1 Rappel : Le parallélogramme

Collège André MALRAUX
Année 2007-2008.
G.MANDALLAZ.
Ecrit avec L
A
T
EX
La translation
1 Rappel : Le parallélogramme
1.1 Définition
Définition 1
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
1.2 Propriétés du parallélogramme
Propriété 1
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors :
– ses diagonales se coupent en leur milieu.
– il a un centre de symétrie.
– ses côtés opposés sont de même longueur.
– ses angles opposés ont la même mesure.
1.3 Propriétés permettant de démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme
Propriété 2
Réciproquement :
– Si les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu alors c’est un parallélogramme.
– Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de même longueur alors c’est un parallélogramme.
– Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur alors c’est un parallélo-
gramme.
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1.4 Parallélogrammes particuliers
Propriété 3
Le rectangle, le losange et le carré sont des parallélogrammes particuliers.
2 La translation
2.1 Définition
Le bateau se déplace le long de la droite (AA0). Dessiner le bateau lorsque Aest sur A0.
On dit qu’on a translaté le bateau de Avers A0.
Définition 2
Lorsque l’on fait glisser une figure Fsans la faire tourner, on déplace tous ses points sur des droites parallèles,
dans le même sens et d’une même distance.
On dit que l’on effectue une translation de F. On obtient une figure F0, image de Fpar ladite translation.
2.2 Image d’un point
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Réalisez les instructions suivantes :
1. (a) Tracer en vert les flèches joignant AàA0,BàB0,CàC0,DàD0et EàE0.
(b) Que peut-on dire de ces flèches ?
2. (a) Donner sans justification la nature des quadrilatères ABB0A0et ACC0A0.
(b) Citer d’autres quadrilatères de même nature.
3. Tracer l’image du triangle par la translation qui amène Dsur D0.
Définition 3
Soient trois points A,A0et Mdistincts et tla translation qui transforme Aen A0.
– Lorsque le point Mn’appartient pas à la droite (AA0), l’image du point Mpar la translation test le point
M0tel que AA0M0Mest un parallélogramme.
– Lorsque le point Mappartient à la droite (AA0), l’image du point Mpar la translation test le point M0tel
que les segments [AM0]et [A0M]ont le même milieu (AA0M0Mest un parallélogramme aplati).
3 Propriétés de la translation
3.1 Propriétés de conservation
Une cabine de téléphérique atteint le point Ade son trajet. En voici un schéma simplifié.
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Réalisez les instructions suivantes :
1. Construire l’image de cette cabine par la translation qui l’amène de Aen B.
2. On note I0,J0,M0,N0,P0et Q0les images respectives de I,J,M,N,Pet Qpar cette translation.
Que peut-on dire :
(a) des longueurs AM,BM 0?QP et Q0P0?
(b) des angles MNP et M0N0P0?AIJ et BI0J0?
(c) des aires des rectangles MNP Q et M0N0P0Q0? des triangles AIJ et BI0J0?
(d) de l’alignement des points M,I,Net M0,I0,N0?
Propriété 4
Les translation conservent les longueurs, les angles, les aires et l’alignement.
3.2 Image des figures de base
Théorème 1
Voici le théorème fondamental des isométries :
– L’image d’un segment par une translation est un segment parallèle et de même longueur.
– L’image d’une droite par une translation est une droite parallèle.
– L’image d’une demi-droite par une translation est une demi-droite parallèle et de même sens.
– L’image d’un cercle par une translation est un cercle de même rayon.
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