Espaces affines euclidiens- orthogonalité Activité 1 : définitions des espaces affines orthogonaux On rappelle qu’un espace vectoriel euclidien est un espace vectoriel muni d’un produit scalaire euclidien. Pour tout sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel euclidien , on définit l’espace orthogonal comme suit : = ∈ |∀ ∈ ∶ ( , ) = 0} On démontre alors les propriétés suivantes : ( ) = ⊂ ⇒ ⊂ ( + ) = ∩ et ( ∩ ) = + En s’appuyant sur ces connaissances, lire les pages 27 et 29 du poly de Chris Peters « Géométrie – DKMAT 368» et traiter les exercices 3.1, 3.2, 3.5, 3.6, 3.9 et 3.10 Activité 2 : définition des réflexions et bissectrices Lire les pages 29 et 30 du poly de Chris Peters « Géométrie – DKMAT 368» et traiter les exercices 3.12, 3.13 et 3.16. Activité 3 : quelques définitions d’angles ou mesures d’angles Angles non orientés de vecteurs (définition par la mesure de l’angle) Soient A,B,C trois points d’un espace affine euclidien . On appelle angle non orienté des vecteurs et et on note le nombre réel = (( , )). Angles de demi-droites (définition par une relation d’équivalence) Deux demi-droites [O,x) et [O,y) de même origine O définissent un secteur angulaire saillant noté [xOy] : c’est l’intersection des demi-plans de frontière (O,x) et contenant [O,y) et de frontière (O,y) contenant [O,x). Définition : Soient D et D’ deux demi-droites de même origine O, munies de repères normés (O,I) et (O,J) (c’est-à-dire OI=OJ=1). Pour tous points distincts M et N de D on note M’ et N’ leurs projetés orthogonaux sur D’. Alors le rapport c (D, D’ ) = de N est appelé rapport de projection orthogonale de D sur D’ est indépendant de M et Définition : Dans l’ensemble des secteurs angulaires saillants, on définit la relation ℜ par : [xOy] ℜ [x’O’y’] ⟺ c [ , ),[ , ) =c , , , . Théorème : ℜ est une relation d’équivalence. Les classes d’équivalences sont appelées, angles géométriques. On note l’angle dont un représentant est [xOy]. Bissectrice d’un secteur angulaire. Théorème : Il existe une unique réflexion échangeant les deux côtés d’un secteur angulaire donné [xOy] .La demi-droite Δ ∩ [ ]est appelée bissectrice du secteur angulaire [xOy] . De plus cette bissectrice est l’ensemble des points de ce secteur équidistants à ses côtés. Activité 4 : démonstrations du théorème de Pythagore Définition : Soient D et D’ deux demi-droites de même origine O, munies de repères normés (O,I) et (O,J) (c’est-à-dire OI=OJ=1). Pour tous points distincts M et N de D on note M’ et N’ leurs projetés orthogonaux sur D’ . Alors le rapport c (D, D’ ) = de M et de N est appelé rapport de projection orthogonale de D sur D’ . est indépendant Remarque : c (D, D’ ) ∈ [−1; 1] et réciproquement, pour tout c ∈ [−1; 1] , il existe deux demidroites de même origine D et D’ telles que c (D, D’ ) = c. Théorème : Le rapport de projection orthogonale est symétrique. C’est-à-dire que pour tout couple de demi-droites de même origine D et D’ : c (D, D’) = c (D’, D) 1) Démontrer ce théorème en utilisant le théorème de Thalès Théorème de Pythagore sens direct: Pour tout triangle ABC rectangle en A, on a = + . Autrement dit « le carré de l’hypoténuse, vaut la somme des carrés des deux autres côtés ». 2) Démontrer ce théorème en utilisant les rapports de projections orthogonales Réciproque : Si = + alors le triangle ABC est rectangle en A. 3) Démonstration de la réciproque : a) Montrer que , et ne peuvent pas être alignés b) Considérer ’ le point dans le demi-plan ne contenant pas tel que ’ = ’ est rectangle en . Montrer que = ’. c) En déduire que est le milieu de ’ et conclure. 4) Démontrer le théorème de Pythagore et sa réciproque en utilisant le produit scalaire. et