Calculs sur les nombres complexes

Calculs sur les nombres complexes
Tous les résultats doivent être donnés sous la forme algébrique des nombres complexes.
1) On donne z1= 5 - 2iet z2= -2 + 7i. Calculer et .
= 3(5-2i) - 5(-2-7i) = 15-6i+10+35i= 25+29i
= 3(5+2i)-5(-2+7i) = 15+6i+10-35i= 25-29i
2) On donne z1= 4 - 3iet z2= -3 + i. Calculer z1z2, puis .
z1z2=(4-3i)(-3+i) = -12+4i+9i-3i² = -12+13i+3 = -9+13i
3) Calculer .
4) Soit z= 2 - i. Calculer z2et z3.
z2= (2-i)2= 4-4i+i2= 4-4i-1 = 3-4i
z3=z2.z= (3-4i)(2-i) = 2-11i
5) On donne z1= 3 + 4iet z2= 2 - 3i. Calculer z1z2, |z1|, |z2| et |z1z2|.
z1z2= (3+4i)(2-3i) = 18-i
6) On donne z1= 1 - 5iet z2= -2 - i. Calculer |z1|, |z2| et |z1+ z2|.
z1+z2= (1-5i)+(-2-i) = -1-6i
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Remarque : |z1+ z2| ≠ |z1| + |z2|
7) Résoudre dans ℂ l'équation z- 5i=iz + 2.
z-5i=iz+2 ⇔ z-iz = 2+5i ⇔ z(1-i) = 2+5i, donc
.
8) Résoudre dans ℂ l'équation z2+z+ 2 = 0.
Le discriminant est Δ = 1-8 = -7. Comme il est négatif, l'équation a deux
solutions complexes conjuguées qui sont
et .
9) Résoudre dans ℂ l'équation .
On pose z=x+iy avec xet yréels. L'équation devient alors
2(x+iy)-i(x-iy) = 1 ⇔ 2x+2iy-ix+i²y= 1 ⇔ 2x-y+i(2y-x) = 1
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle
et même partie imaginaire. L'équation est donc équivalente au système :
qui a comme solution et .
L'équation a donc une solution qui est .
10) Démontrer que pour tout complexe znon nul, . En déduire les solutions dans ℂ de
l'équation .
car .
⇔ ⇔
Comme zne peut pas être égal à 0, on a
ce qui est équivalent à |z|² = 1 et donc |z| = 1.
Il y a une infinité de solutions représentées graphiquement par le cercle
trigonométrique.
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