Quelques propriétés des paires couvrantes - IMJ-PRG

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fax : [phone] novembre 2001
Quelques propri´et´es des paires couvrantes
Corinne Blondel
Soit Fun corps local non archim´edien et soit Gle groupe des points sur F
d’un groupe alg´ebrique r´eductif et connexe d´efini sur F. Soit Mun sous-groupe
de Levi de Get Pun sous-groupe parabolique de Gde facteur de Levi M.
C.J. Bushnell et P.J. Kutzko rappellent dans [BK2] la d´ecomposition de Bern-
stein de la cat´egorie des repr´esentations lisses complexes de Get la d´efinition
d’un type pour un facteur direct minimal de cette cat´egorie. Ils y d´efinissent la
notion de paire couvrante (G-cover) et d´emontrent qu’une paire couvrante d’un
type de Mest un type de G, l’induction parabolique de P`a Gse trouvant alors
d´ecrite en termes de modules sur les alg`ebres de Hecke attach´ees `a ces types.
M.-F. Vign´eras ´etend dans [V2] certaines propri´et´es des paires couvrantes `a la
cat´egorie des repr´esentations lisses de Gsur un corps Rdans lequel le cardinal
du corps r´esiduel de Fest inversible.
Par d´efinition, une paire couvrante (J, τ) dans G, relativement `a P, d’une
paire (JM, τM) dans M(voir les notations ci-dessous ; τMest ici irr´eductible),
est en particulier une paire d´ecompos´ee au-dessus de (JM, τM) relativement `a P.
L’intuition dicte que c’est mˆeme une paire d´ecompos´ee maximale et cette con-
viction est sous-jacente aux constructions de paires couvrantes effectu´ees jusqu’`a
pr´esent, aussi bien d’ailleurs qu’aux constructions de repr´esentations ant´erieures
partant de strates — de fait une strate d´efinit un caract`ere d’un sous-groupe de
congruence que l’on tˆache de prolonger `a un sous-groupe aussi gros que possible,
au prix si n´ecessaire d’une construction d’Heisenberg.
Je montre au paragraphe I qu’une paire couvrante est effectivement une paire
d´ecompos´ee maximale, lorsque la repr´esentation τMest projective et le corps R
alg´ebriquement clos.
Noter qu’une paire d´ecompos´ee maximale n’est pas n´ecessairement couvrante ;
de fait l’existence de paires d´ecompos´ees maximales va de soi, mais pas celle de
paires couvrantes. Par exemple le choix, pour une classe d’inertie donn´ee dans
M, d’un type associ´e dans Mduquel on cherche une paire couvrante dans G,
influe sur l’existence de celle-ci - voir [BB], Th´eor`eme III.9.1. A l’heure actuelle,
seuls les groupes GLn(F) et SLn(F) disposent, quelle que soit la caract´eristique
r´esiduelle de F, d’une description compl`ete de leur dual lisse complexe au moyen
de types qui sont des paires couvrantes de types cuspidaux de leurs sous-groupes
de Levi.
D’autre part, j’ai donn´e dans [B2] une condition suffisante pour qu’une paire
d´ecompos´ee soit couvrante : il suffit qu’elle s’ins`ere dans une suite de paires
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2Corinne Blondel
d´ecompos´ees telle que le passage d’une paire `a la suivante v´erifie une condition
d’entrelacement convenable. Il est naturel de se demander si cette condition est
aussi n´ecessaire. La r´eponse est oui dans le cas complexe comme on le verra `a la
fin du paragraphe III.
De fait, une paire d´ecompos´ee (J, τ) peut s’ins´erer dans la suite de paires
d´ecompos´ees (z−kJzk, τ zk)k∈Z, o`u zest un ´el´ement fortement positif fix´e du
centre de M, et cette suite permet de transformer l’action, sur la repr´esentation
induite compacte indG
Jτ, de l’´el´ement Φzde HR(G, J, τ) de support JzJ et
valeur identit´e en z, en un op´erateur d’entrelacement de indG
Jτdans indG
z−1Jz τz.
L’it´eration de ce proc´ed´e d´ebouche sur la construction d’un G-homomorphisme
Ψ+de indG
Jτdans la repr´esentation induite compacte indG JMNτM⊗1.
Je montre au paragraphe II que si (J, τ) est une paire couvrante de (JM, τM)
relativement au sous-groupe parabolique oppos´e ¯ P, alors Ψ+est un isomor-
phisme. La composition de l’inclusion naturelle
EndRM (indM
JMτM)→EndRG(indG JMNτM⊗1)
avec l’isomorphisme de EndRG(indG
JMNτM⊗1) sur EndRG(indG Jτ) induit par Ψ+
fournit alors un homomorphisme d’alg`ebres injectif :
HR(M, JM, τM)→ HR(G, J, τ)
qui se trouve ˆetre exactement l’homomorphisme tde [BK2], Th´eor`eme 7.2. Ainsi
le paragraphe II fait vraiment apparaˆıtre la th´eorie des paires couvrantes comme
une d´eformation de l’induction parabolique.
Le fait que Ψ+soit un isomorphisme de indG
Jτsur indG JMNτM⊗1 a ´et´e
d´emontr´e de fa¸con tr`es diff´erente par J.-F. Dat dans [D], Th´eor`eme 4.3, sous
des hypoth`eses assez contraignantes qui sont lev´ees ici. L’article de J.-F. Dat
explique par ailleurs quelles sont les cons´equences de ce r´esultat dans le contexte
modulaire.
La proposition 2 du paragraphe III, c’est-`a-dire l’admissibilit´e des repr´esenta-
tions lisses irr´eductibles de Gsur Ret le fait que les HR(G, J, τ)-modules `a droite
simples sont de dimension finie, est un r´esultat de M.-F. Vign´eras. Je la remercie
vivement de m’avoir communiqu´e ce r´esultat et de m’avoir autoris´ee `a reproduire
ici sa d´emonstration.
Je remercie Guy Henniart pour ses encouragements et ses conseils. Merci
´egalement `a Bertrand Lemaire et Jean-Fran¸cois Dat pour des discussions cons-
tructives.
Notations et d´efinitions.
Dans toute la suite, Fest un corps local non archim´edien de caract´eristique
r´esiduelle p,Gest le groupe des points sur Fd’un groupe alg´ebrique r´eductif

Quelques propri´ et´ es des paires couvrantes 3
et connexe d´efini sur F,Mest un sous-groupe de Levi propre de Get Pun
sous-groupe parabolique de Gde facteur de Levi Met radical unipotent N. On
note ¯ Ple sous-groupe parabolique de Goppos´e de Ppar rapport `a Met ¯ Nson
radical unipotent.
Soit Run corps (commutatif) de caract´eristique diff´erente de p(de fa¸con
que Gposs`ede une mesure de Haar `a valeurs dans R, voir [V1]). Pour toute
repr´esentation lisse (π, V ) de Gdans un espace vectoriel Vsur R, on note
(πN, VN) le module de Jacquet de Vrelativement `a Pet rNl’application ca-
nonique de Vsur VN.
Soit Jun sous-groupe ouvert compact de Get τune repr´esentation lisse
irr´eductible de Jdans un espace vectoriel Wsur R. Notons ιl’injection canonique
de Wdans l’espace de la repr´esentation induite compacte indG
Jτ, qui `a w∈W
associe la fonction de support Jet valeur wen 1. L’alg`ebre EndRG ¡indG
Jτ¢
s’identifie `a l’alg`ebre de convolution HR(G, J, τ) des fonctions lisses `a support
compact de Gdans EndRWv´erifiant Φ(kxh) = τ(k)Φ(x)τ(h) pour tous ´el´ements
h, k de Jet xde G, `a la mani`ere indiqu´ee dans [V1], §I.8.5 :
(0.1) e Φ7−→ Φ d´efinie par Φ(x)(w) = e Φ(ι(w))(x) (x∈G, w ∈W).
Cette identification transforme composition des endomorphismes en convolution
donn´ee par la formule :
(0.2) Φ ∗Ψ(x) = X
g∈G/J
Φ(xg) Ψ(g−1) = X
g∈G/J
Φ(g) Ψ(g−1x)
et transforme l’action de e Φ∈EndRG ¡indG
Jτ¢sur un ´el´ement fde l’espace de
la repr´esentation indG
Jτen une convolution donn´ee par la mˆeme formule o`u l’on
remplace Ψ par f, soit e Φ(f) = Φ ∗f.
On fixe un sous-groupe ouvert compact JMde Met une repr´esentation lisse
irr´eductible τMde JMdans un espace vectoriel Wsur R. Les d´efinitions indis-
pensables qui suivent sont extraites de [BK2] dans le cas complexe.
Soit Jun sous-groupe ouvert compact de Get τune repr´esentation lisse
irr´eductible de J. On pose J+=J∩Net J−=J∩¯ N; ce sont des pro-
p-groupes. On dira que (J, τ) est une paire d´ecompos´ee au-dessus de (JM, τM)
relativement `a Psi :
(i) J∩M=JMet J=J−JMJ+;
(ii) la restriction de τ`a JMest ´egale `a τMet les restrictions de τ`a J+et J−
sont triviales.
Dans ces conditions, un ´el´ement zdu centre de Mest dit fortement positif
relativement `a Pet Jsi zJ+z−1⊂J+,zJ−z−1⊃J−et pour tous sous-groupes
compacts H1,H2de N(resp. ¯ N) il existe un entier mpositif (resp. n´egatif) tel
que zmH1z−m⊂H2. On notera Z++ l’ensemble de ces ´el´ements ; il est non vide.

4Corinne Blondel
On dira que (J, τ) est une paire couvrante de (JM, τM)relativement `a Psi
c’est une paire d´ecompos´ee au-dessus de (JM, τM) relativement `a Pv´erifiant :
(0.3) il existe un ´el´ement zde Z++ tel que la double classe Jz−1Jsupporte un
´el´ement inversible de HR(G, J, τ).
Si la condition (0.3) est v´erifi´ee, elle est alors valide pour tout ´el´ement de Z++
(voir [BK2] et [V2]). Elle entraˆıne par [BK2] et [V1], §II.3.1 :
(0.4) pour toute repr´esentation lisse irr´eductible (π, V ) de G, la restriction de
rN`a Vτ, la composante isotypique de type τde Vsous l’action de J, est
injective.
(0.5) pour toute repr´esentation lisse irr´eductible (π, V ) de G, l’application
qN,τ :Vτ= HomJ(τ, π)−→ (VN)τM= HomJM(τM, πN)
d´efinie par qN,τ (f) = rN◦f,f∈Vτ, est injective.
On verra en III que les conditions (0.4) et (0.5) sont en fait ´equivalentes `a
(0.3), non seulement pour R=Ccomme cela d´ecoule de [BK2], mais pour tout
corps Rcomme ci-dessus.
Remarque. La condition (0.3) dans [BK2], §7, demande qu’un ´el´ement de
support JzJ soit inversible ; le changement de zen z−1est dˆu au fait que nous
travaillons ici avec l’alg`ebre des fonctions τ-variantes sur Gtandis que C. Bushnell
et P. Kutzko travaillent avec celle des fonctions ˇ
τ-variantes sur G.
I – Paires couvrantes et maximalit´e.
La question de savoir si une paire couvrante est n´ecessairement une paire
d´ecompos´ee maximale se posait d´ej`a dans [BB] o`u nous avions donn´e une r´eponse
partielle qui nous suffisait alors (§I.4). Le th´eor`eme ci-dessous r´epond `a cette
question de mani`ere totalement satisfaisante si Rest le corps des nombres com-
plexes. Pour un corps Ralg´ebriquement clos (on utilise le lemme de Schur), de
caract´eristique diff´erente de p, quelconque, nous nous restreignons `a des repr´esen-
tations projectives ; c’est dans la d´emonstration du lemme 1 que la projectivit´e
est utilis´ee `a plusieurs reprises.
Th´eor`eme 1. Soit (J, τ)une paire couvrante de (JM, τM)relativement `a P.
On suppose que Rest alg´ebriquement clos et que la repr´esentation τMest pro-
jective. Alors (J, τ)est une paire d´ecompos´ee maximale au-dessus de (JM, τM)
relativement `a P.
D´emonstration. Il s’agit de montrer que si (J0, τ0) est une autre paire d´ecom-
pos´ee au-dessus de (JM, τM) relativement `a Ptelle que Jsoit contenu dans J0,
alors Jest ´egal `a J0. Commen¸cons par une constatation.
(1.1) dim HomJ0(τ0,indJ0
Jτ) = 1,
dim HomJ(τ, ResJ(indJ0
Jτ) ) >|J\J0/J|.

Quelques propri´ et´ es des paires couvrantes 5
Le premier point d´ecoule de la r´eciprocit´e de Frobenius : τest irr´eductible et la
restriction de τ0`a Jest ´egale `a τ. Pour le deuxi`eme point, on d´ecompose comme
suit la restriction `a Jde la repr´esentation induite :
ResJ(indJ0
Jτ)'M
w∈J\J0/J
indJ
wJw−1∩Jτw
et il suffit de montrer que τapparaˆıt dans chacun des morceaux de cette d´ecompo-
sition. Comme J0=JMJ0+J0− =JJ0+J0−, on peut choisir des repr´esentants w
de J\J0/J dans J0+J0− qui est contenu dans Ker τ0. Comme τ0est un prolonge-
ment de τ`a J0, on a alors, pour tout ´el´ement xde wJw−1∩J:
τw(x) = τ(w−1xw) = τ0(w−1xw) = τ0(w−1)τ0(x)τ0(w) = τ(x).
Or par r´eciprocit´e de Frobenius, τfigure dans indJ
wJw−1∩Jτ, cqfd.
Pour toute repr´esentation lisse (π, V ) de G, l’espace Vτ0= HomJ0(τ0, π) est
inclus dans Vτet on a ´evidemment
(1.2) ker qN,τ0⊂ker qN,τ .
Le point crucial est alors le suivant :
Lemme 1. Supposons Jstrictement contenu dans J0. Alors il existe une
repr´esentation lisse irr´eductible (π, V )de Gpour laquelle
dim ker qN,τ0<dim ker qN,τ .
D´emonstration du lemme. Il nous faut deux r´esultats pr´eliminaires :
(1.3) Le sous-groupe de Jengendr´e par J+et J−est un pro-p-groupe.
Le groupe J=J−JMJ+est profini : le pro-p-sous-groupe J+de Jest donc
contenu dans un pro-p-sous-groupe de Sylow Sde J([W] 2.2.2). Nous allons
montrer que Scontient aussi J−.
L’ensemble quotient J/S est fini ([V1] I.6), de cardinal premier `a p. L’action
du pro-p-groupe J−sur J/S par translations `a gauche poss`ede donc au moins
un point fixe, que l’on peut ´ecrire sous la forme aS avec a∈J−JM. Mais alors
J−aS =aS implique a−1J−a⊂S, d’o`u l’assertion puisque anormalise J−.◦
(1.4) Si la repr´esentation τMest projective, alors pour toute paire d´ecompos´ee
(J, τ)au-dessus de (JM, τM), la repr´esentation τest projective.
En effet, le sous-groupe Hdu noyau de τengendr´e par J+et J−est de
pro-ordre inversible dans Rpar (1.3), donc par [V1] I.4.6, pour toute suite exacte
0→E0→E→E00 →0
de J-modules, la suite des H-invariants
0→(E0)H→EH→(E00)H→0