1 Rappel : Le parallélogramme

Collège André MALRAUX
Année 2007-2008.
G.MANDALLAZ.
Ecrit avec LATEX
La translation
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1.1
Rappel : Le parallélogramme
Définition
Définition 1
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
1.2
Propriétés du parallélogramme
Propriété 1
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors :
– ses diagonales se coupent en leur milieu.
– il a un centre de symétrie.
– ses côtés opposés sont de même longueur.
– ses angles opposés ont la même mesure.
1.3
Propriétés permettant de démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme
Propriété 2
Réciproquement :
– Si les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu alors c’est un parallélogramme.
– Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de même longueur alors c’est un parallélogramme.
– Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur alors c’est un parallélogramme.
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1.4
Parallélogrammes particuliers
Propriété 3
Le rectangle, le losange et le carré sont des parallélogrammes particuliers.
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2.1
La translation
Définition
Le bateau se déplace le long de la droite (AA0 ). Dessiner le bateau lorsque A est sur A0 .
On dit qu’on a translaté le bateau de A vers A0 .
Définition 2
Lorsque l’on fait glisser une figure F sans la faire tourner, on déplace tous ses points sur des droites parallèles,
dans le même sens et d’une même distance.
On dit que l’on effectue une translation de F . On obtient une figure F 0 , image de F par ladite translation.
2.2
Image d’un point
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Réalisez les instructions suivantes :
1. (a) Tracer en vert les flèches joignant A à A0 , B à B 0 , C à C 0 , D à D0 et E à E 0 .
(b) Que peut-on dire de ces flèches ?
2. (a) Donner sans justification la nature des quadrilatères ABB 0 A0 et ACC 0 A0 .
(b) Citer d’autres quadrilatères de même nature.
3. Tracer l’image du triangle par la translation qui amène D sur D0 .
Définition 3
Soient trois points A, A0 et M distincts et t la translation qui transforme A en A0 .
– Lorsque le point M n’appartient pas à la droite (AA0 ), l’image du point M par la translation t est le point
M 0 tel que AA0 M 0 M est un parallélogramme.
– Lorsque le point M appartient à la droite (AA0 ), l’image du point M par la translation t est le point M 0 tel
que les segments [AM 0 ] et [A0 M ] ont le même milieu (AA0 M 0 M est un parallélogramme aplati).
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Propriétés de la translation
3.1
Propriétés de conservation
Une cabine de téléphérique atteint le point A de son trajet. En voici un schéma simplifié.
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Réalisez les instructions suivantes :
1. Construire l’image de cette cabine par la translation qui l’amène de A en B.
2. On note I 0 , J 0 , M 0 , N 0 , P 0 et Q0 les images respectives de I, J, M , N , P et Q par cette translation.
Que peut-on dire :
(a) des longueurs AM , BM 0 ? QP et Q0 P 0 ?
Ø
Ö
×
Ô et BI
0 N 0 P 0 ? AIJ
0J 0 ?
(b) des angles M
N P et M
(c) des aires des rectangles M N P Q et M 0 N 0 P 0 Q0 ? des triangles AIJ et BI 0 J 0 ?
(d) de l’alignement des points M , I, N et M 0 , I 0 , N 0 ?
Propriété 4
Les translation conservent les longueurs, les angles, les aires et l’alignement.
3.2
Image des figures de base
Théorème 1
Voici le théorème fondamental des isométries :
– L’image d’un segment par une translation est un segment parallèle et de même longueur.
– L’image d’une droite par une translation est une droite parallèle.
– L’image d’une demi-droite par une translation est une demi-droite parallèle et de même sens.
– L’image d’un cercle par une translation est un cercle de même rayon.
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