Chap.V.rayonnement dipolaire

CHAPITRE V - RAYONNEMENT DIPOLAIRE.
CHAPITRE V
RAYONNEMENT D’UN DIPOLE OSCILLANT.
I : Le cadre de l’étude.
1°) Modélisation de la source de rayonnement.
Dipôle élémentaire.
On a déjà étudié dans le cadre de l’électrostatique le dipôle électrique, modélisé comme un ensemble de deux charges q et –q, placées respectivement en P et N, distantes de a.
On a établi les expressions du potentiel électrique et du champ
E( M ) créés à grande distance par ce dipôle (cas où r >> a ), qui
p = q NP = qae z .
z
p
a
P
N
r
M
q
-q
font intervenir le moment dipolaire électrique :
De tels dipôles peuvent exister spontanément dans la matière ou
encore être créés par un champ électrique appliqué au milieu, du fait d’une séparation des barycentres des
charges positives et négatives.
On généralise le concept de moment dipolaire à des dipôles « non rigides », pour lesquels la distance a
peut dépendre du temps. Le moment dipolaire instantané s’écrit alors : p == qa( t )e z .
Le dipôle de Hertz.
On appelle dipôle de Hertz un dipôle électrique oscillant, caractérisé par un moment
dipolaire électrique dépendant sinusoïdalement du temps.
En représentation complexe, on peut écrire : p = p0e jωt .
Un tel dipôle peut être vu comme l’ensemble de deux charges +q et -q données séparées d’une distance
variable oscillant dans le temps, ou encore de deux charges fixes (distantes de a donné) mais variables dans
le temps : q(t) = q0 cosωt .
L’une ou l’autre de ces interprétations du dipôle de Hertz permet une description du
rayonnement électromagnétique à partir du mouvement d’oscillation des charges électriques autour de leur position moyenne.
En mettant un grand nombre de dipôles élémentaires de ce type bout à bout, on modélise ainsi un fil
conducteur parcouru par un courant variable, c'est-à-dire une antenne.
Ainsi, le dipôle de Hertz est à la base de la description du rayonnement des antennes.
La dépendance temporelle sinusoïdale du dipôle de Hertz ne limite en rien l’intérêt de
l’étude, puisque l’on sait que toute évolution temporelle peut se ramener, par une analyse
de Fourier, à une somme de fonctions sinusoïdales.
2°) Les potentiels retardés de Liénard-Wiechert.
D’une manière générale le rayonnement dipolaire obéit aux équations de Maxwell dans le vide :

 div B = 0



∂B
rot E = ∂t

B = r ot A
avec
∂A
E = - grad V −
∂t
1 ∂V(M,t)
= 0 ces équations de Maxwell donnent
associées à la condition de Jauge de Lorentz divA (M,t) + 2
∂t
c
Page 1 sur 7
CHAPITRE V - RAYONNEMENT DIPOLAIRE.
2
1 ∂ V
ρ
∆V − 2
=
2
ε0
C ∂t
1 ∂2 A
∆A - 2
=
µ
j
o
C ∂ t2
et
les solutions des équations aux potentiels en régime variable sont appelées potentiels retardés (ou potentiels de Liénard-Wiechert), donnés par :
PM

ρ ( P, t −
)dτ P

1
c
(
,
)
=
V
M
t

4πε 0 ∫∫∫
PM

P∈D
Potentiels retardés 
.
PM

)dτ P
j ( P, t −
µ0
 A
c
(M , t) =

4π ∫∫∫
PM
P∈D
Ces résultats montrent que les phénomènes électromagnétiques ne se propagent pas instantanément,
mais avec une vitesse finie (c dans le vide ou l’air).Par suite, en un point M à la distance r de la distribution
de charges et à l’instant t, les potentiels ne peuvent pas correspondre aux charges et courants au même instant. S’il a fallu un temps r/c (où r = PM) pour que la perturbation parvienne en M, nous admettrons que les
r
potentiels correspondent en ce point aux distributions qu’avaient ρ et j à l’instant t − .
c
3°) Zone de rayonnement ; les approximations.
Nous cherchons des solutions données par les potentiels retardés, pour le champ créé par un dipôle oscillant, d’extension géométrique a au voisinage d’un point fixe O, en un point M situé à la distance r =
OM. Soit λ la longueur d’onde du champ rayonné par le dipôle.
Le problème sera traité dans le cadre suivant :
1. On se place dans le cadre de l’approximation dipolaire : r >> a ;
2. On se place dans le cadre de l’approximation non relativiste : a << λ = cT ;
3. On se place dans la zone de rayonnement, définie par : r >> λ .
Discussion :
L’approximation non relativiste consiste à considérer la vitesse de la charge du dipôle oscillant comme
2π
négligeable devant c, soit v ≈ aω =
a << c , soit a << λ .
T
La zone de rayonnement correspond aux conditions courantes de perception des ondes en optique, des
ondes radio de la bande FM, ainsi que la bande « Grandes Ondes ».
- La condition r >> a permet d’écrire :
1
1
≈ .
PM r
- La condition a << λ autorise à remplacer le retard
PM OM a
PM
r
−
≈ est faible depar
car l’écart
c
c
c
c
c
vant la période T.
II : Le rayonnement dipolaire électrique.
1°) Expression du champ électromagnétique rayonné.
er
a) Considérations
Considérations de symétrie
z
Prenons pour image du dipôle de Hertz le cas d’une charge –q
en un point mobile N, de vitesse v , au voisinage d’une charge +q
fixe placée en O.
Repérons le point M par ses coordonnées sphériques (r, θ, ϕ),
Page 2 sur 7
M
p
eθ
y
O
x
θ r
eϕ
ϕ
CHAPITRE V - RAYONNEMENT DIPOLAIRE.
le vecteur moment dipolaire p du dipôle étant porté par l’axe Oz.
Le plan ( e r , eθ ) est un plan de symétrie paire pour les sources.
B (M, t), vecteur axial (pseudo vecteur) est perpendiculaire au plan ( e r , eθ ) . B est donc azi
mutal, parallèle au vecteur eϕ . E (M,t), et A (M,t), sont des vecteurs polaires (vrai vecteur),
sont contenu dans ce plan.
b) Calcul du potentiel vecteur
A( M,t )
rayonné
Par application de la relation donnant le potentiel vecteur
On trouve pour le du dipôle de hertz


 où v  P,t - PM  est la vitesse de la charge –q au point P à l’instant t qui s’écrit


c 

•
PM 

p
 P, t 
0
µ0
∂a ∂p
∂a c 

v (P, t ) =
e z En remarquant que p =
=-q
e z = - q v , il vient que
ez
A (M, t) =
4π
PM
∂t
∂t
∂t
µ
A (M,t) = - 0
4π

PM
q v  P, t c

PM
Dans le cadre des approximations dipolaire et relativiste on a
1
1
≈
PM r
et
PM r
≈
c
c
soit
•
 r 
p t - 
µ
 c 
A (M, t) = 0
ez
4π
r
c) Calcul du potentiel retardé V(M,t) rayonné
Par application de la jauge de Lorentz on écrit
∂V
= - c 2 div A
∂t
il s’agit donc de calculer div A
•

 r  

p t -  
µ
 c  
div A = div  0
e z  sachant que
divfu = u grad f + f divu on écrit
4π
r




•

 •  r  ••  r  
 r 

 p t -  p t -  
p t -  
µ0  c  
µ0   c 
 c  
div A = e z .grad 
soit
div A = −
.
+
2

( e z .e r )
4π
r
4π
rc
r








•
•
•
  r 
 r 
 p t -  
2  p t ∂V µ 0 c   c 
 c  et en multipliant par ( −c 2 ) on trouve
=
.
+
2
( e z .e r )
∂t
4π
rc
r




•
  r 
 r 
 p t -  p t -  
µ 0 c 2 cos θ   c 
c 
V=
.
+ 
Par intégration on trouve
2

4π
rc
r




connaissant V et A ont peut
∂
A
a B et E en effet E = - grad V et B = rot A
∂t
Page 3 sur 7
CHAPITRE V - RAYONNEMENT DIPOLAIRE.
d) Calcul du champ magnétique rayonné
Partant de la relation B = rot A
et en utilisant la relation usuelle rot fu = grad f ∧ u + f rot u on obtient
•

µ0
 p (t - r/c )  B=
grad 
 Λe z
4π
r




soit
•
••
µ 0  p (t - r/c ) p (t - r/c )  B=
−
−
(e r Λe z )
4 π 
rc
r2



•
••
µ 0 sin θ  p (t - r/c ) p (t - r/c )  B=
+
e ϕ
rc
4 π 
r2



Ou enfin
e) Calcul du champ électrique rayonné
µ c2
gradV = − 0
4π
•
••


µ0c 2
 2p (t - r/c ) 2 p (t - r/c ) p (t - r/c ) 
+
+
cos
θ
e
+
r


4π
r3
r 2c
rc 2




•


 p (t - r/c ) p (t - r/c ) 
+
. sinθ eθ


3
2
r
r c 



••
∂A µ 0 p (t - r/c )
=
(cos θe r − sin θeθ )
∂t
4π
r
•



 E = 2 cos θ  p( t − r / c ) + p( t − r / c ) 
 r

4πε 0 
r3
r 2c



•

r


p( t − ) ••

∂A
sin θ  p( t − r / c )
p( t − r / c ) 
c
on trouve E( r , t ) =  E θ =
Avec la relation E = − gradV −
+
+


4πε 0 
∂t
r3
r 2c
rc 2





 Eϕ = 0



Dans la zone de rayonnement définie par a << λ << r on a
2
1 << 1 << 1 soit 1 << ω << ω
r3
r 2λ
rλ2
r3
r 2c
rc2
en multipliant par p
p0
ɺpɺ
p
<<
<<
r3
r 2c
rc2
on montre que
On aboutit ainsi à une forme approchée du champ rayonné
••
µ p (t - r/c )
B= 0
sin θeϕ
4π
rc
et
E=
••
1 p( t − r / c )
sin θ eθ
2
4πε 0
rc
2°) Structure du champ rayonné par un dipôle oscillant
Dans la zone de rayonnement ( a << λ << r ), le champ électromagnétique créé par le dipôle
de Hertz :
- décroît comme 1 r , contrairement au champ électrique produit par un dipôle électrostatique, qui varie comme r-3,
p (t − r ) , donc à l’accélération de la particule rayonnante,
- est proportionnel à ɺɺ
c
- présente localement une structure d’onde plane progressive, se propageant radialement à
partir du dipôle : E ( M , t ) = cB( M , t ) ∧ er .
Notons que le rayonnement n’est pas isotrope du fait du facteur en sin(θ).
Page 4 sur 7
CHAPITRE V - RAYONNEMENT DIPOLAIRE.
Cette approximation locale de l’onde plane donne réalité au modèle de l’O.P.P.H. utilisée pour décrire les ondes.
3°) Puissance électromagnétique rayonnée.
Vecteur de Poynting.
Le vecteur de Poynting s’écrit
1 EΛ B
.et en utilisant la relation entre E et B d’un dipôle
Π=
2 µ0
de Hertz dans la zone de rayonnement on trouve Π =
µ 0 sin 2 θ ••2
E2 p ( t − r / c )e r
e r ou encore Π =
2
2
µ0c
16π c r
Puissance rayonnée par unité de surface
La puissance moyenne rayonnée à travers une élément de surface dS sur une sphère de rayon r s’écrit
dP = Πer dS
ce qui donne
dP = Πer dS
dP =
sin 2 θ ••2
p ( t − r / c )dS
16π 2 c r 2
µ0
La puissance moyenne rayonnée par unité de surface sur une sphère de rayon r dans la direction e r est
••
µ 0 sin 2 θ
dP
2
=
<
p
>
2
2
dS
16π c r
:.
Cette expression montre :que le rayonnement d’un dipôle n’est pas isotrope : la puissance
rayonnée est nulle dans la direction du dipôle et maximale dans le plan équatorial.
Diagramme de rayonnement.
On peut rendre compte de l’anisotropie du rayonnement dipolaire en
traçant le diagramme de rayonnement défini comme le lieu des points Q
z
p
Q
O
dP OQ =
er
dS
tels que
θ
Dans le cas du rayonnement dipolaire, on obtient une surface de révolution dont une méridienne a pour équation polaire : r = r0 sin 2 (θ ) .
Puissance totale rayonnée.
La puissance moyenne totale rayonnée à travers une sphère de rayon r s’obtient par intégration sur toudP
dS
tes les directions de la puissance moyenne rayonnée par unité de surface
∫∫∫
< P >=
Sphère
on aboutit à
dP 2
r sin θdθdϕ
dS
π
soit < P >= ∫
0
< P >=
••
µ0
16π c
2
2π
π
∫
∫ sin
0
0
< p 2 > sin 3 θdθ dϕ sachant que
3
θdθ =
4
3
••
2
µ0
<p >
6πc
La distance d’observation n’intervient pas (d’où la possibilité de propager de signaux sur
de grandes distances).
Remarque :
Il est remarquable que la puissance moyenne rayonnée soit indépendante du rayon r de la sphère. Ceci
vient directement de la décroissance des champs en 1/r et montre que cette décroissance n’est pas liée à un
phénomène d’absorption, mais à la répartition de la puissance sur une surface qui croît comme r2.
En remplaçant ɺpɺ par − p0ω 2 cos(ωt ) , il vient :
< P >=
Page 5 sur 7
µ 0 p 02 ω 4
12πc
.
CHAPITRE V - RAYONNEMENT DIPOLAIRE.
III : Diffusion du rayonnement électromagnétique.
1°) Rayonnement d’une charge accélérée.
Les expressions précédentes de la puissance moyenne totale rayonnée montrent que cette puissance est
liée à l’accélération de la particule chargée mobile.
Réciproquement, toute charge accélérée libère de l’énergie par rayonnement électromagnétique.
Reprenons l’exemple simple du dipôle oscillant formé d’une charge q mobile se déplaçant sur l’axe Oz
au voisinage d’une charge –q fixée en O. La charge mobile est repérée par sa cote : z( t ) = z 0 cos ωt .
Le moment dipolaire de cette distribution vaut : p = qz (t )ez .
••
2
µ0q2 < z > µ0q < a
=
La puissance moyenne rayonnée s’écrit alors : < P >=
6πc
6πc
2
>
. ( a est l’accélération
de la charge).
La dernière expression, faisant intervenir l’accélération de la charge constitue la formule de Larmor,
qui donne la puissance rayonnée par une particule non relativiste.
2°) Notions sur la diffusion Rayleigh.
Le champ E du rayonnement émis parle Soleil interagit avec les molécules de l’atmosphère qui se
comportent alors comme des dipôles électriques induits.
Ces dipôles oscillants rayonnent à leur tour des ondes électromagnétiques dans toutes les directions. On
dit que la lumière du Soleil est diffusée.
Le modèle de l’électron élastiquement lié.
On étudie l’interaction atome – rayonnement, dans le cadre de la mécanique classique, à l’aide du modèle phénoménologique dit :
Le modèle de l’électron élastiquement lié, pour lequel :
1. Les différents électrons des molécules de l’atmosphère peuvent être traités indépendamment.
2. Chaque électron est modélisé comme un oscillateur harmonique amorti. L’électron est
2
soumis à une force de rappel de la forme −mω0 r , qui rend compte de l’effet du déplacement
de l’électron sur le champ électrique qu’exercent sur lui les noyaux de la molécule et les autres
électrons. L’électron est soumis en outre à une force de frottements fluides − mΓrɺ qui rend
compte des diverses causes d’amortissement.
16
8
Typiquement, on a : ω0 ≈ 10 rad / s >> Γ ≈ 10 rad / s .
Modélisons la lumière venant du Soleil par une O.P.P.H., de pulsation ω (ω étant compris entre
2.1015rad/s et 4.1015 rad/s pour la lumière visible.
L’électron est soumis à la force de Lorentz F = q E S + v ∧ BS .
(
)
Pour l’O.P.P.H. solaire, on a BS = ES / c, et en supposant les électrons non relativistes, la
force magnétique est négligeable devant la force électrique.
D’autre part, l’électron reste lié au noyau et se déplace au plus de 0,1 nm. Les longueurs
d’onde du spectre visible étant de l’ordre de 500 nm, on peut considérer le champ électrique
solaire E comme uniforme à l’échelle du déplacement de l’électron et écrire :
S
ES = E0 S cos(ωt ) .
Page 6 sur 7
CHAPITRE V - RAYONNEMENT DIPOLAIRE.
Montrer que le principe fondamental de la dynamique appliqué à l’électron s’écrit dans ces conditions :
mrɺɺ = − mω02 r − mΓrɺ − eE0 S cos(ωt ) .
On cherche la réponse en régime harmonique forcé de pulsation ω en passant par la représentation complexe (équation différentielle linéaire à coefficients constants) :
e
E0 S e jωt
Établir que :
.
r =−
m ω02 − ω 2 + jΓω
Compte tenu des ordres de grandeur numériques,ω0 est dans l’ultraviolet lointain, de sorte qu’on a :
ω<< ω0.
Justifier que le moment dipolaire induit peut alors s’écrire sous la forme simplifiée :
e 2 jωt
p≃
E0 S e .
mω02
Montrer que la puissance rayonnée par un tel dipôle s’écrit :
P =
µ0 e 4
E02S ω 4 .
2 4
12π m ω0 c
Pourquoi le Ciel est-il bleu et le Soleil couchant (ou levant) rouge ?
La puissance rayonnée varie comme ω4 , soit encore comme 1/λ4.
Cette diffusion est appelée diffusion Rayleigh : dans le spectre de la lumière visible,
l’atmosphère diffuse nettement plus les radiations bleues que les rouges (environ 16 fois plus),
ce qui explique la couleur bleue du ciel et la couleur rouge du soleil à son coucher ou à son lever.
3°) Polarisation par diffusion.
La lumière du Soleil n’est pas polarisée (cf
« Le modèle ondulatoire de la lumière ») et
son champ électrique vibre perpendiculairement à sa direction de propagation, suivant
e
x
Ex
Bleu du
ciel
z
px
z
(figure ci-contre).
On peut alors décomposer E en deux
composantes E et E polarisées rectilignex
Ey
py
Soleil
y
ment dans deux directions perpendiculaires et
présentant entre elles un déphasage aléatoire.
observateur
y
E
Ces champs engendrent des moments di
polaires induits oscillants p x et p y Pour un observateur situé suivant la direction e y , le champ électrique
diffusé est uniquement dû au dipôle p et est dirigé suivant -
e : cette lumière diffusée est donc polarisée
x
x
rectilignement
Page 7 sur 7