Calculs sur les nombres complexes

Calculs sur les nombres complexes
Tous les résultats doivent être donnés sous la forme algébrique des nombres complexes.
1) On donne z1 = 5 - 2i et z2 = -2 + 7i. Calculer
et
.
= 3(5-2i) - 5(-2-7i) = 15-6i+10+35i = 25+29i
= 3(5+2i)-5(-2+7i) = 15+6i+10-35i = 25-29i
2) On donne z1 = 4 - 3i et z2 = -3 + i. Calculer z1z2 , puis
.
z1z2=(4-3i)(-3+i) = -12+4i+9i-3i² = -12+13i+3 = -9+13i
3) Calculer
.
2
3
4) Soit z = 2 - i. Calculer z et z .
2
2
2
z = (2-i) = 4-4i+i = 4-4i-1 = 3-4i
3
2
z = z .z = (3-4i)(2-i) = 2-11i
5) On donne z1 = 3 + 4i et z2 = 2 - 3i. Calculer z1z2 , |z1|, |z2| et |z1z2|.
z1z2 = (3+4i)(2-3i) = 18-i
6) On donne z1 = 1 - 5i et z2 = -2 - i. Calculer |z1|, |z2| et |z1 + z2|.
z1 + z2 = (1-5i)+(-2-i) = -1-6i
1
Remarque : |z1 + z2| ≠ |z1| + |z2|
7) Résoudre dans ℂ l'équation z - 5i = iz + 2.
z-5i = iz+2 ⇔ z-iz = 2+5i ⇔ z(1-i) = 2+5i, donc
.
2
8) Résoudre dans ℂ l'équation z + z + 2 = 0.
Le discriminant est Δ = 1-8 = -7. Comme il est négatif, l'équation a deux
solutions complexes conjuguées qui sont
et
.
9) Résoudre dans ℂ l'équation
.
On pose z = x+iy avec x et y réels. L'équation devient alors
2(x+iy)-i(x-iy) = 1 ⇔ 2x+2iy-ix+i²y = 1 ⇔ 2x-y+i(2y-x) = 1
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle
et même partie imaginaire. L'équation est donc équivalente au système :
qui a comme solution
L'équation a donc une solution qui est
10) Démontrer que pour tout complexe z non nul,
l'équation
et
.
.
. En déduire les solutions dans ℂ de
.
car
⇔
.
⇔
Comme z ne peut pas être égal à 0, on a
ce qui est équivalent à |z|² = 1 et donc |z| = 1.
Il y a une infinité de solutions représentées graphiquement par le cercle
trigonométrique.
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