Résumé n˚1 : POURCENTAGES : proportions, évolutions, indices

T STG-Lycée B.d.B
Résumé n˚1 : POURCENTAGES : proportions, évolutions, indices
oct.2012
PROPORTIONS
• Calculer un pourcentage d’une quantité : ex : 38% de 40 = 38% × 40 = 0, 38 × 40 = 15, 2.
• Calculer une proportion d’un ensemble A dans un ensemble E : p =
ex : 26 personnes sur 200, cela fait une proportion de
26
= 13%.
200
nA
.
nE
• Savoir retrouver nE connaissant p et nA :
ex : 24 élèves sont malades, ce qui représente 86% de la classe.
24
24
nA
, soit 0, 86 =
, soit nE =
≃ 28 élèves.
Pour retrouver le nombre d’élèves de la classe : p =
nE
nE
0, 86
• Proportions enchainées : Si p1 est la proportion de A dans B,
et p2 est la proportion de B dans E,
alors la proportion de A dans E est p = p1 × p2 .
ex : 13% des élèves sont des garçons, et 20% des garçons
font du sport. La proportion des garçons qui font du sport parmi
tous les élèves est p = 20% de 13% = 0, 20 × 0, 13 = 0, 026 = 2, 6% .
INDICES
année
valeur
indice
2007
40
100
2008
36
90
2009
46
115
y1
y2
× 100.
• y1 et y2 sont deux nombres positifs, l’indice de y2 par rapport à y1 est
100
y1
• y1 est appelée la valeur de référence.
y2
y2
× 100
y1
• Un indice de 115 indique une augmentation de 15% par rapport à la valeur de référence.
• Un indice de 90 indique une baisse de 10% par rapport à la valeur de référence.
• ATTENTION : entre 2008 et 2009, il n’y a pas augmentation de 115 − 90 = 25% !
Le taux d’évolution est t =
25
115 − 90
=
≃ 28%.
90
90
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oct.2012
EVOLUTIONS
taux d’évolution t
Vd
• Faire la différence entre le taux d’évolution t et le
coefficient multiplicateur 1 + t.
→ Pour une augmentation de 12%,
t = +12% = 0, 12,
et on multiplie par 1 + 0, 12 = 1, 12.
Va
×(1 + t)
• Pour trouver Va : on multiplie Vd par 1 + t.
• Pour trouver Vd : on divise Va par 1 + t.
→ Pour une baisse de 12%,
t = −12% = −0, 12,
et on multiplie par 1 − 0, 12 = 0, 88.
• Pour trouver le taux d’évolution :
t=
Va
Va − Vd
ou 1 + t =
.
Vd
Vd
• Pour n évolutions successives :
→ Le taux global tg vérifie
1 + tg = (1 + t1 )(1 + t2 ) × ... × (1 + tn ).
Vd
−→
×(1+t1 )
V1
−→
×(1+t2 )
V2 ..........
−→
×(1+tn )
Va
×(1 + tg )
→ Le taux moyen tm vérifie
(1 + tm )n = 1 + tg
Soit tm = (1 + tg )1/n − 1
Vd
8
5
∧
(
1
\
1
2
−→
×(1+tm )
V2 ..........
tg =taux global
tm =taux moyen
Á la calculatrice, on tape :
.
V1
×(1 + tg )
ex : Pour une baisse annuelle de 15%,
le taux mensuel moyen tm vérifie :
(1 + tm )12 = 1 − 0, 15 = 0, 85,
soit tm = (0, 85)1/12 − 1 ≃ −1, 35%
0
−→
×(1+tm )
)
-
1
=
−→
×(1+tm )
Va