˆ
+ HC2 et donc HC2 = b2 - b2cos2
A
ˆ
Appliquons le théorème de pythagore au triangle BHC rectangle en H
BC2 = BH2 + HC2 d’où d’après les résultats précédents
BC2 = (c - b cos
A
ˆ
)2 + b2 - b2cos2
A
ˆ
On calcule (c - b cos
A
ˆ
)2 = c2 + b2 cos2
A
ˆ
- 2 bc cos
A
ˆ
Donc BC2 = c2 + b2 cos2
A
ˆ
- 2 bc cos
A
ˆ
+ b2 - b2cos2
A
ˆ
BC2 = b2 + c2 - 2 bc cos
A
ˆ
c’est à dire a2 = b2 + c2 - 2 bc cos
A
ˆ
2) Relation des cosinus :
Dans tout triangle ABC, on a :
a2 = b2 + c2 - 2 bc cos
A
ˆ
; b2 = a2 + c2 - 2 ac cos
B
ˆ
et c2 = a2 + b2 - 2 ab cos
C
ˆ
chacune de ces relations est appelée relation du cosinus.

CH VII Calculs dans le triangle quelconque N II Page 3 / 4
3) Exercices :
Exercice N°1 : Dans un triangle ABC, on donne b = 3 ; a = 5 et
C
ˆ
= 129°
Calculer c :
Exercice N°2 : Dans un triangle ABC, on donne c = 8 ; a = 9 et
B
ˆ
= 69°
Calculer b.
4) Problème :
On considère un terrain dont la forme est donnée ci-dessous :
A
B
C
D
300
400
200
70°
Les côtes sont en m
a) Représenter ce terrain à l’échelle 1/5 000.

CH VII Calculs dans le triangle quelconque N II Page 4 / 4
b) Calculer BD
c) Calculer BC (arrondir au dm).
d) En utilisant le résultat précédent, déterminer une valeur approchée de la mesure en
degrés de l’angle
D
C
ˆ
B
.
e) On note H le pied de la hauteur issue de B du triangle BCD. Calculer BH. En déduire la
valeur arrondie en m2 de l’aire du triangle BCD.
f) Calculer la valeur arrondie au m2 de l’aire du terrain.