Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq PREPARER SON ENTREE wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui EN TERMINALE S opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg hjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxc vbnmqwertyuiopasdfghjklz M.BROUSSILLON xc vbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq MATHEMATIQUES : ENTREE EN TERMINALE S Page 1 AVANT-PROPOS Ce fascicule a été conçu pour les élèves entrant en Terminale Scientifique (TS). Son objectif est multiple : Réactiver certains savoirs et mettre en œuvre des méthodes vues en 1ère , et dont la maitrise s’avère nécessaire, ceci principalement à travers des exercices assez classiques pour la plupart. Prolonger les connaissances acquises, en les enrichissant et en découvrant des moyens nouveaux d’investigation afin élargir notre « panoplie d’outils » et de gagner en efficacité. Nous reviendrons ainsi sur des thèmes comme les Suites Numériques, les Vecteurs, les Droites et Plans de l’espace, les Fonctions Numériques et la Dérivation, la Probabilité, l’Echantillonnage, etc.… Introduire des notions nouvelles par une approche simple et à la portée de tous, comme les Nombres Complexes, ou l’Arithmétique et les Matrices pour la spécialité « Mathématiques ». Des éléments de cours viendront par moments appuyer cette introduction afin de mieux se situer dans le cadre général. Les propriétés seront étudiées ultérieurement et de façon plus approfondie en cours. Cette petite « remise en train » ne peut être que bénéfique pour chacun. Il serait toutefois souhaitable de pouvoir consacrer un certain temps à la recherche de chaque exercice, d’abord sans support (livre, cahier), puis, éventuellement, avec l’aide du cours. Cependant une recherche trop longue et surtout improductive est à éviter. Le fait de ne pouvoir résoudre un exercice ne doit pas vous déstabiliser, car certains d’entre eux peuvent demander une réflexion un peu plus poussée… La dernière partie de ce fascicule est consacrée à la spécialité « Mathématiques » Celle -ci doit être travaillée parallèlement aux premiers paragraphes, pour mieux aborder l’ensemble du programme. Vous n’hésiterez pas à signaler et à corriger les éventuelles « coquilles » qui se seraient malencontreusement glissées dans ce document. Bon travail ! M. BROUSSILLON MATHEMATIQUES : Professeur de Mathématiques au LGT Baimbridge ENTREE EN TERMINALE S Page 2 I : SUITES NUMERIQUES Ex1 :Indiquer dans chacun des cas suivants les 5 premiers termes de la suite (un) : n a)pour tout entier naturel n, un = n +n n c) Pour tout entier naturel n, un+1 = 2(un)² - 7 , avec u0 = 2 d) Pour tout entier naturel n, un = (-1)nn² +20 e) Pour tout entier naturel n, un+1 = 3un + 2n – 1 , avec u0 = 1 f) Pour tout entier naturel n, un+2 = 2un+1- un , avec u0 = 1 et u1 = 3 b)Pour tout entier naturel n ≥1, un = Ex2 : QCM Pour chaque question, il y a une ou plusieurs bonnes réponses : un = un d) décroissante 1) Une suite (un) à termes positifs vérifiant pour tout entier naturel n la relation : a)arithmétique b) géométrique c) croissante 2) La suite (un) définie sur par un = est : n² n n²n b) vérifie : un+1 = pour tout n n n² n²n c) vérifie : un+1 = pour tout nd) vérifie : un+1 = pour tout n n n a)est définie par récurrence f) a un terme général de la forme un = f(n) g) a un terme général de la forme un+1=f(un) 3) La suite (un) telle que pour tout n, un+1 = +2 , avec u0 = 2 : un a) n’existe pas car on ne peut pas diviser par 0 b) est définie par récurrence c)vérifie u6 = d) est une suite arithmétique de raison 2 f) a un terme général de la forme un = f(n) g) a un terme général de la forme un+1 = f(un)) 4) Soit la suite (un) telle que pour tout nun+1 = 0,5un+ 2 , avec u0 = 1 ; dans la feuille de calcul suivante (d’un tableur) : - la formule pour calculer le terme un est : a) =A3*0,5+2 b) =B2*0,5 + 2 , à taper dans la cellule B3 et à recopier vers le bas - la formule pour calculer la somme Sn = u0 + u1 + …..+ un est : b) = C2 + B3 b) = B2 + B3 , à taper dans la cellule C3 et à recopier vers le bas (recopie avec la souris) 1 2 3 A Rang n 0 1 B Terme un 1 2,5 C Somme Sn 1 3,5 4 5 2 3 3,25 3,625 6,75 10,375 MATHEMATIQUES : ENTREE EN TERMINALE S Page 3 Ex3 : Etudier le sens de variation de la suite (un): 1) en calculant la différence un+1 - un: n a) un = , n b) u0 = -1 et un+1 = un + 4n + 5, n n + + …….+ , n1 n c)un = 10n - n² , n d)un = 2) en calculant le quotient un: un a) un = 5 3n+1 , n b) un = n n , n 3) en étudiant les variations de la fonction f associée à la suite (un) sur [0 ;+[ a) un = 3n² + 4n -5 , n (ici, f(x) = 3x² + 4x – 5 ) b)un = -n3 + 48n , n c) un = – n² , n n² Ex4 : Soit la suite (vn) telle que u0 = 2600, et pour tout n, un+1 = 0,8un + 500 ; 1) Calculer u1, u2 , u3 2)On réalise l’algorithme suivant : Lire N affecter à U la valeur 2600 affecter à S la valeur 2600 Pour I variant de 1 à N affecter à U la valeur 0,8U + 500 affecter à S la valeur S + U Fin de Pour afficher U afficher S . a)Faire un test avec N = 10 b) Que permet de calculer cet algorithme ? 3) On considère la suite (vn) telle que pour tout n, vn = un – 2500. a)Calculer v0 , v1 , v2 et v3 , puis démontrer que la suite (vn) est géométrique. b) En déduire que pour tout n , un = 100(0,8)n + 2500.Calculer u10 . 4) Créer une feuille de calcul permettant d’obtenir les termes de la suite (un) par recopie vers le bas. 5) Ecrire un algorithme permettant de trouver la plus petite valeur de n telle que un soit inférieur à 2501. (Utiliser une boucle) MATHEMATIQUES : ENTREE EN TERMINALE S Page 4 Compléments I :(introduction au raisonnement par récurrence) Ex5 : On considère la suite (un) définie par u0 = 1 et pour tout n, un+1 = un . 1 a) Calculer la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10-3 près de u1, u2, u3 . Puis comparer u0 et u1, u1 et u2, u2 et u3 . Que peut-on conjecturer pour la suite (un) ? b) Exprimer un+2 en fonction de un+1 . 2) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 fixé ; a)Démontrer que si un < un+1 , alors un+1 <un+2 . Comparer alors u3 et u4 , (sans calculer u4) b) Démontrer que si un 2, alors un+1 2. Comparer alors u4 et 2 (sans calculer u4.). Ex6 : On considère les suites (Sn) et (Tn) telles que pour tout entier naturel n 1, nnn Sn = 1² + 2² + 3² + ……….+(n-1)² + n² et Tn = 1 a) Calculer S1 et T1, S2 et T2 , S3 et T3 , S4 et T4 . b) Exprimer Sn+1 et Tn+1 en fonction de n. 2) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 4 fixé ; on suppose que Sn = Tn a)Démontrer alors que : Sn+1 = Tn+1 . b) Comparer alors sans calcul S5 et T5 (sans calcul) . Ex7 : Soit la suite (un) définie pour tout n par :u0 = 3, u1 = 15 et pour tout entier naturel n, un+2 = 3un+1 + 10un . 1) Calculer u2, u3, u4 . 2) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3 fixé ; démontrer que si un+1 = 5un, alors un+2 = 5un+1 .en déduire la valeur de u5 . Ex8 : On considère la fonction telle f telle que f(x) = x + 2 avec x I : (sens de variation ; représentation graphique) 1) Préciser le sens de variation de f et dresser son tableau de variation . 2) Démontrer que si x est un réel dans l’intervalle *4 ;8+ alors f(x) est aussi dans l’intervalle *4 ;8] . 3) Soit la suite (un) f définie par u0 = 8 et la relation un+1 = f(un) c’est-à dire un+1 = un + 2; a)Tracer dans un repère orthonormé la droite (D) représentant la fonction f et la droite () d’équation y = x. b) En utilisant (D) et ()construire sur l'axe des abscisses les termes u0, u1 u2, u3 et u4 .. Que peut-ton conjecturer pour le sens de variation de cette suite ? 4) Calculer les termes u1 ; u2, u3 et u4. (valeurs exactes, puis valeurs approchées à 10-3 près) 5) Démontrer alors en utilisant le résultat du 1) que : si n est un entier naturel supérieur ou égal à 3 fixé tel que un+1 un alors, un+2 un+1 . MATHEMATIQUES : ENTREE EN TERMINALE S Page 5 II :(Notion de limite de suites) Déterminer la plus petite valeur de l’entier naturel n telle que l’inéquation soit vérifiée : n 1) n² - 5 > 105 2) < 10-4 3)un – 2 <10-3 , avec un = , pour n3 n n 4) Démontrer que pour tout entier naturel n, MATHEMATIQUES : cosn n n n ENTREE EN TERMINALE S Page 6 II : GEOMETRIE: DROITES ET PLANS DE L’ESPACE (voir les schémas page 25) On dit que deux droites d’un plan sont sécantes lorsqu’elles ont un seul point en commun. On dit que deux droites d’un plan sont parallèles lorsqu’elles n’ont aucun point en commun (elles sont dites strictement parallèles) ou lorsqu’elles sont confondues. ESPACE Une droite est généralement définie : (comme dans le plan) - par un point et un vecteur directeur -par deux points distincts. Deux droites de l’espace peuvent être : - soit coplanaires (c’est-à-dire dans un même plan).elles sont alors sécantes ou parallèles. -soit non coplanaires (c’est-à-dire qu’il n’existe pas de plan contenant à la fois ces deux droites) Si deux droites ont au moins 2 points en commun, alors elles sont confondues. Deux droites sont dites orthogonales lorsque les parallèles respectives menées par un point quelconque de l’espace sont perpendiculaires. (deux droites perpendiculaires sont orthogonales) Un plan est généralement défini par 3 points non alignés. Une droite et un plan peuvent être : -soit sécants (leur intersection est alors un point) -soit parallèles (ils n’ont aucun point commun, ou alors la droite est contenue dans le plan) Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite du plan. On dit qu’une droite est orthogonale à un plan lorsqu’elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan. Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à 2 droites sécantes de ce plan. Deux plans peuvent être : -soit sécants (leur intersection est alors une droite) -soit parallèles (ils n’ont alors aucun point commun (strictement parallèles) ou alors sont confondus) On peut également définir : -une droite comme intersection de deux plans sécants. -Un plan comme « le plan passant par un point donné et orthogonal à une droite donnée » Propriétés -Deux droites d et d’ sont parallèles et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires -Deux droites d et d’ sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux ; -Une droite d et un plan P orthogonal à une droite d’ sont parallèles si et seulement si les vecteurs directeurs de d et d’ sont orthogonaux. -Une droite d et un plan P orthogonal à une droite d’ sont orthogonaux si et seulement si les vecteurs directeurs de d et d’ sont colinéaires. -Un plan P orthogonal à une droite d , et un plan P’ orthogonal à une droite d’ sont parallèles (sont orthogonaux) si et seulement si les vecteurs directeurs de d et de d’ sont colinéaires. ( sont orthogonaux) . MATHEMATIQUES : ENTREE EN TERMINALE S Page 7 Ex1 : ABCDEGH est un cube. I , J et k sont les milieux respectifs de [EF|,[BC] et [FG] A.1) Indiquer si les droites suivantes sont coplanaires ou non, parallèles, sécantes, perpendiculaires, orthogonales : a)(AE) et (CG) b)(DJ) et (AC) c)(EG) et (BF) d)(BG) et (CF) . 2) Indiquer si le plan et la droite sont sécants, orthogonaux ou si la droite est parallèle au plan ou contenue dans le plan : a)(HD) et (ABC) b) (BC) et (EIH) c) (DI) et (HEG) d)(IK) et (ABC). 3) Indiquer si les plans sont sécants, orthogonaux ou parallèles (voire confondus) . a) (ABC) et (EHG) b) (ABD) et (BEH) c) (FBC) et (EBH) B. On considère le repère ‘orthonormé) (A,AB ,AD ,AE) de l’espace. Le point A a donc pour coordonnées (0 ;0 ;0) dans ce repère. 1) Donner les coordonnées des points B, C, D, E, F, G, H, I, J. K . 2) Calculer les coordonnées du vecteur IC . Extension : soient u(x ;y ;z) et v(x’ ;y’ ;z’) deux vecteurs ; u et v sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles. dans un repère orthonormé : u et v sont orthogonaux si et seulement si xx’ + yy’ + zz’ = 0. La norme du vecteur u est : || u || = x² y² z² . (produit scalaire) Ex2 : On donne dans un repère orthonormé de l’espace les points : A(1 ;-2 ;3) , B(-1 ;-1 ;2) , C(7 ;-5 ;0) et D(-2 ;-4 ;7) (on ne demande pas de schéma) 1)Les points A,B et C sont-ils alignés ? 2) Les droites (AB) et (AD) sont-elles orthogonales ? 3) Calculer la norme du vecteur AD . Ex3 : ABCDEFGH est le cube de l’exercice 1 ci-dessus, M et N sont les point de l’espace tels que BM= BF et HN= HF. 1) Déterminer les coordonnées des points M et N. 2) Les points D, M et N sont-ils alignés ? MATHEMATIQUES : ENTREE EN TERMINALE S Page 8 On suppose que l’espace est muni d’un repère orthonormé (O, i , j , k ) Ex4 :On considère le point A de coordonnées (2 ;-3 ;1) et le vecteur u de coordonnées ( 4 ;-2 ;3). Soit k un nombre réel et M un point de 'l’espace de coordonnées (x ;y ;z); 1) Calculer les coordonnées du vecteur AM . xk Démontrer que l’égalité : AM = ku est équivalente au système yk zk Ce système d’équations est appelé : une représentation paramétrique de la droite (D) passant par A et de vecteur directeur u k est le paramètre. Il peut prendre n’importe quelle valeur réelle. (A chaque valeur de k correspond un point de la droite (D) (et réciproquement) ) 2) Quels sont les points B et C obtenus pour k = 1 et pour k = -2 ? 3) les points P(14 ;-3 ;10) et Q(3 ;2 ;4) appartiennent-ils à la droite (D) ? xat Ex5 : Soit ybt une représentation paramétrique de la droite () ; zct (: alpha : béta : gamma , lettres de l’alphabet grec) 1) Calculer les coordonnées des points A et B obtenus en prenant respectivement t= 0, puis t = 1. 2) Calculer alors les coordonnées du vecteur u= AB . Remarque : u est un vecteur directeur de (). t k Ex6 : Résoudre le système suivant : t k t k Ex7: Les droites (D) et (D’) sont définies chacune par une représentation paramétrique 1) Donner un point et un vecteur directeur de la droite (D). 2) Les droites (D) et (D’) sont-elles : parallèles ?confondues ?orthogonales ?sécantes (préciser les coordonnées de leur point d’intersection I ) ?coplanaires ?perpendiculaires ? a) xt (D) : yt z t c) xt (D) : yt zt e) xt (D) : yt zt MATHEMATIQUES : et xk (D’) : yk z k et xk (D’) : yk zk et xk (D’) : yk zk xt xk b) (D) : yt et (D’) : yk zk zt xt d) (D) : yt zt ENTREE EN TERMINALE S xk et (D’) : yk z k Page 9 3)a)Soit (P) un plan orthogonal à la droite (D) préciser la position de la droite (D’) par rapport à (P) dans les cas 2)a), 2) c) et 2)d). b) Soit (P’) un plan orthogonal à (D’) ; préciser la position de (P’) par rapport à (P) dans les cas 2)a), 2)c) et 2)d). MATHEMATIQUES : ENTREE EN TERMINALE S Page 10 III : FONCTIONS Dérivation, étude Ex1 : Soit a un réel ; Rappeler : a)l’expression du taux d’accroissement d’une fonction f entre les réels a et a+h. b) la définition d’une fonction f dérivable en un réel a . c)le lien entre le réel f’(a) et la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a. d)une formule donnant une équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a . Ex2 : 1)Justifier que la dérivabilité de la fonction f définie ci-dessous sur l’intervalle I , puis étudier les variations de f sur I : a)f(x) = -x3 + 9x² -1 avec I = [-1 ;+8] x b) f(x) = avec I = [0 ;+[ x² c)f(x) = x(x – 6) avec I = [1 ;16] d)f(x) = 2x + 1 - avec I = ]0 ;+[ x 2) Quel est le nombre de solutions de l’équation : -x3+9x²-1 = 0 dans l’intervalle *-1 ;8] ? (utiliser 1a)) Lecture graphique 4y (D) La courbe ( C ) ci-contre est celle d’une fonction f définie sue R . La droite (D) est la tangente à la courbe au point O d’abscisse 0. 3 2 1 1) Déterminer par lecture graphique f’(0) et f’(-1) . -3 -2 -1 O0 1 2 3 4 -1 2) Une des trois courbes (C1), (C2) et (C3) ci-après est celle de la fonction dérivée f’ de f. Indiquer laquelle en justifiant votre choix. -2 -3 (C) MATHEMATIQUES : ENTREE EN TERMINALE S -4 Page 11 x (C1) ( C2) y 3 y 3 2 2 1 1 -2 -3 -2 -1 0 1 2 3 -1 0 1 2 3 4 -1 x -1 -2 -3 y 3 2 1 (C3) -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 MATHEMATIQUES : ENTREE EN TERMINALE S Page 12 x IV :GEOMETRIE : NOMBRES COMPLEXES introduction Au 16ème siècle, les mathématiciens se défiaient lors de concours mathématiques publics au cours desquels ils montraient leur habileté. Ils avaient ainsi pour habitude de garder secrètes leurs découvertes. Au début du 16ème siècle, le mathématicien Scipione del Ferro trouva une formule donnant une solution (positive) de l’équation du 3ème degré : x3 = px + q (p et q nombres positifs) q q p q q p – ² + ² (les nombres négatifs n’étant pas bien connus ) x= par exemple, pour l’équation : x3 = 6x + 8, la formule donne : x = + . En 1539, lors de l’un de ces concours, le mathématicien Nicolo Fontana dit Tartaglia utilisa la méthode qu’il garda secrète mais accepta de la dévoiler à Jérôme Cardan, à la condition que celui-ci la garda secrète à son tour. Ce dernier développa la méthode et publia les résultats de ses travaux dans son ouvrage Ars Magna.(1545), ayant appris que celle-ci n’avait pas été découverte par Tartaglia. C’est le nom de Cardan (1501-1576) qui resta finalement associé à cette méthode. A la fin du 16ème siècle, le mathématicien Raphael Bombelli (1526-1572) applique cette formule avec l’équation : x3 = 15x + 4. Il obtient x = 3 2 11 1 + 3 2 11 1 , écriture qui n’a pas de sens, alors que manifestement, le réel 4 est une solution de cette équation. puisque (4)3 = 15 x 4 + 4 ( les deux membres valant 64 ) En considérant le nombre imaginaire 1 défini comme : « un nombre dont le carré vaut -1 » que l’on obtient : (donc vérifiant : (2- 1 x 1 = -1 ) il remarqua 1 )3 = 2 - 11 1 (on peut développer : (2 - 1 )3 = (2 - 1 )² x (2 - 1 ) ) , et que (2 + 1 )3 = 2 + 11 1 obtient x = 2 - 1 ; donc , en prenant les « racines cubiques » et en remplaçant, on = 2 - et + 2+ 1 = 4 = 2 + , et par suite , ! En 1774, le mathématicien Léonhard Euler (1707-1753) souligna que x devrait être égal à , c’est-à-dire à , soit à 1, et donc ce terme serait à la fois égal à -1 et à1 d’où une contradiction ! il utilisa donc la notation i pour 1 , qui fut reprise en 1831 par Gauss , et appelé nombre complexe. i vérifie donc la relation : i² = -1. MATHEMATIQUES : ENTREE EN TERMINALE S Page 13 conséquence : l’équation (x – 2)² = - 9 pouvant s’écrire sous la forme (x- 2)² = 9i² admettre des solutions imaginaires : on obtient : x -2 = 3i ou x – 2 = -3i donc : x = 2 + 3i ou x = 2 – 3i peut alors NB : Tout nombre pouvant s’écrire sous la forme a + bi, où a et b sont deux réels est appelé nombre complexe. L’ensemble des nombres complexes est noté . a est la partie réelle et b la partie imaginaire du nombre complexe. Calculs on adopte les règles : -le produit du réel x par i est noté xi -somme : xi + yi = (x+y)i Rq :on ne peut pas réduire l’écriture de somme x + yi -produit : x yi = (xy)i exemples 3i + 5 i = (3+5)i = 8i ; 2i – 8i = (2 – 8)i = -6i 3 5i = 15i ; 2i 7i = 14i², donc 2i 7i = 14 (-1) = -14 3 i = i² x i donc i3 = -1 x i d’où i3 = -i exercices Ex1 a)vérifier que : (2 + 3i)(4 + 5i) = -7 + 22i . b)calculer z = (-3 -2i)(1 – 5i) c)(développer et réduire : (3 + 4i)(3 – 4i) . – i d)démontrer que = - - i (après simplification). i Remarques l’écriture a + bi est appelée la forme algébrique du nombre complexe -tout nombre réel a est aussi un nombre complexe. En effet, on peut toujours écrire : a = a + 0i l’ensemble est contenu dans l’ensemble . - Ex2 Soit le nombre complexe Z = (4 – 2i)² - (1 + 3i )² ; Déterminer la forme algébrique de Z, et indiquer sa partie réelle et sa partie imaginaire. MATHEMATIQUES : ENTREE EN TERMINALE S Page 14 V : PROBABILITE on a interrogé les élèves de seconde, première et terminale d’un lycée sur leur pratique du basket. Les résultats sont les suivants : seconde première Terminale Total Pratique le basket 340 323 204 867 Ne pratique pas le basket 170 85 68 323 Total 510 408 272 1190 Les résultats de différents calculs seront donnés sous forme de fractions irréductibles Rappels 1) On choisi un élève au hasard. (garçon ou fille).On considère les évènements suivants : S : »l’élève est en seconde », R : »l’élève est en première », T : « l’élève est en terminale » B : »l’élève pratique le basket » a)Indiquer par une phrase la signification de chacun des évènements suivant : SB, RB, T b)Calculer les probabilités P(S), P(B), P(R), P( SB), P(T), p( T ), P(SB), P( T R 2) On répète 3 fois de suite l’expérience consistant à choisir un élève au hasard, le même élève pouvant être choisi à chaque fois. Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de fois où un élève de seconde a été choisi. a)Quelle est la loi suivie par X ? préciser ses paramètres. b) Calculer la probabilité qu’un élève de seconde -soit choisi une seule fois -ne soit choisi aucune fois -soit choisi au moins une fois -soit choisi au plus une fois c) Calculer l’espérance mathématique et l’écart type de X. Probabilités conditionnelles 3) La probabilité qu’un élève pratique le basket sachant que c’est un élève de seconde est notée PS(B). on lit « P de B sachant S ». Elle est égale à , soit donc PS(B) = . a)Indiquer comment se lit P T (R), puis calculer sa valeur. b) On choisit un élève pratiquant le basket. Calculer la probabilité qu’il soit un élève de seconde. c)Calculer PSB , PS puis P (T R ) Emettre une conjecture. P (T ) d) Effectuer un calcul pour vérifier cette conjecture avec le résultat du b). MATHEMATIQUES : ENTREE EN TERMINALE S Page 15 4) Compléter l’arbre pondéré suivant : B 2/3 S 3/7 Exercice : Une entreprise fabrique des lecteurs MP3 dont 6% sont défectueux. Chaque lecteur MP3 est soumis à une unité de contrôle dont la fiabilité n’est pas parfaite. Cette unité de contrôle rejette 98% des lecteurs MP3 défectueux et 5% des lecteurs MP3 fonctionnant correctement. On choisi un lecteur MP3 au hasard. Soient les événements D : « le lecteur MP3 est défectueux » R : « l’unité de contrôle rejette le lecteur MP3 » 1) Exprimer chaque donnée en termes de probabilité. 2) Construire un arbre pondéré traduisant ces données. 3) Calculer la probabilité de chacun des évènements : a) « le lecteur MP3 est défectueux et est rejeté par l’unité de contrôle » b) « le lecteur MP3 n’est pas défectueux et est rejeté par l’unité de contrôle » 4) Démontrer alors que la probabilité de l’évènement R est égale à 0,1058. « le lecteur MP3 est rejeté par l’unité de contrôle » 5) On choisi un lecteur MP3 rejeté par l’unité de contrôle. Calculer est la probabilité qu’il soit défectueux. Evènements indépendants On tire au hasard une carte d’un jeu de 32 cartes., et on considère les évènements suivants : C : « la carte tirée est un carreau » D : » la carte tirée est une dame » R : « la carte tirée est rouge » 1)Calculer P(C), p(D) , P(C D) , p(C) x P(D) 2)Calculer P( C), P (R) , P(C R) , P(C) x P(R) 3) P(D), P(R), P(D R), P(D) x P(R) Définition : Les évènements C et D sont dits indépendants, car on a l’égalité :………………………… Il en est de même pour les évènements………… et ………….. . Par contre, Les évènements ……….…….ne sont pas indépendants, car ………………………….. MATHEMATIQUES : ENTREE EN TERMINALE S Page 16 Exercice de recherche : Sujet de BAC :Probabilités et suites. Dans un stand de tirs, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre plusieurs cibles. La probabilité de l’évènement A1: « la 1ère cible est atteinte » est égale à . Ainsi, P(A1) = . Après n’importe quel nombre de tirs : - Lorsqu’une cible est atteinte, la probabilité que la suivante soit atteinte est . - Lorsqu’une cible n’est pas atteinte, la probabilité que la suivante soit atteinte est . 1) Que vaut P( A ) ? 2) Soit l’évènement A2 : « la 2ème cible est atteinte » a) En utilisant un arbre pondéré faisant intervenir A1 et A2 Calculer la probabilité des évènements suivants : G : « les deux premières cibles sont atteintes » H : « une seule des deux premières cibles est atteinte » b)Démontrer que P(A2) = . 3) Pour tout entier naturel non nul n, on considère les évènements suivants : An : « la nième cible est atteinte » et on pose : an = P(An]. Ainsi, a1 = P(A2)= et a2 =P(A2)= . Exprimer P( An ) en fonction de an. 4) En utilisant un arbre pondéré avec An et An+1, démontrer que pour tout n≥1, an+1 = an + . 5) Elaborer un algorithme qui donne le terme an de cette suite lorsqu’on entre n. Donner alors une valeur approchée à 10-3 de a4. Conjecturer la limite de la suite (an). 6) Soit la suite u définie pour tout n≥1 par un+1 = an – . Exprimer un+1, puis démontrer que u est une suite géométrique dont on précisera la raison et le 1er terme. En déduire que an = - ( )n-1 + . Donner alors la valeur exacte de a4 et comparer le résultat avec celui du 5). 7) Elaborer un algorithme demandant en entrée un réel P et affichant en sortie le plus petit entier naturel N tel que an ≥ P. Quelle est la valeur affichée par cet algorithme lorsqu’on entre P = 0,66665 ? MATHEMATIQUES : ENTREE EN TERMINALE S Page 17 VI : STATISTIQUES A : ECHANTILLONNAGE En première Intervalle de fluctuation lors d’une expérience aléatoire, on s’intéresse a un évènement A, et on se demande si on peut considérer que la probabilité de A est égale à un certain nombre connue p . On réalise alors cette expérience un certain nombre n de fois, et on mesure la fréquence f d’apparition de A. On considère alors la variable aléatoire X correspondant au nombre de succès obtenus. (nombre de fois où A est réalisé) On sait que X suit la loi binomiale de paramètres n et p. a b Soit l’intervalle I = [ ; ] , où les réels a et b sont définis comme suit : n n - a est le plus petit entier naturel vérifiant :P(X≤ a) >0,025 - b est le plus petit entier naturel vérifiant :P(X≤b)≥0,975 . On établit que la probabilité que la fréquence appartienne à l’intervalle I est au moins 0,95. L’intervalle I est appelé l’intervalle de fluctuation au seuil de 95% associé à X Rq : les réels a et b sont obtenus par lecture d’une table de probabilités cumulées, ou à la calculatrice, ou encore à l’aide d’un tableur. Prise de décision -si fI, alors on accepte l’hypothèse que la proportion est p. -si fI, alors on rejette cette hypothèse, avec le risque de la rejeter à tort de 5% maximum. Exercices Ex1 : avec n = 53 et p = 0,9. On donne la table : k 41 42 43 44 45 ;;; 50 51 52 P(X≤k) 0 0053 0,0145 0,0355 0,0785 0,1558 ;;; 0,9102 0,9741 0,9962 Déterminer les valeurs de a et de b, puis l’intervalle de fluctuation I . (bornes arrondies à 0,001) Ex2 : Une plante produit une fleur unique. Elle est vendue au pépiniériste avec une notice qui précise : « 35% des fleurs sont rouges, 65% sont jaunes ». Dans une serre qui détient 2000 fleurs, le responsable a compté 760 fleurs rouges et 1240 fleurs jaunes. On se demande si on peut raisonnablement confirmer le contenu de la notice. a) Déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la loi binomiale de paramètres 2000 et 0,35. b) Calculer la fréquence observée de fleurs rouges. Conclure. MATHEMATIQUES : ENTREE EN TERMINALE S Page 18 En terminale On suppose que, dans une population, la proportion d’un certain caractère est (connue et) égale à p . On considère un échantillon de taille n. On observe la fréquence f de ce caractère dans l’échantillon. l’échantillon est assimilé à une suite de n tirages avec remise. Si les conditions suivantes sont réalisées : n 30, np 5 et n(1 – p) 5, p(1 p) n On détermine l’intervalle I = p 1,96 ; p 1,96 p(1 p) n I est un intervalle de fluctuation de la fréquence du caractère au seuil de 95%. Cela signifie que quelque soit l’échantillon de taille n prélevé, la fréquence du caractère dans celui-ci est comprise dans l’intervalle I avec une probabilité de 0,95, c’est-à-dir avec un risque d’erreur de 5%. Ex1 :D’après une étude de l’INSEE, en 2006, la moitié des bébés français sont nés hors mariage. Sur un échantillon de 1000 naissances au cours de l’année 2010, on a observé que 556 ont eu lieu hors mariage. On fait l’hypothèse que la proportion de naissances en 2010 est la même qu’en 2006. a)Indiquer les valeurs de p et n. b) Les conditions sont-elles vérifiées ? c)Déterminer l’intervalle I (On donnera les bornes de l’intervalle I à 0,001 près). d) Cette hypothèse peut-elle être acceptée ou rejetée au seuil de 5% ? Ex2 : On considère qu’une machine à former des pilules fonctionne de façon satisfaisante si le pourcentage de pilules défectueuses est de 1 pour 1000.Sur un échantillon de 10000 pilules, on a trouvé 15 pilules défectueuses. Peut-on penser que la machine est bien réglée ? (Calculer les bornes de I à 0,0001 près) MATHEMATIQUES : ENTREE EN TERMINALE S Page 19 B :ESTIMATION Intervalle de confiance La proportion d’un certain caractère dans une population est inconnue et égale à p. Afin d’estimer p, on observe la fréquence f du caractère dan un échantillon. Un tel échantillon est assimilé à une suite de n tirages avec remise. Si les 3 conditions précédentes sont réalisées, alors la probabilité que l’intervalle I = f 1 1 ;f n n contienne la proportion p (c’est-à-dire d’avoir pI ) est moins 0,95. L’intervalle I est appelé : un intervalle de confiance de la proportion au niveau (ou au seuil) de confiance 0,95. Rq: La longueur (ou amplitude) de l’intervalle I est égale n Ex1 : Sur 1000 d’électeurs interrogés, 552 pensent qu’ils voteront pour le maire en place à la prochaine élection municipale. a)Calculer la fréquence observée dans cet échantillon, puis l’intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95. b) Est-il envisageable de penser que le maire sortant puisse être battu ? Ex2 : Un institut de sondage doit déterminer pour chaque candidat une fourchette à 95% ayant une amplitude inférieure ou égale à 1%. Déterminer la taille minimale n que doit avoir l’échantillon pour obtenir une estimation aussi précise. Ex3 : Un sondage porte sur un échantillon de n personnes. Candidat A : 53% ; Candidat B : 47%. a) Déterminer pour chaque candidat un intervalle de confiance niveau de confiance 95% . b) Quelle doit être la taille minimale de l’échantillon pour qu’on puisse affirmer, au niveau de confiance 0,95, que le candidat A sera élu ? MATHEMATIQUES : ENTREE EN TERMINALE S Page 20 POUR LES ELEVES AYANT CHOISI LA SPECIALITE « MATHEMATIQUES » VII : ARITHMETIQUE Ex1 : Une boite contient 2 billets de 50€, 5 billets de 20€ et 6 billets de 10€. On prélève un certain nombre de billets, et on obtient une somme de 90€. Déterminer toutes les possibilités de prélèvement. Ex2 : On considère l’équation ( E ) : 3x + 5y = 1, où x et y sont deux nombres entiers relatifs. a)Vérifier que le couple (2 ;-1) est une solution de cette équation ( E ). b) Donner un autre couple solution de cette équation. c)Démontrer que, quel que soit l’entier relatif k, le couple (2 – 5k ;-1 +3k) est solution de cette équation. d)Donner alors deux autres couple solutions de ( E ). Ex3 : a)Donner tous les couples (a ; b) d’entiers naturels vérifiant l’égalité : ab = 144. b) Un triangle rectangle a un des côtés de son angle droit de longueur 12 cm. Calculer les longueurs de son hypoténuse et de l’autre côté de son angle droit, sachant que ce sont des nombres entiers. (Donner toutes les possibilités de solutions) Ex4 : On veut recourir entièrement un panneau publicitaire de forme rectangulaire et de dimensions 520cm et 360cm par des affiches de forme carrée ,sans chevauchement ,et en posant le moins possible d’affiches. Déterminer la mesure du côté d’une affiche et le nombre d’affiches utilisées. Ex5 : i est un nombre complexe tel i² = -1. a) Calculer in pour n = 1, 2, 3,……………..,8 b) Calculer i43 , i43 + 1 , c) Calculer i2015 MATHEMATIQUES : ENTREE EN TERMINALE S Page 21 VIII : MATRICES Définition : Une matrice A de dimension np (ou de format (n,p) ) est un tableau de nombres comportant n lignes et p colonnes. 1 2 3 est une matrice de dimension 2 3 (ou de format (2,3) ) 4 1 5 Exemple : A = Les nombres composant A sont les coefficients de la matrice. Le coefficient de A situé sur la 1ère ligne et la 2ème colonne est noté : a12 .Ici, nous avons a12 = 2 . . De même a13 = -3 , et l e coefficient 5 sera noté a23 . a11 a12 a13 a21 a22 a23 On peut donc noté cette matrice :A = De façon générale, le terme aij désigne le coefficient de A situé sur la ième ligne et sur la jème colonne. a11 a19 Le tableau A = désigne donc une matrice de dimension 79. a a 79 71 ( ou de format (7,9) ) Cas particuliers : une matrice de dimension n1 (n lignes et 1 colonne) est une matrice colonne. (de dimension n) 2 La matrice B= 0 est une matrice colonne (de dimension 3). 1,5 Si la matrice A contient n lignes et n colonnes, on dit que A est une matrice carrée d’ordre n. 7 2, 4 est une matrice carrée d’ordre 2. 2 3 A= 1 a11 a12 A = a21 a22 a 31 a32 MATHEMATIQUES : a13 a23 es une matrice carrée d’ordre 3. a33 ENTREE EN TERMINALE S Page 22 a11 a1n De façon générale, A = est une matrice carrée d’ordre n. a a nn n1 La matrice carrée d’ordre n dont tous les coefficients sont nuls est appelée matrice nulle et est notée On. 0 0 O2 = matrice nulle d’ordre 2 ; 0 0 0 0 0 O3 = 0 0 0 matrice nulle d’ordre 3 . 0 0 0 La diagonale (principale) d’une matrice carrée d’ordre n est constituée des termes a11, a22, …,ann Si tous les coefficients non situés sur la diagonale principale de la matrice A sont nuls, on dit que A est une «matrice diagonale » 5 0 0 3 A= 1 0 0 5 est une matrice diagonale ; A = 0 0 0 0 0 0 0 0 est une matrice diagonale. 0 0 0 3 La matrice diagonale d’ordre n dont tous les coefficients de la diagonale principale sont égaux à 1 est appelée la matrice unité d’ordre n et est notée In. 1 0 0 I3 = 0 1 0 est la matrice unité d’ordre 3 ; I2 = 0 0 1 1 0 est la matrice unité d’ordre 2. 0 1 Opérations : somme : l’addition de 2 matrices n’est possible que si elles ont la même dimension 1 5 0 1 1 4 2 6 4 = . + 2 3 1 2 8 6 4 11 7 produit : produit d’une matrice A par le réel 2: 1 4 0 , 7 3 1 si A = alors on note : 2 8 0 14 6 2 2A = produit de 2 matrices A et B : -n’est possible que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. -Si A est de dimension nP et B de dimension pq , alors C est de dimension nq 2 5 1 2 ; si on note C = AB , A étant une matrice carrée et B = 4 5 3 10 soient A = d’ordre 2,(donc de dimension 22), et B également dimension 22 MATHEMATIQUES : ENTREE EN TERMINALE S alors C est une matrice Page 23 de dimension 2 2 .pour obtenir le coefficient c12 de la matrice C on effectue « un produit » de la ligne1 de A par la colonne 2 de B (à l’image d’un produit scalaire ) . On obtient : 2 5 1 2 ........................ 2 (2) 5 4 = 3 10 6 4 ........................ ....................... 32 16 .... .... On obtient donc C = C est aussi noté AB. cas particulier: lorsqu'on multiplie une matrice ( de dimension np, donc contenant p colonnes ) par une matrice colonne (de dimension p1 ,donc contenant p lignes) , on obtient une matrice colonne de dimension n1 2 3 5 4 exemple : avec A = 4 5 et B = , on obtient AB = .... 1 1 1 ... exercices 3 1 2 2 1 1 0 0 4 , B = 4 2 3 , C 1 1)On donne les matrices A = 1 2 1 5 3 1 2 1 Calculer si possible les produits : AB , BA , AC, CA , AI3 3 5 2 5 4 1 2 2 10 , E= , F = , G = H= , 1 2 1 3 1 5 10 1 5 2 0 J= 0 3 2) Soit D = a) Calculer : DD (notée aussi D²) , DE , DF, GH b)Calculer J², puis J²J (noté J3). c) Quel résultat peut-on conjecturer pour Jn ? (n étant un entier naturel supérieur ou égal à 1) MATHEMATIQUES : ENTREE EN TERMINALE S Page 24 MATHEMATIQUES : ENTREE EN TERMINALE S Page 25