Chapitre 5 VARIABLES ALEATOIRES LOIS

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Chapitre 5
VARIABLES ALEATOIRES
LOIS FONDAMENTALES
Objectifs :
o Définir la notion de variable aléatoire dans les différents cas d’univers.
o Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire et calculer ses valeurs
caractéristiques.
o Etudier les trois lois fondamentales de référence :loi binomiale, loi de Poisson, loi
normale (ou de Gauss).
I] VARIABLE ALEATOIRE DISCRETE (A NOMBRE FINI DE VALEURS) :
1°) Variable aléatoire – Variable discrète :
Soit
Ω
un univers probabilisé.
Une variable aléatoire X est une fonction définie sur
Ω
à valeurs dans R.
L’ensemble image X(
Ω
) ou ensemble fondamental de X est une partie de R.
La variable aléatoire X est dite discrète si X(
Ω
) est fini.
Rq : X peut être discrète si
Ω
est fini ou infini.
2°) Variable aléatoire sur un univers fini :
Soit X une variable aléatoire définie sur l’univers fini à N éventualités :
Ω
=
{
ω
1;
ω
2; …… ;
ω
N}. L’ensemble image X(
Ω
) = {x1,x2,…,xn} est nécessairement fini
et comporte un nombre n de valeurs (n
≤
N).
Partie de l’univers (X=xi) associée à la valeur xi :
On convient de noter par (X = xi), la partie (ou l'événement) de
Ω
formée de toutes
les éventualités
ω
k ayant pour image xi (au lieu d’utiliser la notation {
ω
∈
Ω
/X
(
ω
)=xi }.) Ces parties sont au nombre de n. Toute éventualité
ω
appartient à l'une
de ces parties et à une seule puisqu'elle a une image unique. L’ensemble de ces n
parties constitue donc une partition de
Ω
.
Notations utilisées
Æ Une variable aléatoire est habituellement représentée par une majuscule.
On note : (X > x) la partie de
Ω
formée de toutes les éventualités dont
l'image par X est strictement supérieure à x.
(x < X < y) la partie de
Ω
formée de toutes les éventualités
dont l'image par X est strictement comprise entre x et y.

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Æ La variable aléatoire X étant une fonction, les conventions habituelles
d'écriture permettent d'écrire, quel que soit
ω
∈
Ω
et son image x par X :
aX:
ω
a
ax ; X + b:
ω
a
x+b ; X²:
ω
a
x² etc.
Æ X et Y étant deux variables aléatoires définies sur le même univers
Ω
, quel
que soit
ω
∈
Ω
et ses images x par X et y par Y, on a :
X +Y :
ω
a
x+y; XY :
ω
a
xy.
Le couple (X, Y) est un couple aléatoire défini sur
Ω
.
3°) Loi de probabilité et fonction, de répartition :
Loi de probabilité :
Soit un univers fini probabilisé
Ω
et X une variable aléatoire sur
Ω
:
On appelle loi de probabilité de X, la fonction qui à chaque valeur image x
i fait
correspondre la probabilité pi de la partie (X = xi) de
Ω
.
On a donc pi = P (X = Xi) et ∑
=
n
1ipi = P (
Ω
) = 1,
La loi de probabilité d'une variable aléatoire est généralement présentée sous forme
d'un tableau complet des valeurs xi et pi, souvent sans référence à l'univers initial
Ω
.
Valeurs xi x1 x2 … xi … xn
P(X=xi) p1 p2 … pi … pn
La connaissance des probabilités pi permet de calculer la probabilité pour que la
variable aléatoire X ait son image dans l'intervalle [xk;xh].
On a: P [Xk
≤
X
≤
Xh] =Pk +Pk+1 + … +Ph
Fonction de répartition
La fonction de répartition F de la variable aléatoire X associe à tout réel x la
probabilité P (X
≤
x).
On a donc : P (X
≤
x) = F (x) et aussi P (X > x) = 1 - F (x).
On a de même P(x<X
≤
y)=F(y)-F(x). Comme une probabilité est toujours positive,
F (y)
≥
F (x) quels que soient x et y, (x < y). La fonction de répartition F est
croissante.
4°) Valeurs caractéristiques (ou paramètres) :
Soit X une variable aléatoire prenant les n valeurs x
i, i
∈
{1;2;3 ;…;n} avec les
probabilités pi.

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Espérance mathématique de X
On appelle espérance mathématique de X, le nombre E (X) défini par :
m = E (X) =∑
=
n
1ipi.xi = p1.xi + p2.x2+…+pn.xn (autre notation
X
)
Comme la somme des probabilités est égale à 1, l'espérance mathématique peut
s'interpréter comme la moyenne des valeurs xi pondérées par leur probabilité pi.
Interprétation : dans le cas d'un jeu où les valeurs xi sont les gains et les valeurs pi
des probabilités calculées ou estimées, E (X) est la somme moyenne qu'on a l'espoir
de gagner par partie sur un grand nombre d'épreuves.
Variable centrée : une variable aléatoire est dite centrée si son espérance
mathématique est nulle. C'est le cas de la variable : X - m.
E (X - M)= ∑
=
n
1ipi (xi - m) =∑ =
n
1ipi.xi – m∑ =
n
1ipi = m – m.1 = 0
Propriétés faisant intervenir une constante réelle k
• E (k) = k (variable certaine prenant la seule valeur k avec la probabilité 1).
• E (X+k) = E(X) + k
• E (k.X) = k.E (X).
Variance et écart-type
On appelle variance de X l'espérance mathématique du carré de la variable centrée
X - m. Elle est notée V (X).
V (X) = ∑
=
n
1ipi.xi² - m² = ∑ =
n
1i pi.xi² -
X
²
L’écart type
σ
(X) est la racine carrée de la variance :
σ
(X) = )X(V
Propriétés faisant intervenir une constante réelle k :
• V (k) = 0.
• V (X+k) = V(X).
• V (k.X) = k².V(X) d’où
σ
(X) = |k|.
σ
(X)
5°) Variable discrète à univers infini :
Les parties (X = xi) associées à une valeur image xi sont définies comme dans
le cas d'un univers fini. S'il correspond à chacun de ces événements une probabilité,
la loi de probabilité de la variable X est parfaitement déterminée. L’étude d'une telle

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variable et en particulier le calcul des valeurs caractéristiques ne présente pas de
difficulté particulière.
De telles variables se rencontrent en particulier dans des régionnements finis de
la droite, du plan ou de l'espace, chaque région étant probabilisée. Exemple : cible
numérotée.
II] VARIABLE ALEATOIRE A NOMBRE INFINI DE VALEURS
Deux cas fondamentaux, correspondant au cas d'un ensemble image infini, peuvent
se produire :
• L'ensemble image est dénombrable (on peut numéroter chaque valeur)
• La variable aléatoire est continue.
1°) Variable aléatoire à ensemble dénombrable de valeurs :
La suite des valeurs : x1, x2, ..., xi, ... étant connue, la loi de probabilité de la
variable aléatoire X est déterminée par la connaissance de pi = P(X=xi) pour toute
valeur de i.
Les valeurs caractéristiques X seront définies comme somme de séries (sous
réserve de convergence). On a alors :
p1+p2+ … + pi + … = ∑
=
n
1ipi
X
= E (X) =∑
=
n
1ipi.xi
V=∑
=
n
1ipi.(xi -
X
)²
2°) Densité de probabilité. Variable aléatoire continue :
Différents cas peuvent se produire suivant que l'ensemble des valeurs de X est
R ou des intervalles de R. La présentation de cette partie étant destinée à préparer
l'étude de la loi normale nous nous limiterons au cas où cet ensemble est R. On dit
alors que :
La variable aléatoire X est continue s'il existe une fonction positive f, continue sur R,
appelée densité de probabilité de X, telle que ∫+∞ ∞−dt)t(f = 1.
La loi de probabilité P de X vérifie :
P (X
≤
a) = ∫∞−
adt)t(f ; P (a < x
≤
b) = ∫b
adt)t(f ; P (X = a) = 0
3°) Fonction de répartition :
On appelle fonction de répartition de X la fonction F définie sur R par :
F (x) = ∫∞−
xdt)t(f
4°) Valeurs caractéristiques :
X
= E (X) = ∫+∞ ∞−dx)x(xf ; V(X) = ∫+∞ ∞−−dx)²Xx)(x(f ; )X(
σ
= )X(V

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III] LES LOIS FONDAMENTALES DE REFERENCE:
1°) Loi de Bernoulli :
Définition :
Une variable aléatoire X définie sur un univers probabilisé
Ω
est une variable de
Bernoulli si elle ne prend que les deux valeurs 1 et 0 avec les probabilités
respectives p et q = 1 -p.
Valeurs caractéristiques :
E(X) = p ; V(X) = p.q ; )X(
σ
= q.p
2°) Loi binomiale :
Définition :
Il s'agit de la loi de probabilité du nombre de succès dans une épreuve de
Bernoulli répétée n fois (par exemple tirages répétés dans une urne, avec remise).
Une variable aléatoire X à valeurs entières : 0 ; 1 ; 2 ;… ; n suit une loi
binomiale de paramètres n et p (p
∈
[0;11]) si, et seulement si, pour toute valeur
entière k
∈
[0, n], on a :
P (X = k) =
C
k
n. pk.q n-k (avec q = 1 – p)
Valeurs caractéristiques :
E (X) = n.p ; V(X) = n.p.q ; )X(
σ
= q.p.n
3°) Loi de Poisson:
Rq : on admettra que ∑
+∞
=0! nn
n
x= e x
Définition :
C’est une loi ou l’ensemble des valeurs est N (ensemble infini dénombrable).
Une variable aléatoire dénombrable X à valeurs dans N suit une loi de Poisson de
paramètre m (m>0) si, et seulement si P (X = k) = e –m . !kk
m
Valeurs caractéristiques :
E (X) = m ; V(X) = m ; )X(
σ
= m