ANALYSE par les ultrapetits

ANALYSE
par les ultrapetits
Manuel de l’enseignant
IV
Continuité (quelques théorèmes)
Richard O’Donovan
[email protected]
Olivier Lessmann
[email protected]
Ressource et Développement
Département de l’instruction publique
Genève
novembre 2011

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Chapitre IV
Le calcul différentiel
Nous abordons ici quelques théorèmes qui sont souvent donnés sans démonstration en classe.
Nous les donnons ici pour que l’enseignant ait le cheminement complet.
La clôture énonce:
Si un nombre satisfait une propriété, alors il existe un nombre observable satisfaisant cette
propriété.
Contraposée de la clôture:
Si tous les nombres observables satisfont une propriété, alors tous les nombres satisfont
cette propriété.
En résumé, si une propriété peut être satisfaite, alors elle peut l’être par une valeur observ-
able. De plus, si elle est satisfaite pour tous les nombres observables, alors elle est satisfaite
par tous les nombres.
Pour démontrer la contraposée, on peut écrire de manière informelle:
Clôture: ∃xtel que P(x)⇒ ∃xobservable tel que P(x).
La contraposée donne: ∀xobservable, nonP(x)⇒ ∀xnonP(x)
Il suffit donc de démarrer la clôture par la négation de Ppour conclure.
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!Ce type de manipulation logique n’est pas aisé en classe. On va l’utiliser ici pour
démontrer le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème des valeurs extrêmes. Ces deux
théorèmes sont souvent donnés sans preuve aux élèves.
Nous allons examiner deux conséquences de la continuité d’une fonction fsur un intervalle
fermé [a;b]. Dans chacun des théorèmes on recherche un cdans [a;b]avec une propriété
particulière. Le modèle type de l’argument que nous allons utiliser est le suivant:
Le niveau de référence est celui contenant a, b et f. On choisit d’abord Nultragrand par
rapport à a, b et f. Donc dx = (b−a)/N est ultrapetit et on considère les N+ 1 points
xi=a+i·dx, pour i= 0, . . . , N. On trouve, parmi ces points, un xjqui approxime le nombre
que l’on cherche. Comme xjn’est pas ultragrand, son voisin existe et se trouve dans [a;b]. On
utilise alors la continuité de fsur le voisin (qui est dans le niveau de référence, ce qui permet
d’utiliser dx) pour montrer que le voisin a les propriétés cherchées.
Soit un niveau de référence contenant aet b. Si x∈[a;b], alors la partie observable de x
est elle-même dans [a;b]. Ceci n’est pas nécessairement vrai pour l’intervalle ouvert ]a;b[. Pour
voir ceci, il suffit de considérer xprès des bords. Si x'aalors comme aest observable, aest
la partie observable de x. Idem pour l’autre côté.
Théorème 1 (Théorème de la valeur intermédiaire)
Soit fune fonction continue sur [a;b]. Soit dun nombre réel compris entre f(a)et f(b). Alors
il existe c∈[a;b]tel que f(c) = d.
Preuve: Il suffit de démontrer le cas où f(a)< f (b)(l’autre cas s’en déduit en utilisant −f).
Soit d∈]f(a); f(b)[. Le niveau de référence est celui de f,a,bet d.
Soit Nun entier positif ultragrand et soit dx = (b−a)/N. Alors dx est ultrapetit. Consid-
érons xi=a+i·dx, pour i= 0, . . . , N (donc x0=aet xN=b). Par le théorème ??, il existe
un premier indice jtel que f(xj+1)≥d. Ainsi par choix de jon a
f(xj)< d ≤f(xj+1).
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Soit cle voisin de xj(il existe puisque xjest borné par a, b). Par définition xj'c. De plus,
c∈[a;b]et c'xj+1 puisque xj'xj+1. Par continuité de fen con a alors
f(c)'f(xj)< d et f(c)'f(xj+1)≥d.
On en déduit que
f(c)'d.
Mais f(c)est observable par clôture et daussi, donc
f(c) = d.
La démonstration montre que l’on peut trouver cobservable mais c’est en fait une conséquence
immédiate de l’énoncé par clôture.
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!L’aspect crucial de ce type de démonstration est la possibilité d’avoir une division
ultrafine pour laquelle la propriété "il existe un successeur" est vraie.
Définition 1
On dit qu’une fonction fatteint son maximum (respectivement son minimum) sur l’intervalle I
s’il existe c∈Itel que f(c)≥f(x)pour tout x∈I(respectivement f(c)≤f(x)pour tout
x∈I).
Théorème 2 (Théorème du maximum et du minimum)
Soit fune fonction continue sur l’intervalle fermé et borné [a;b]. Alors fatteint son maximum
et son minimum sur [a;b].
Preuve: Il suffit de démontrer le cas du maximum (le minimum s’en déduit en considérant
−f). On sait, par clôture que s’il existe un maximum, celui-ci est observable. Ceci va guider la
démonstration.
Le niveau de référence est celui de f,aet b. Soit Nun entier positif ultragrand et soit
dx = (b−a)/N. Considérons les points xi=a+i·dx, pour i= 0, . . . , N. Par le théorème ??,
il existe un indice jtel que
f(xj)≥f(xi),pour tous les i= 0, . . . , N.
Soit cle voisin de xj(cexiste puisque xjn’est pas ultragrand; il est borné par a,b). Alors
c∈[a;b]. Par clôture f(c)est observable. Par continuité de fen con a f(xj)'f(c)puisque
xj'c.
Soit maintenant x∈[a;b]observable. Par le théorème ?? il existe un premier itel que
xi≤x<xi+1.
On en déduit que
xi'x
et puisque fest continue en xon a
f(x)'f(xi).
Par définition de xjet con a donc
f(x)'f(xi)≤f(xj)'f(c),
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ce qui implique que f(x)≤f(c)puisque f(x)et f(c)sont observables. On vient donc de montrer
que la propriété ‘f(x)≤f(c)pour x∈[a;b]’ est vraie pour xdans le niveau de référence. Par
clôture, c’est donc vrai pour tous les xdans [a;b]. On en conclut que fatteint son maximum en
c.
Il ressort de la preuve que le maximum est atteint pour un cobservable. C’est, à nouveau,
purement une conséquence de la clôture. Si le maximum et le minimum sont atteints, ils doivent
l’être (aussi) pour des valeurs observables.
En utilisant les deux théorèmes précédents, on voit que l’image d’un intervalle fermé borné
[a;b]par une fonction continue est un intervalle fermé borné.
Nous allons maintenant aborder la continuité uniforme. Avant d’introduire la définition,
rappelons que la continuité d’une fonction en un point se fait avec un niveau de résolution qui
est déterminé par le point que l’on étudie: pour chaque x, il faut prendre dx ultrapetit par
rapport à fet à x(c’est la raison pour laquelle on travaillait avec le voisin dans les théorèmes
précédents, puisque dx était préalablement choisi). Pour la continuité uniforme sur un intervalle
I, le niveau de référence ne dépend pas du point particulier, seulement de fet de I.
Définition 2
Soit fune fonction définie sur un intervalle I. Le niveau de référence contient fet I. On dit
que fest uniformément continue si pour chaque x, y ∈Iavec x'yalors f(x)'f(y).
Si Iest borné, alors le niveau de référence contient les bornes. Si I=Dom(f)alors le
niveau de référence est celui de f, et de même, on prendra le niveau de fet de asi Iest de la
forme [a;∞[.
Théorème 3
Si fest continue sur [a;b]alors fest uniformément continue sur [a;b].
Preuve: Le niveau de référence contient a, b et f. Soient xet ytels que a≤x, y ≤bet
x'y. Soit cle voisin de x(ce voisin existe puisque xest borné par aet b). Alors le voisin c
est dans [a;b]. Par définition, x'c. Mais on a aussi c'y, puisque x'y. Par continuité de
fen con a que
f(x)'f(c)et aussi f(y)'f(c).
On a donc bien f(x)'f(y).
L’argument précédent ne marche pas pour la fonction f:x7→ 1/x sur l’intervalle ]0,1] par
exemple: Pour x > 0, avec x'0, le voisin de xest 0. En fait, la fonction x7→ 1/x n’est pas
uniformément continue sur ]0; 1].
On a montré que les fonctions continues sur un intervalle fermé borné sont uniformément
continues. La réciproque est vraie sur n’importe quel intervalle.
Théorème 4
Soit fune fonction uniformément continue sur un intervalle I. Alors fest continue sur I.
Preuve: Soient a, b les bornes de l’intervalle (si elles existent). Le niveau de référence
contient a, b et f. Par définition, pour chaque x, y ∈Itels que x'y(par rapport au niveau de
référence) on a que f(y)'f(x). Or, par stabilité, cette propriété est vraie par rapport à tous
les niveaux de résolution plus fins.
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