Nombres entiers et rationnels.

Nombresentiersetrationnels.
I ) DEFINITIONS ET VOCABULAIRE :
Définition 1
Soientaetbdesnombresentiers(a ≠
≠≠
≠ 0)
Onditquebestun
multiple deaouqueaestun diviseur debquandilexisteunentierktelqueb=ka
Exemple : 104estun multiple de13car104=13×8.8et13sontdes diviseurs de104
Propriété 1
Sibestunmultipledea,toutmultipledebestaussiunmultipledea.
Exemple:120estunmultiplede15et480quiestunmultiplede120estaussiunmultiplede15.
Propriété 2
Siaestundiviseurdeb,toutdiviseurdeadiviseaussib.
Exemple:36estundiviseurde72et9estundiviseurde36,donc9estaussiundiviseurde72.
Définition 2
aetbdésignentdeuxnombresentiers:undiviseurcommunàaetbestunnombreentierquidiviseaetquidiviseb.
Définition 3
aetbdésignentdeuxnombresentiers:
onnote
PGCD (a;b)leplusgrandcommundiviseuràaetàb. Remarque : PGCD (a;b)= PGCD (b;a)
Exemple :
•lalistedesdiviseursde24est:1;2;3;4;6;8; 12 ;24
•lalistedesdiviseursde36est:1;2;3;4;6;9; 12 ;18;36.
24et36ont6diviseurscommuns:1;2;3;4;6;12.
Leplusgrandd’entreeuxest12,c’estleplusgranddiviseurcommunde24et36.OnécritPGCD(24;36)=12.
Définition 4
Onditquedeuxnombresentiersaetbsont premiers entre eux quandilsn’ontqu’unseuldiviseurcommun:1
C'est-à-dire
PGCD (a;b)=1
Exemple :
26et15sontpremiersentreeux.
Lesdiviseursde15sont:1;3;5et15.Lesdiviseursde26sont:1;2;13et26.
Leseuldiviseurcommunà15et26est1.PGCD(15;26)=1.
36et54nesontpaspremiersentreeuxcarilssontpairsetontaumoinsdeuxdiviseurscommuns1et2.
Définition 5
Unefractionestdite irréductible quandsonnumérateuretsondénominateursontpremiersentreeux.
Exemple :25
16;2 3;sontdesfractionsirréductibles.PGCD(25;16)=1etPGCD(2;3)=1
75
100n’estpasunefractionirréductiblecar75et100nesontpaspremiersentreeux.Onpeutdoncsimplifiercettefraction.
PGCD(75;100)=25d’où 75
100=3×25
4×25= 3
4; 3 4estirréductible
Propriété3
Soitaunentiernonnul.Sideuxnombresentiersxetysontmultiplesdea,alorsleursommex +
++
+ yetleurdifférencex −
−−
− y(x>y)
sontaussidesmultiplesdea.
Onpeutaussidireque
si adivisexety, alors adivisex+yetadivisex–y.
Exemple :  63et99sontdesmultiplesde9. 99+63=162=9×18et99−63=36=9×4.
II) METHODES DE RECHERCHE DU PGCD
A) Algorithme des différences successives
Exemple : RechercheduPGCDde54et36
Notonsdle PGCDde54et36;
D’aprèslapropriétéprécédente:
destlePGCDde36et54–36=18. 
destlePGCDde18et36–18=18 
LePGCD(54;36)=18,carleplusgranddiviseurcommunà18età18est18.
B)
Algorithme d’Euclide
aetbdésignentdeuxentiersnaturels.Faisonsladivisioneuclidiennedeaparb.Onobtienta=bq+
++
+r.
Le PGCDdesdeuxnombresaetbestégalauPGCDdebet(a–bq)ora–bq=r.
DoncPGCD(a;b)=PGCD(b;r).
Exemple :  d=PGCD(810;450)
d=PGCD(810;450)  810=1×450+360
d=PGCD(450;360)  450=1×360+90
d=PGCD(360;90)  360=4×90+0(lePGCDestledernierrestenonnul)
doncd=90(810=90×9;450=90×5)
PGCD(810;450)=90

C) Les nombres
Les entiers naturels (0;1;2;5;…etc.),leurensemblesenote IN ;
Les entiers relatifs (-3;-15;0;2;…etc.…);leurensemblesenote W
WW
W ;
Les nombres décimaux (2,4;0,0256;-6,1;…etc..);leurensemblesenote ID ;
Les nombres rationnels (1
2;-5 12;2;…etc.);leurensemblesenote
IQ ;
Les nombres irrationnels (nonrationnels:π; 2; 6
4;-7
11
…etc.)
Les nombres réels ,leurensemblesenote IR