INTRODUCTION aux COURS de

Université de Clermont1
IUT d’Informatique
1ière année -
Denis RICHARD
INTRODUCTION aux COURS de
LOGIQUE
ARITHMÉTIQUE et AUTOMATES
ALGÈBRE de BOOLE
LES NOTATIONS d’ALGORITHME ;
de SYSTÈME FORMEL ;
de SYNTAXE ;
de SÉMANTIQUE
vues par des EXEMPLES.

Introduction au cours de logique, arithmétique, automates et algèbre de Boole
1 À propos d’algorithme
1.1 Une existence prouvée de façon non algorithmique :
Théorème 1.1 ∃α∈R\Q∃β∈R\Qαβ∈Q.
En clair : Il existe un irrationnel αdont une puissance irrationnelle αβest rationnelle (= fraction).
Preuve 1 √26∈ Q: connu, soit α=√2et β=√2alors
•ou bien √2√2∈Qet le théorème est prouvé,
•ou bien √2√26∈ Q
alors on pose α0=√2√2β0=√2
et alors α0β0= (√2√2)√2= (√2)2= 2 = 2
1∈Q.
Remarque :
Preuve non constructive : pas d’algorithme en découlant pour savoir si √2√2∈Q.
1.2 Un problème et sa solution algorithmique :
•Considèrons la suite infinie des carrés, et des chemins finis connexes„ partant de 1.
s ss
+
n n
+n +n +n +n +
n n n n n n
n n n n n n
- - - - - -
1 4 9 16 25 36
2
AAAAAAA ¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
AAAAAAA ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
LLLLLLL
L
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
-
•Chaque chemin possède une somme :
P(−) = 1 + 4 −9 + 16 −25 + 36 = 23
P(−) = −1+9−16 + 25 = 13
P(−) = −1−4−9−16 + 25 = −5
PP((=)) = −1−4 = −5.
Problème : (Résolu par Erdös et Suraynii.) : Tout entier n∈Nest-il somme d’un chemin ?
Solution algorithmique :
•Ici, pour prouver qu’il a un algorithme, l’orateur trouvera des chemins correspondants à des
nombres fournis par l’auditoire.
•Les exemples conduisent à s’intéresser au chemin ou plutôt au “morceau de chemin” suivant
²
±¯ °
²
±¯ °
²
±¯ °
222 (m+3)
(m+2)
(m+1)
m
µ´
¶³
·······
·
LLLLLLL
L--- µ´
¶³
µ´
¶³
-
sss
sss µ´
¶³
++++
µ´
¶³
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dont la somme est : m2−(m2+ 2m+ 1) −(m2+ 4m+4)+(m2+ 6m+ 9) = 4
mest un paramètre, on le choisit comme on veut.
Or tout entier n∈Ns’écrit
ou
n= 4k=k4
n= 4k+ 1 = 1 + k4
n= 4k+ 2 = 2 + k4
n= 4k+ 3 = 3 + k4
donc tout nest somme d’un chemin fait
•d’un petit chemin de somme 0,1,2,ou 3se terminant en x2
•suivi d’un morceau de chemin fermé de morceaux successifs
eee
e--
++ µ´
¶³
µ´
¶³
µ´
¶³
µ´
¶³
(Il en faut k) et qui commence en ⊕de (x+ 1)2.
•Reste à inventer les quatre “petits chemins”.
(∗) ou
1 = 12
2 = −12−22−32+ 42
3 = −12+ 22
0 = 02
0 = +12−22−32+ 42
| {z }
4−52+ 62+ 72−82
| {z }
4
Remarque : L’algorithme est
•Trouver le quotient ket le reste rde ndivisé par 4.
•Le chemin est celui de r(voir (∗)) suivi de kfois les morceaux du type :
eee
e--
++ µ´
¶³
µ´
¶³
µ´
¶³
µ´
¶³
Questions :
1) Trouver d’autres algorithmes.
2) De combien de chemins un entier peut-il être somme ?
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1.3 Un algorithme sous-forme d’automate
Problème : Calculer le reste rde ndivisé par 6(pour ndonné en numération binaire)
77 = 12 ×6 + 5
n= 77 et r= 5
77 = 64 + 8 + 4 + 1 =
77 en binaire
z }| {
1001101 .
Solution :
01
10
1
0
R0
R1
R3
R5
R2
R4
0
1
11
Calcul :
lettre lue : 1 0 0 1 1 0 1
état : R0→R1→R2→R4→R3→R1→R2→résultat R5R= 5.
Remarque :
•Tout algorithme n’est pas automatisable (on verra des exemples).
•Construire les automates, quand c’est possible et simplifier, (ceux-ci fait l’objet du cours 2).
2 À propos des systèmes formels
2.1 Le système MIU de POST (1920)
Le système formel MIU utilise 3 lettres M,Iet Uet les chaînes de caractère (ou MOTS) sont
toutes des suites finies de ces 3 lettres.
Exemples : M I
M U
U I M
MM M U UU III
U I U I U M U I M U I M M I I I I I U M M M U M I M I.
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Problème : On va se donner 4 règles sur les mots, et un mot initial. Il va falloir trouver les mots
produits à partir de MI par application exclusive des 4 règles.
•RÈGLE 1 :XI →XIU
Si un mot se termine par I, on peut lui ajouter U.
•RÈGLE 2 :MX →M XX
Si un mot commence par Met s’écrit MX, où Xest un autre mot, alors on peut lui ajouter Xet
écrire MXX.
•RÈGLE 3 :XIIIY →XU Y
On peut remplacer dans un mot III par U.
(∗)(Attention : Xou Ypeut-être le mot vide.)
•RÈGLE 4 :XU UY →XY
On peut supprimer UU dans un mot.
(∗)Même remarque qu’en règle 3.
Exemples
MI →M IU (r`egle 1)
MIU IU →MIU IU IUIU (r`egle 2)
MU MU →MUMUUMU (r`egle 2)
MIIIM →MUM (r`egle 3)
IIIMM →UMM (r`egle 3)
MM IIIII →M MIIU (r`egle 3)
MUUUU →MU U →M(r`egle 4)
MU 2nM→MM (r`egle 4).
Récapitulons : On se donne
3 lettres : M, I, U
un AXIOME : MI
4 RÈGLES : XI →XIU - 1
MX →M XX - 2
XIIIY →XUY - 3
XUY →XY - 4.
Et on a ainsi le système formel de POST.
Par définition, un mot produit dans ce système sera dit THÉORÈME.
Toute suite de mots (discours) qui conduit depuis M I (l’axiome) jusqu’au mot Xsera dite
preuve formelle de X.
Exemple : Théorème : MUIIU.
PREUVE FORMELLE :
M I, M
| {z }
2
I I, M
| {z }
2
II II, MI
| {z }
1
II IU, MU
| {z }
3
I U, M U
| {z }
2
IUU IU, M
| {z }
4
UIIU.
[Problème du code de la preuve] (2,2,1,3,2,4) ne suffit pas.
On peut donc ainsi produire des théorèmes. La question est de savoir si un mot donné est un
théorème.
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