G.1 Parallélogrammes Triangles, milieux et parallèles I

G.1
Parallélogrammes
Triangles, milieux et parallèles
I)
Parallélogrammes
Définition :
Un parallélogramme est un quadrilatère qui a un centre de symétrie.
dessin modifié jusqu’à ce que le quadrilatère ait un centre de symétrie.
Dessin avec côté [LM] tracé et centre de symétrie O, à compléter.
KLMN est un parallélogramme.
Le centre de symétrie O est appelé centre du parallélogramme KLMN.
C’est le point d’intersection des diagonales.
Conséquences :
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors :
- ses diagonales se coupent en leur milieu
(on le même milieu)
- ses deux paires de côtés opposés sont parallèles et de même longueur
- ses deux paires d’angles opposés sont de même mesure
II)
Caractérisation d’un parallélogramme
Les propriétés suivantes servent :
- à prouver que des figures sont des parallélogrammes
- à dessiner des parallélogrammes
a) Propriété concernant les diagonales
Propriété
Dessin
Si un quadrilatère a ses diagonales qui
ont le même milieu (se coupent en leur
milieu) alors c’est un parallélogramme.
b) Propriété concernant les côtés
Propriété
1.
Si un quadrilatère a ses deux
paires de côtés opposés parallèles
alors c’est un parallélogramme.
Dessin
(AB) // (CD) et (AD) // (BC)
2.
Si un quadrilatère a ses deux
paires de côtés opposés de même
longueur
alors
c’est
un
parallélogramme.
(AB) // (CD)
3.
Si un quadrilatère a une paire de
côtés opposés parallèles et de
même longueur alors c’est un
parallélogramme.
III)
Parallélogrammes particuliers
Voir livre page 152
IV)
Triangles, milieux et parallèle
Propriété 1 : Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au 3ème
côté.
Propriété 2 : Dans un triangle, un segment qui a pour extrémités les milieux de deux côtés a pour longueur la
moitié de celle du 3ème côté.
Exemple :
A
J
I
C
B
I est le milieu de [AB], que J est le milieu de [AC]
Donc (IJ) // (BC) (d’après la propriété 1)
BC
Donc IJ =
(d’après la propriété 2)
2
Propriété 3 : Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un 2ème côté alors
elle coupe le 3ème en son milieu.
Exemple :
A
(d)
U
V
B
C
U est le milieu de [AB], (d) // (BC) et (d) coupe [AC] et V
Donc V est le milieu de [AC] (d’après la propriété 3)