Chap.V.rayonnement dipolaire

CHAPITRE V - RAYONNEMENT DIPOLAIRE.
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CHAPITRE V
VV
V
RAYONNEMENT D’UN DIPOLE OSCILLANT.
I
II
I : Le cadre de l’étude.
: Le cadre de l’étude.: Le cadre de l’étude.
: Le cadre de l’étude.
1°) Modélisation de la source de rayonnement.
 Dipôle élémentaire.
On a déjà étudié dans le cadre de l’électrostatique le dipôle élec-
trique, modélisé comme un ensemble de deux charges q et –q, pla-
cées respectivement en P et N, distantes de a.
On a établi les expressions du potentiel électrique et du champ
)M(E créés à grande distance par ce dipôle (cas où
r a
>>
), qui
font intervenir le moment dipolaire électrique :
z
eqaNPqp == .
De tels dipôles peuvent exister spontanément dans la matière ou
encore être créés par un champ électrique appliqué au milieu, du fait d’une séparation des barycentres des
charges positives et négatives.
On généralise le concept de moment dipolaire à des dipôles « non rigides », pour lesquels la distance a
peut dépendre du temps. Le moment dipolaire instantané s’écrit alors :
z
e)t(qap == .
 Le dipôle de Hertz.
On appelle dipôle de Hertz un dipôle électrique oscillant, caractérisé par un moment
dipolaire électrique dépendant sinusoïdalement du temps.
En représentation complexe, on peut écrire :
0
j t
p p e
ω
=
.
Un tel dipôle peut être vu comme l’ensemble de deux charges +q et -q données séparées d’une distance
variable oscillant dans le temps, ou encore de deux charges fixes (distantes de a donné) mais variables dans
le temps : .tcos q q(t)
0
ω=
L’une ou l’autre de ces interprétations du dipôle de Hertz permet une description du
rayonnement électromagnétique à partir du mouvement d’oscillation des charges électri-
ques autour de leur position moyenne.
En mettant un grand nombre de dipôles élémentaires de ce type bout à bout, on modélise ainsi un fil
conducteur parcouru par un courant variable, c'est-à-dire une antenne.
Ainsi, le dipôle de Hertz est à la base de la description du rayonnement des antennes.
La dépendance temporelle sinusoïdale du dipôle de Hertz ne limite en rien l’intérêt de
l’étude, puisque l’on sait que toute évolution temporelle peut se ramener, par une analyse
de Fourier, à une somme de fonctions sinusoïdales.
2°) Les potentiels retardés de Liénard-Wiechert.
D’une manière générale le rayonnement dipolaire obéit aux équations de Maxwell dans le vide :
∂
∂
−=
∂
∂
=
==
t
A
V grad - E
t
B
- E rot
avec
A otr B 0B div
associées à la condition de Jauge de Lorentz
0
tt)V(M,
c
1
t)(M, Adiv
2
=
∂
∂
+ ces équations de Maxwell donnent
z
P
N
q
-
q
r
M
a
p

CHAPITRE V - RAYONNEMENT DIPOLAIRE.
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0
2
ε
ρ
=
∂
∂
−∆ t
V
C
1
V
2
2
et j µ
t
A
C
1
- A
o
2
2
=
∂
∂
∆
2
les solutions des équations aux potentiels en régime variable sont appelées potentiels retardés (ou poten-
tiels de Liénard-Wiechert), donnés par :
0
0
( , )
1
( , ) 4
( , )
( , ) 4
P
P D
P
P D
PM
P t d
c
V M t PM
Potentiels retardés PM
j P t d
c
A M t PM
ρ τ
πε
τ
µπ
∈
∈
−
=
−
=
∫∫∫
∫∫∫
.
Ces résultats montrent que les phénomènes électromagnétiques ne se propagent pas instantanément,
mais avec une vitesse finie (c dans le vide ou l’air).Par suite, en un point M à la distance r de la distribution
de charges et à l’instant t, les potentiels ne peuvent pas correspondre aux charges et courants au même ins-
tant. S’il a fallu un temps r/c (où r = PM) pour que la perturbation parvienne en M, nous admettrons que les
potentiels correspondent en ce point aux distributions qu’avaient ρ et j
 à l’instant
r
t
c
−
.
3°) Zone de rayonnement ; les approximations.
Nous cherchons des solutions données par les potentiels retardés, pour le champ créé par un dipôle os-
cillant, d’extension géométrique a au voisinage d’un point fixe O, en un point M situé à la distance r =
OM. Soit λ la longueur d’onde du champ rayonné par le dipôle.
Le problème sera traité dans le cadre suivant :
1. On se place dans le cadre de l’approximation dipolaire :
r a
>>
;
2. On se place dans le cadre de l’approximation non relativiste :
a cT
λ
<< =
;
3. On se place dans la zone de rayonnement, définie par :
r
λ
>>
.
Discussion :
L’approximation non relativiste consiste à considérer la vitesse de la charge du dipôle oscillant comme
négligeable devant c, soit
2
v a a c
T
π
ω
≈ = <<
, soit
a
λ
<<
.
La zone de rayonnement correspond aux conditions courantes de perception des ondes en optique, des
ondes radio de la bande FM, ainsi que la bande « Grandes Ondes ».
- La condition r >> a permet d’écrire :
1 1
PM r
≈
.
- La condition a << λ autorise à remplacer le retard
PM
c
par
r
c
car l’écart
PM OM a
c c c
− ≈
est faible de-
vant la période T .
II : Le rayonnement dipolaire électrique.
1°) Expression du champ électromagnétique rayonné.
a
aa
a)
))
) Considération
ConsidérationConsidération
Considérations
ss
s de symétrie
de symétrie de symétrie
de symétrie
Prenons pour image du dipôle de Hertz le cas d’une charge –q
en un point mobile N, de vitesse v
, au voisinage d’une charge +q
fixe placée en O.
Repérons le point M par ses coordonnées sphériques (r, θ, ϕ),
x
z
y
M
O
ϕ
r
θ
p
e
r
e
θ
e
ϕ

CHAPITRE V - RAYONNEMENT DIPOLAIRE.
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le vecteur moment dipolaire p
 du dipôle étant porté par l’axe Oz.
Le plan )e,e(
rθ
est un plan de symétrie paire pour les sources.
B
(M, t), vecteur axial (pseudo vecteur) est perpendiculaire au plan
)e,e(
rθ
.B
 est donc azi-
mutal, parallèle au vecteur
ϕ
e .E
(M,t), et
A
(M,t), sont des vecteurs polaires (vrai vecteur),
sont contenu dans ce plan.
b) Calcul du potentiel vecteur )tM,(A rayonné
Par application de la relation donnant le potentiel vecteur On trouve pour le du dipôle de hertz
PM
c
PM
- tP, v q
4
µ
- t)(M, A
0
π
= où
c
PM
- tP, v est la vitesse de la charge –q au point P à l’instant t qui s’écrit
( )
z
e
t
a
tP, v
∂
∂
= En remarquant que v q- e
t a
q -
t p
p
z
=
∂
∂
=
∂
∂
=
0
, il vient que
z
0
e
PM
c
PM
- tP, p
4
µ
t)(M, A 
π
=
•
Dans le cadre des approximations dipolaire et relativiste on a
r
PM
11 ≈
et
c
r
c
PM ≈
soit
z
0
e
r
c
r
-t p
4
µ
t)(M, A 
π
=
•
c) Calcul du potentiel retardé V(M,t) rayonné
Par application de la jauge de Lorentz on écrit A div c -
t
V
2
=
∂
∂
il s’agit donc de calculer A div
π
=
•
z
0
e
r
c
r
-t p
4
µ
div A div  sachant que udiv f f grad uudivf += on écrit
π
=
•
r
c
r
-t p
4
µ
radg.e A div
0
z
soit )e.e(
rc
c
r
-t p
r
c
r
-t p
.
4
µ
A div
rz
0
+
π
−=
•••
2
et en multipliant par )c(
2
− on trouve )e.e(
rc
c
r
-t p
r
c
r
-t p
.
4
cµ
t
V
rz
0
+
π
=
∂
∂
•••
2
2
Par intégration on trouve
+
πθ
=
•
rc
c
r
-t p
r
c
r
-t p
.
4
coscµ
V
02
2
connaissant
Arot Bet
t
A
- V grad - Eeffet en Eet B a peut ont Aet V =
∂
∂
=

CHAPITRE V - RAYONNEMENT DIPOLAIRE.
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d) Calcul du champ magnétique rayonné
Partant de la relation A rot B = et en utilisant la relation usuelle u rot f u f grad ufotr +∧= on obtient
( )
z
0
e
r r/c-t p
grad
4
µ
B
Λ
π
=
•
soit
( ) ( ) ( )
zr
0
ee
rc r/c-t p
r
r/c-t p
4
µ
B
Λ
−−
π
=
•••
2
Ou enfin
( ) ( )
ϕ
•••
+
πθ
=e
rc r/c-t p
r
r/c-t p
4
sinµ
B
0
2
e)
Calcul du champ électrique rayonné
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
θ
••••
θ
+
π
+θ
++
π
−= e sin.
cr
r/c-t p
r
r/c-t p
4
cµ
ecos
rc
r/c-t p
cr
r/c-t p
r
r/c-t 2p
4
cµ
Vgrad
0
r
0
23
2
223
2
2
( )
)esine(cos
r
r/c-t p
4
µ
t
A
r
0θ
••
θ−θ
π
=
∂
∂
Avec la relation
t
A
VgradE ∂
∂
−−= on trouve
=
−
+
−
+
−
πεθ
=
−
+
−
πε θ
=
=
ϕ
••
•
θ
•
0
4
4
2
223
0
23
0
E
rc
)c/rt(p
cr
)
c
r
t(p
r
)c/rt(psin
E
cr
)c/rt(p
r
)c/rt(p
cos
E
)t,r(E
r
Dans la zone de rayonnement définie par a <<
λ
<< r on a
2
2
2
3
22
3rc
cr r
1
soit
r1 r1 r
1
ω
<<
ω
<<
λ
<<
λ
<<
en multipliant par p on montre que
22
0
3
rc p cr p r p ɺɺ
<<<<
On aboutit ainsi à une forme approchée du champ rayonné
( )
ϕ
••
θ
π
=esin
rc
r/c-t p
4
µ
B
0
et
θ
••
θ
−
πε
=esin
rc
)c/rt(p
E
2
0
41
2°) Structure du champ
2°) Structure du champ 2°) Structure du champ
2°) Structure du champ rayonné par un dipôle oscillant
rayonné par un dipôle oscillantrayonné par un dipôle oscillant
rayonné par un dipôle oscillant
Dans la zone de rayonnement (
a r
λ
<< <<
), le champ électromagnétique créé par le dipôle
de Hertz :
- décroît comme
1
r
, contrairement au champ électrique produit par un dipôle électrostati-
que, qui varie comme r
-3
,
- est proportionnel à
( )
r
p t
c
−
ɺɺ
, donc à l’accélération de la particule rayonnante,
- présente localement une structure d’onde plane progressive, se propageant radialement à
partir du dipôle :
( , ) ( , )
r
E M t cB M t e
= ∧
.
Notons que le rayonnement n’est pas isotrope du fait du facteur en sin(θ).

CHAPITRE V - RAYONNEMENT DIPOLAIRE.
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Cette approximation locale de l’onde plane donne réalité au modèle de l’O.P.P.H. utilisée pour dé-
crire les ondes.
3°) Puissance électromagnétique rayonnée.
 Vecteur de Poynting.
Le vecteur de Poynting s’écrit
0
2
1µ Λ
=Π BE
.et en utilisant la relation entre
E
et
B
d’un dipôle
de Hertz dans la zone de rayonnement on trouve
r
e
c
E
0
2
µ
=Π
ou encore
r
e)c/rt(p
r
sin
c
−
θ
π
µ
=Π •• 2
2
2
2
0
16
 Puissance rayonnée par unité de surface
La puissance moyenne rayonnée à travers une élément de surface dS sur une sphère de rayon r s’écrit
dSed
r
Π=P ce qui donne dSed
r
Π=P dS)c/rt(p
r
sin
c
d−
θ
π
µ
=
•• 2
2
2
2
0
16
P
La puissance moyenne rayonnée par unité de surface sur une sphère de rayon r dans la direction e
r
est
•• ><
θ
π
µ
=2
2
2
2
0
16
p
r
sin
c
dS
dP
:.
Cette expression montre :que le rayonnement d’un dipôle n’est pas isotrope : la puissance
rayonnée est nulle dans la direction du dipôle et maximale dans le plan équatorial.
 Diagramme de rayonnement.
On peut rendre compte de l’anisotropie du rayonnement dipolaire en
traçant le diagramme de rayonnement défini comme le lieu des points Q
tels que
r
e
dS
d
OQ
P
=
Dans le cas du rayonnement dipolaire, on obtient une surface de révo-
lution dont une méridienne a pour équation polaire :
2
0
sin ( )
r r
θ
=.
 Puissance totale rayonnée.
La puissance moyenne totale rayonnée à travers une sphère de rayon r s’obtient par intégration sur tou-
tes les directions de la puissance moyenne rayonnée par unité de surface
dS
dP
∫∫∫
ϕθθ>=<
Sphère
ddsinr
dS
d2 P
P soit
∫∫
ππ ••
ϕθθ><
π
µ
>=<
2
00
32
2
0
16 ddsinp c
P sachant que
3
4
0
3
=θθ
∫
π
dsin
on aboutit à
••
><
π
µ
>=<
2
0
6
p
c
P
La distance d’observation n’intervient pas (d’où la possibilité de propager de signaux sur
de grandes distances).
Remarque :
Il est remarquable que la puissance moyenne rayonnée soit indépendante du rayon r de la sphère. Ceci
vient directement de la décroissance des champs en 1/r et montre que cette décroissance n’est pas liée à un
phénomène d’absorption, mais à la répartition de la puissance sur une surface qui croît comme r
2
.
En remplaçant
p
ɺɺ
par
2
0
cos( )
p t
ω ω
−, il vient :
c
pπωµ
>=<
12
42
00
P
.
z
θ
Q
O
p