G3 - 2015 Sebastien LOZANO

Collège Jean Lurçat − FROUARD − Sébastien LOZANO − Classe Numérique
http://www.labomep.net − https://www.ent−place.fr
Chapitre
-G3-
-Parall´elogrammes-
Derni`ere mise `a jour le 8 f´evrier 2015
Derni`ere mise `a jour le 8 f´evrier 2015
Sommaire
1.1 Parall´elogrammes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 D´efinition et vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Centre de sym´etrie d’un parall´elogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Propri´et´es caract´eristiques du parall´elogramme . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Parall´elogrammes particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Le losange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Le rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 Le carr´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.4 Axes et centres de sym´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1. Parall´elogrammes
1.1.1 D´efinition et vocabulaire
D´efinition 1 : Un PARALL´ ELOGRAMME est un quadrilat`ere dont les cˆot´es oppos´es
sont parall`eles deux `a deux.
(GS) est parall`ele `a (RX)
ET AUSSI
(SX ) est parall`ele `a (GR)
Cette figure repr´esente un parall´elogramme nomm´e GSXR ou SX RG
ou ... mais pas GSRX ou SRX G, ...
G
S
X
R
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D´efinition 2 : Vocabulaire :
[GS] et [SX] sont des cˆot´es cons´ecutifs ( qui se suivent ).
[GS] et [RX] sont des cˆot´es oppos´es ( l’un en face de l’autre ).
Get Ssont des sommets cons´ecutifs .
Get Xsont des sommets oppos´es .
[
GSX et
[
SX R sont des angles cons´ecutifs .
[
GSX et
\
XRG sont des angles oppos´es .
[GX] et [SR] sont les diagonales .
1.1.2 Centre de sym´etrie d’un parall´elogramme
Propri´et´e 1 : (Admise)
Si on construit le point d’intersection des diagonales d’un parall´elogramme
alors c’est son centre de sym´etrie
Oest centre de sym´etrie du parall`elogramme ABCD.
On dit parfois que ABCD est un parall´elogramme de centre O.
A
B
C
D
O
Propri´et´e 2 : des diagonales
Si un quadrilat`ere est un parall´elogramme
alors ses diagonales se coupent en leur milieu
D´emonstration :
Soit ABCD un parall´elogramme de centre O,Oest un centre de
sym´etrie donc :
Aet Csont sym´etriques par rapport `a O.
Bet Dsont sym´etriques par rapport `a O.
On peut donc conclure que Oest les milieu de [AC] et de [BD]
A
B
C
D
O
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Propri´et´e 3 : des cˆot´es oppos´es
Si un quadrilat`ere est un parall´elogramme
alors ses cˆot´es oppos´es sont de mˆeme longueur
D´emonstration :
Soit ABCD un parall´elogramme de centre O.
Aet Csont sym´etriques par rapport `a O,Bet Daussi
DONC [AB] et [CD] sont sym´etriques par rapport `a O, [AD] et
[BC] aussi
OR la sym´etrie centrale conserve les longueurs
On peut donc conclure que, [AB] et [CD] ont la mˆeme longueur,
[AD] et [BC] aussi. 
Illustration :
A
B
C
D
Propri´et´e 4 : des angles oppos´es
Si un quadrilat`ere est un parall´elogramme
alors ses angles oppos´es sont de mˆeme mesure
D´emonstration :
Soit ABCD un parall´elogramme de centre O.
Aet Csont sym´etriques par rapport `a O,Bet Daussi
DONC
[
ABC et
\
CDA sont sym´etriques par rapport `a O,
\
BCD et
\
DAB aussi
OR la sym´etrie centrale conserve les mesures d’angles
On peut donc conclure que,
[
ABC et
\
CDA d’une part puis
\
BCD
et
\
DAB d’autre part, ont la mˆeme mesure. 
Illustration :
A
B
C
D
Propri´et´e 5 : (Admise)
Dans un parall´elogramme, deux angles cons´ecutifs sont suppl´ementaires (leur somme
vaut 180◦).
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1.1.3 Propri´et´es caract´eristiques du parall´elogramme
Propri´et´e 6 : caract´erisation par les diagonales
Si les diagonales d’un quadrilat`ere ont le mˆeme milieu
alors ce quadrilat`ere est un parall´elogramme.
D´emonstration :
On suppose que [IK] et [LJ ] ont le mˆeme milieu M.
D’O ` UIet Ksont sym´etriques par rapport `a M,L,et Jaussi.
DONC (IL) et (KJ ) sont sym´etriques par rapport `a M
OR la sym´etrie centrale transforme une droite en une droite pa-
rall`ele
DONC (IL) et (KJ ) sont parall`eles, on montrerait de mˆeme que
(IJ ) et (KL) le sont.
On peut donc conclure que le quadrilat`ere I J KL est un pa-
rall´elogramme. 
I
J
K
L
M
Propri´et´e 7 : caract´erisation par les cˆot´es oppos´es (Admise)
Si un quadrilat`ere (non crois´e) a ses cˆot´es oppos´es deux `a deux ´egaux
alors ce quadrilat`ere est un parall´elogramme
Illustration :
I
J
K
L
Propri´et´e 8 : caract´erisation par les cˆot´es oppos´es bis (Admise)
Si un quadrilat`ere (non crois´e) a deux cˆot´es oppos´es ´egaux ET parall`eles
alors ce quadrilat`ere est un parall´elogramme
Illustration :
I
J
K
L
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1.2. Parall´elogrammes particuliers
1.2.1 Le losange
D´efinition 1 : Le LOSANGE est un qua-
drilat`ere (quatrecˆot´es) dont tous les cˆot´es
sont ´egaux.
A
B
C
D
Propri´et´e 1 : (admise)
Si un quadrilataire est un losange
alors c’est un parall´elogramme
D´emonstration : Soit ABCD un losange, alors le triangle ABC est isoc`ele en Bdonc il a un axe
de sym´etrie issue de son sommet principal, de mˆeme le triangle BCD est isoc`ele en Cdonc il a un
axe de sym´etrie. Ces deux axes se coupent en un point qui constitue un centre de sym´etrie, donc les
cot´es oppos´es de ABCD sont parall`eles.
Propri´et´e 2 : (admise)
Si un parall´elogramme ayant deux cˆot´es cons´ecutifs ´egaux
alors c’est un losange
D´emonstration : Soit ABCD un parall´elogramme tel que AB =BC, or un parall´elogramme a ses
cˆot´es oppos´es de mˆeme longueur, donc AB =CD et BC =DA d’o`u AB =BC =CD =DA 
Propri´et´e 3 (caract´eristique du losange) : (admise)
Si les diagonales d’un parall´elogramme sont perpendiculaires
alors c’est un losange
G
S
X
R
1/ GSXR a ses diagonales qui se coupent en leur
milieu donc c’est un parall´elogramme.
2/ GSXR a ses diagonales perpendiculaires donc
c’est un losange.
R´eciproquement,
Propri´et´e 4 : (admise)
Si un quadrilat`ere est un losange
alors c’est un parall´elogramme dont les diagonales sont perpendiculaires.
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